Использование асимптотических методов для решения уравнений

 

Подстановка (5.1.45) в (5.1.34) дает

 

или

 

или же

 

Отсюда и разложение (5.1.45) приобретает вид

 

в полном соответствии с (5.1.41).

С другой стороны, как только величина определена, можно рассматривать (5.1.42) как преобразование переменной к переменной Тогда, полагая в (5.1.43) получаем уравнение

 

из которого могут быть найдены оба корня, поскольку  параметр уже не входит множителем в член высшего порядка.

 

§5.2. Кубические уравнения.

Рассмотрим три примера. В первом – корни уравнения  представляются в виде ряда по целым  степеням малого параметра корни второго уравнения выражаются в виде ряда по дробным степеням а часть корней в третьем примере включают в себя обратные степени параметра.

Пример 1.

Рассмотрим уравнение

 

попытаемся воспользоваться  разложением по целым степеням

 

Подстановка (5.2.1) в (5.2.2) дает

 

 

или

 

 

или же

 

 

Группируя члены с одинаковыми  степенями получаем

 

 

где в соответствии с  видом выбранного разложения сохранены  лишь члены порядка Приравняв к нулю коэффициенты при и имеем

 

 

Уравнение (5.2.3) можно представить в виде произведения

 

что дает

 

Из (5.2.4) следует, что

 

откуда

 

При из (5.2.5) получаем, что Таким образом, один из корней исходного уравнения дается разложением

 

При из (5.2.5) получаем, что 0. Следовательно, разложение для второго корня можно записать как

 

При из (5.2.5) получаем, что Исходя из этого, третий корень представляется в виде разложения

 

Таким образом, в данном случае разложения для всех корней содержать  лишь целые степени 

 

Пример 2.

Исследуем уравнение

 

Как и в предыдущем случае, воспользуемся разложением вида

 

Подстановка (5.2.7) в (5.2.6) дает

 

 

или

 

 

Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степеняхимеем

 

 

Для того чтобы решить уравнение  (5.2.8), представим его левую часть в виде произведения

 

откуда получаем

 

Для того чтобы найтииз (5.2.9), перепишем это уравнение в виде

 

откуда 

 

При из (5.2.10) следует, что Таким образом, один из корней исходного уравнения может быть представлен как

 

Прииз (6.11) получаем что указывает на ошибочность выбранной формы разложения.

Для построения разложения, пригодного при заменим разложение (6.7) на следующее:

 

Попытаемся найти значениев ходе вычислений. Подставляя (5.2.12) в (5.2.6), имеем

 

 

или

 

 

откуда 

 

Для того чтобы главные  члены в (6.13) скомпенсировали друг друга,должно быть равно 1, или следовательно, Тогда из (6.12) получаем, что второй и третий корни исходного уравнения можно представить как

 

Этот пример иллюстрирует трудности, возникающие в случае неверного выбора вида исходного  разложения. В то же время правильный выбор разложения позволяет сразу  построить соответствующее решение. Отметим, что подобная ситуация оказывается типичной для многих задач теории возмущений.

 

Пример 3.

Рассмотрим уравнение

 

в котором малый параметр стоит множителем при наибольшей  степениВ случае уравнение (5.2.14) переходит в уравнение

 

исходя из этого, положим, что один из корней (5.2.14) можно представить в виде

 

Подстановка (5.2.15) в (5.2.14) дает

 

или

 

Приравнивая к нулю коэффициенты при одинаковых степеняхполучаем

 

откуда 

 и Таким образом, один из корней дается разложением Прежде чем приступить к нахождению остальных корней, отметим, что приони будут стремиться к бесконечности, поскольку входит множителем в член наивысшего порядка. Поэтому при выборе разложений для этих корней примем, что их главные члены имеют вид

 

Подставляя (5.2.15) в (5.2.14), получим

 

Для того чтобы определяющие члены в (5.2.17) скомпенсировали друг друга, необходимо, чтобы

 

откуда               

Случай соответствует первому корню исходного уравнения и поэтому не рассматривается.

При построении уточненных приближений для второго и  третьего корней воспользуемся приведенной  выше информацией и будем искать эти разложения в виде

 

Где Подстановка (5.2.18) в (5.2.14) дает

 

или

 

Приравнивая коэффициенты при  одинаковых степенях имеем

 

Отсюда, как и ранее,

 

Таким образом, второй и третий корни уравнения (5.2.14) представляются разложениями

 

§5.3. Уравнения высших порядков.

Исследуем уравнение 

 

Где коэффициенты не зависят от и целые числа и При уравнение (7.1) сводится к уравнению

 

имеющему корни где Для уточнения этих корней положим

 

подставляя в (5.3.1), имеем

 

 

или

 

 

 

Приравнивая коэффициенты при  одинаковых степенях получаем

 

 

 

Разложение (5.3.5) становится непригодным всякий раз, когда член в квадратных скобках стремиться к нулю.

Оставшиеся n – m корни, стремятся к бесконечности при поскольку малый параметр стоит множителем при наибольшей степени неизвестной Поэтому разложение для них ищется в виде

 

Подставляя (5.3.6) в (5.3.1), имеем

 

 

Выделяя главные члены, получаем

 

и, следовательно 

 

 

Для уравнения (5.3.9) нуль является корнем кратностикроме того,

где Отсюда

 

Корень отбрасываем, так как он соответствует первым s корням.

Используя (5.3.8) и (5.3.8.9), перепишем (5.3.7) в идее

 

Сравнение коэффициентов  при в обеих частях равенства дает

 

откуда

 

Таким образом, оставшиеся корней дают разложения

 

где определяются формулами (5.3.8) и (5.3.10).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ.

Приложение 1.Биноминальная формула

 

 

 

Обобщением этого правила  на случай произвольных целых служит формула

 

 

которую можно переписать в виде

 

или

 

Разложение (1.1) справедливо для любых положительных или отрицательных при условии если в противном случае ряд расходится, поскольку

 

 

 

Например, имеем

 

Первое разложение содержит конечное число членов. Во второе и третье входит бесконечное число членов, тем самым их справедливость имеет место лишь при .

Приложение 2. Ряд Тейлора

Если функция бесконечно дифференцируема в точке то ее можно разложить в ряд по степеням  ()

 

где постоянные, определяемые значения функции , а ее производные в точке . Полагая, что в (2.1),.

Дифференцируя разложение (2.1) по , получим

 

Если положить   то . Далее дифференцируя

(2.2) по , получим

 

Пологая   находим . Дифференцируя

(2.3) по , получим

 

откуда, пологая . Неограниченно продолжая процесс, можно определить все остальные коэффициенты

 

где и . Таким образом, разложение

(2.1) можно представить  в виде ряда

 

Который называется рядом Тейлора функции в окрестности точки

Так как 

 

то 

 

 

Аналогично с помощью  формулы

 

получаем

 

А из соотношений

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Несмотря на то, что в настоящее время, вычислительная техника развивается все быстрее и становится более совершенной, асимптотические методы не утрачивают своего значения. Они служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и анализа особых точек, для построения опорных «тестовых» решений, а в ряде случаев являются также основой для разработки вычислительных методов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. А Найфе «Введение в методы возмущений» , Москва «Мир» 1984
2. Н.Г. Брейн «Асимптотические методы в пространстве», издательство иностранной литературы Москва 1961
3. М.В. Федорюк «Асимптотика. Интегралы и ряды », Москва «Наука» главная редакция физико-математической литературы 1987
4. Ф. Оливер «Асимптотика и специалье функции», под ред. А.П. Прудникова –М.: Наука физико-математическая литература 1990
5. Вазов В. «Асимптотические разложения решений оюыкновенных дифференциальных уравнений, Пер. с англ. – М.:Мир, 1967 »
6. Р.П.Кузьмина , М.: Едиториал УРСС 2004
7. Ильин А.М.,  Данилин А.Р. «Асимптотические методы в анализе», Москва 2009.
8. http://referat.resurs.kz/ref/asimptoticheskie-metodi-issledovaniya-nestatsionarnih-rezhimov-v-setyah-sluchaynogo-dostupa
9. http://www.nsu.ru/education/funcan/node16.html
10. http://www.tnu.in.ua/study/books.php?do=file&id=2112
11. http://www-sbras.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-30/s-30.html