Использование асимптотических методов для решения уравнений

 

Предположив, что , можно определить формальный степенной ряд, получающийся в результате подстановки ряда В в ряд А (обозначим через ). Для определения его предположим, что – коэффициент при в ряде Видно, что …

Полагая , запишем

……

Положим, что

……

Ряд получается подстановкой ряда в ряд вместо и приведением подобных членов.

§4.2. Дифференцирование формальных рядов.

Производную ряда определим формулой

 

при помощи формального почленного дифференцирования.

Известно, что если А и В – степенные ряды с отличным от нуля радиусом ходимости , то все эти формальные действия в точности соответствуют тем же действиям над суммами этих рядов.

Например, если = С, то ряд С имеет отличный от нуля радиус сходимости, и внутри круга этого радиуса .

Говоря о асимптотических  рядах вместо сходящихся степенных  рядов, то имеем совершенно аналогичное  положение, за исключением того, что  вопрос о дифференцировании требует  особой осторожности.

Пусть – функции, определенные в окрестности x=0 и имеющие разложения

 

 обозначает функцию, обозначает формальный ряд

. Т.к коэффициенты ряда определяются по функции ряда единственным образом, то имеет асимптотическое разложение.

Нетрудно убедиться, что 

 

 

Если , то

 

  по – прежнему решение уравнения Далее, если , то сложная функция определена для всех достаточно малых значений и

 

Формула (4.2.1) очевидна. Докажем (4.2.2).

Пусть, имеем для любого n

 

 

и, следовательно

 

Но,

 

является линейной комбинацией ,, … , и поэтому равно при . Отсюда

 

что и требовалось доказать.

Аналогичные доказательства можно дать для утверждений (4.2.3) и (4.2.4), причем соотношение (4.2.3) можно  рассматривать как частный случай соотношения (4.2.4), так как где   а

Предположим теперь, что

 

и что интеграл существует для достаточно малых значений x. Тогда законно почленное интегрирование

 

Доказательство. Для любого n существуют такие постоянные А и , что

 

откуда при получаем

 

соотношение (4.2.5) доказано.

При рассмотрении дифференцирования  имеем иное положение.

Если имеет асимптотическое разложение  то производная не обязательно существует, а если и существует, то может не иметь асимптотического разложения. Например, функция имеет асимптотический ряд

 

а ее производная

 

не имеет подобного  асимптотического разложения.

Однако почленное дифференцирование  асимптотических рядов все же является законным, если удается показать, что производная тоже имеет асимптотическое  разложение (в виде формального степенного ряда). Действительно, пусть

 

 

Докажем, что Рассматривая при функцию

 

получаем

 

Из теоремы о среднем  следует, что произвольно, значит

 

Теперь формула сразу получается, так как коэффициенты асимптотического ряда определяются единственным образом.

 

 

 

 

 

 

5.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

§5.1. Квадратные уравнения.

Проанализируем квадратные уравнения и рассмотрим примеры, сравнивая полученные разложения с  точными решениями.

Пример 1.

Найдем корни уравнения 

 

При малом . В случае имеем уравнение

 

с корнями и Уравнение (5.1.1) называется возмущенным уравнением, а (5.1.2) – невозмущенным или невырожденным уравнением. При малом, но конечном естественно ожидать, что корни уравнения (5.1.1) будут лишь немного отличаться от значений 1 и 2.

Первый шаг при нахождении приближенного решения заключается  в выборе формы разложения. Предположим, что искомые корни можно представить в виде

 

где многоточие заменяет слагаемыми со степенями , для которых показатель степени

Второй шаг заключается  в подстановке выбранного разложения (5.1.3) в исходное уравнение (5.1.1), что даёт

 

 

Третий шаг – выполнение элементарных операций типа сложения, вычитания, умножения, возведения в  степень и т.д. и, наконец, группировку коэффициентов при одинаковых степенях .Используя для разложения первого члена биноминальную формулу, получаем

 

 

 

здесь в соответствии с  выбранной формой разложения (5.1.3) сохранены лишь члены порядка Если искать разложение с точностью до членов порядка где , то в выражении (5.1.5) следовало бы сохранить члены того же порядка. Выполнив умножение во втором члене в (5.1.4), находим

 

 

Здесь так же в соответствии с выбранной формой исходного  разложения сохранены лишь члены порядка Подставляя (5.1.5) и (5.1.6) в (5.1.4), имеем

 

 

Собирая коэффициенты при  одинаковых степенях

 

 

Четвертый шаг состоит в приравнивании к нулю коэффициентов при последовательных степенях Для оправдания этого шага устремим к нулю в выражение (5.1.7). В результате получим уравнение

 

а (5.1.7) примет вид

 

Разделив на  приходим к равенству

 

 

которое при  дает

 

При этом (5.9) переходит в  равенство

 

после деления на

 

Устремив в (5.11) к нулю, получаем

 

Соотношения (5.1.8), (5.1.10) и (5.1.12) можно получить непосредственно из формулы (5.1.7), приравнивая нулю коэффициенты при последовательных степенях

Пятый шаг состоит в  последовательном решении упрощенных уравнений (5.1.8), (5.1.10), и (5.1.12).  Уравнение (5.1.8) совпадает с вырожденным уравнением (5.1.2), и, следовательно, его решениями будут

 

Зная из уравнения (5.1.10) найдем   (5.1.10) линейно относительно . В большинстве задач уравнения каждого приближения оказываются линейными, за исключением, быть может, первого. В случае уравнение (5.1.10) дает

 

Зная  и , можно разрешить уравнение (5.1.12) относительно .

При из уравнения (5.1.12) получаем

 

В случае из (5.1.10) находим

 

а из (5.1.12)

 

Последний шаг, заключается  в подстановке полученных значений в исходное разложение (5.1.3). При , и это разложение приобретает вид

 

а при  и разложение (5.1.3) можно представит как

 

Формулы (5.1.13 ) и (5.1.14) дают приближенные выражения для обоих корней уравнения (5.1.1). Для того чтобы выяснить, насколько удачны эти приближения, сравним их с точным решением

 

или

 

Используя биноминальную  формулу, получаем

 

 

что при подстановке в (5.15) дает

 

или

(5.1.16)

в полном согласии с (5.1.13) и (5.1.14)

 

Пример 2.

Исследуем уравнение, разложения, для корней которого могут включать в себя не только целые, но и дробные  степени параметра  Рассмотрим уравнение

 

При оно сводится к уравнению

 

имеющему корни . Исходя из этого, найдем приближения для корней уравнения (5.1.17) в виде

 

Ограничимся членами порядка и поэтому разложение (5.1.18) назовем разложение второго порядка.

Подставляя (5.1.18) в (5.1.17), получим

 

 

перемножив, получим

 

 

Объединяя члены с одинаковыми  степенями , имеем

 

 

В соответствии с выбранной  формой разложения, сохраняем лишь члены до порядка Приравнивая к нулю коэффициенты при последовательных степенях в соотношении (5.1.19), получаем

 

 

 

что позволяет последовательно  найти значения

Решение уравнения (5.1.20) дает

 

При переписывается в виде

 

Далее, из (5.1.22) находим

 

или .

Таким образом, один из корней можно представить разложением

 

При (5.22) переписывается в виде

 

а из соотношения (5.1.22) имеем

 

или

 

Тем самым второй корень исходного уравнения дается разложением

 

Выражения (5.1.23) и (5.1.24) показывают, что при

полученные разложения перестают  быть справедливыми (они оказываются неравномерными), поскольку в этом случае «поправки» к решению вырожденного уравнения будут стремиться к бесконечности. Фактически для того, чтобы построенные разложения действительно оказались непригодными, не обязательно должно строго равняться единице. Эти разложения нарушаются всякий раз, когда члены первого и последующих порядков становятся сравнимыми по величине с членом нулевого порядка, так как в этом случае поправки к члену нулевого порядка будут уже не малыми, в противоположность предположению, лежащему в основе описываемого метода. Чтобы определить порядок величин , для которых разложения (5.1.23), (5.1.24) оказываются непригодными (т. е. найти область их неравномерности), установим условия, при которых последовательные члены разложения имеют одинаковый порядок. Так, из формулы (5.1.23) следует, что нулевой и первый члены этого разложения оказываются одного и того же порядка, когда

 

в то время как первый и второй члены будут иметь одинаковый порядок, когда

 

или же

 

Поскольку для малых больше, чем то область неравномерности будет наибольшая из указанных двух областей, т.е. она будет даваться соотношением

Неравномерности в разложениях  возникают тогда, когда при построении этих разложений необоснованно используется та или иная элементарная операция. Для того чтобы выяснить, какая  это операция, обратимся к точному  решению.

Перепишем (5.1.17) в виде

 

или

 

Корни этого уравнения  даются формулой

 

или

 

Разложим (5.1.25) в случае малых и сравним результат с (5.1.23) и (5.1.24). Используя биноминальную формулу, получаем

 

 

 

 

где в соответствии с видом искомого разложения сохранены лишь члены порядка Подставляя (5.1.26) в (5.1.25), с учетом положительного знака перед радикалом для одного из корней получаем

 

или

 

в полном соответствии с (5.24).

При выводе формул (5.27) и (5.28) из точного решения выполним возведение в степень в (5.26), а так же сложение и вычитание в (5.27) и (5.28). Сложение и вычитание являются обычно обоснованными  операциями, так что «подозрительной  » представляется операция возведения в степень. Действительно, при аппроксимации разложением вида мы неявно предположили, чтоВ данном примере величина

 

мала по сравнению с  единицей, только если не слишком близко к единице. В случае обращается в бесконечность не зависимо, от того, насколько мало лишь бы оно было отлично от нуля. Поэтому в (5.29) следует, что биноминальное разложение становится непригодным, когда , или или же

Следовательно, для получения  равномерно пригодного разложения в  случае, когда  необходимо видоизменить описанную выше методику с учетом этого обстоятельства. Это можно осуществить, если ввести так называемый «параметр расстройки», определяемый соотношением

 

где независимо от Подставляя (5.1.30) в (5.1.17), имеем

 

При уравнение (5.31) сводится к уравнению имеющему двукратный корень Этот факт, а так же наличие в уравнении (5.1.31) множителя дают возможность предположить, что искомое разложение следует искать в виде

 

Ограничимся вычислением  лишь члена порядка поскольку построение высших приближений представляется очевидным. Подстановка первых двух членов разложения (5.1.32) в (5.1.31) дает

 

или

 

что приводит к уравнению 

 

корни которого записываются как

 

Таким образом, корни уравнения (5.17) в этом случае в этом случае даются разложениями

 

                                                                                         (5.1.33)

 

равномерным при или

 

Пример 3.

Рассмотрим уравнение 

 

в котором малый параметр стоит множителем при наибольшем степени Когда уравнение (5.34) вырождается в уравнение первого порядка

 

имеющее только один корень. Таким образом, величина претерпевает разрыв при Такую задачу принято называть задачей сингулярных возмущений.

Уравнение (5.35) дает возможность предположить, что один из его корней следует искать в виде разложения

 

Для упрощения вычисления ограничимся нахождением только членов первого порядка. Подставляя (5.1.36) в (5.1.34), имеем

 

или

 

или же

 

Приравнивая коэффициенты при  одинаковых степенях получаем систему

 

из которой можно последовательно  найти  и . В частности, и что дает для одного из корней

 

Описанная методика позволяет  найти только один корень уравнения  (5.1.34). В целях разработки модифицированной процедуры, позволяющей определить второй корень этого уравнения, обратимся к его точному решению:

 

Используя биноминальную  формулу, получаем

 

Подставляя (5.39) в (5.38) с положительным  знаком перед радикалом, имеем для  одного из корней уравнения

 

в полном соответствии с (5.37) . Подставляя (5.39) в (5.38) с отрицательным знаком перед радикалом, для второго корня исходного уравнения находим

 

Таким образом, оба корня  описываются разложениями по степеням но одно из них начинается с члена порядка Выбранная форма искомого разложения не позволяет найти корень (5.1.41). Очевидно, что без знания особенностей структуры второго корня сказывается невозможным определить его с помощью традиционной техники возмущений. Однако в общем случае, когда точное решение неизвестно, характер корней также заранее не известен и должен определяться в процессе нахождения решения. Вместе с тем ясно, что при сохранении порядка исходного уравнения второй корень становится неограниченным при и поэтому старший член разложения следует искать в виде

 

с положительным определяемым в процессе дальнейшего решения. Подставив теперь (5.1.42) в (5.1.34) имеем

 

Далее, выделим в (5.1.43) члены, играющие определяющие роль. Для восстановления структуры второго корня сохраним первый член в противном случае придется сразу же остановиться. Так как то второй член много больше 1 и, следовательно, главная часть (5.1.43) будет

 

При этом степени в обоих слагаемых соотношение (5.1.44) должны быть одинаковы, т.е.

 

дляотличных от нуля. Затем из (5.1.44) получаем

 

Значение соответствует первому корню (5.1.37), поскольку в области он оказывается равным нулю; значение соответствует второму корню исходного уравнения. Тем самым из (5.1.42) следует, что первое приближение для второго корня можно записать как

 

В полном соответствии с (5.1.41). Для ограничения следующих членов в разложении для второго корня попытаемся искать его в виде