Иррациональные уравнения

Ещё не мешает знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный логарифм? В математике два основания употребляются очень часто. Это основание 10 и основание е.

Значки логарифмов по этим основаниям имеют своё написание.

log10b = lgb

Основание 10 не пишется, буква "о" пропадает. Такие логарифмы называются десятичными. И

logeb = lnb

Логарифмы по основанию "е" называются натуральными.

Эти логарифмы ничем не отличаются от всех остальных! Ни по определению, ни по свойствам! Решение этих логарифмов ничем не отличается от решения обычных!

Пора переходить к лаконичным математическим формулировкам. К свойствам логарифмов. Популярное выражение "Решение логарифмов" предполагает не только вычисления, но и преобразования. По определённым правилам, естественно.

Запишем знакомое нам выражение:

logab = c

 

Мы уже хорошо знаем, что если число а (основание) возвести в степень с, то получим число b. Это из самого определения логарифма следует. Стало быть, можно записать:

 

ac = b

 

А теперь смотрим, чему же равно число с? Да вот оно:

 

с = logаb

Подставим это в предыдущую формулу, и получим: ac = b    и   с = logаb, значит , a logаb = b –основное свойство логарифмов

Единственная формула, где логарифм стоит в показателе степени.

Приведу ещё свойства, которые не требуют специальных выводов, а проистекают из определения логарифма и элементарной логики.

Чему равняется выражение:

logа1 = ?

В какую степень надо возвести а, чтобы получить 1? Неужели забыли? Нет? Ну, хорошо! Да, в нулевую! Вот и пишем:

Думаю, что следующее свойство уже не требует разъяснений:

logаа = 1

Свойства логарифмов.

a logаb = b –основное свойство логарифмов,

logа1 = 0,

logаа = 1,

logа (ху)=logах+ logау ,

logа =logах- logау,

рlogах = logа хр.

Ещё нужно знать формулу перехода

 

Первые три - понятны. Остаётся всего пять запомнить. Но их надо знать обязательно. Причем слева направо и справа налево. Обратите внимание - действия с логарифмами (формулы 4 и 5) возможны только при одинаковых основаниях! А если основания разные!? А вот тут нас как раз спасёт последняя формула.

Ещё отмечу, что эти формулы верны безо всяких оговорок для положительных х и у. В числовых логарифмах так обычно и бывает. А вот в уравнениях придётся модули использовать.

log142 + log147 = ?

 

Оба логарифма ровно не считаются. Смотрим на формулы - свойства и выбираем нужную. Это четвёртая формула, только справа налево.

log142 + log147 = log14(2·7) = log1414 = 1

 

Как видите, свойства логарифмов позволили нам перейти от несчитаемого выражения к числу 1. Собственно, это и есть общая идея решения логарифмов (да и идея математики вообще!) - использование правил, свойств для преобразования выражений.

 

◄log9243 =

 

◄2log63+log64 =

 

◄log28+log48 =

 

 

1.3. Решение простейших логарифмических уравнений.

 

Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию а, где , , называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.

 

, так как   , ; .           , т.к. , т.к.   Основное логарифмическое тождество:  , ; .

Примеры:   1) , т.к. ; 2) , ; 3) ;   4) , т.к. ; 5) , т.к. ;       6)

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них. В простейших уравнениях этот переход осуществляется в один шаг.

Решаем первый пример:

 

log3х = log39

 

Для решения этого примера нужно знать теорему существования единственного корня.

х = 9

Так можно и нужно делать всегда. Ликвидация логарифмов подобным образом - один из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция называется потенцирование. Есть, конечно, свои правила на такую ликвидацию, но их мало. Запоминаем:

Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве.

Поясню последний пункт. В уравнении, скажем,

log3х = 2log3(3х-1)

убирать логарифмы нельзя. Коэффициент 2 не позволяет. В примере

log3х+log3(х+1) = log3(9+х) - тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два.

Короче, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так:

logа(.....) = logа(.....)

В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, или сложные. Важно то, что после потенцирования логарифмов у нас остаётся более простое уравнение.  Предполагается, конечно, что решать линейные, квадратные, дробные, показательные и прочие уравнения без логарифмов вы уже умеете.

Теперь легко можно решить второй пример:

log7(2х-3) = log7х

Собственно, в уме решается. Потенцируем, получаем:

2х-3 = х

х=3

 

Решаем третий пример:

log7(50х-1) = 2

Видим, что слева стоит логарифм:

log7(50х-1)

Вспоминаем, что этот логарифм - какое-то число, в которое надо возвести основание (т.е. семь), чтобы получить подлогарифмическое выражение, т.е. (50х-1).

Но это число равно двум! Стало быть:

72 = 50х-1

Вот, в сущности, и всё. Логарифм исчез, осталось безобидное уравнение:

50х-1 = 49.

х = 1.

 

Мы решили это логарифмическое уравнение исходя только из смысла логарифма.

Совершенно аналогично (по определению) решается и четвёртое уравнение:

 

logх-18 = 1

 

(х-1)1 = 8

х-1 = 8

х = 9

Решить уравнения:

◄ln(7х+2) = ln(5х+20)

 

◄log2(х2+32) = log2(12x)

 

◄log2х = 4

 

◄log16(0,5х-1,5) = 0,25

 

◄log0,2(3х-1) = -3

 

◄ln(е2+2х-3) = 2

 

◄logх5 = 0,5

 

◄log2(14х) = log27 + 2

 

Решение любого логарифмического уравнения состоит из двух равноценных частей. Одна часть - это решение самого уравнения. Вторая - решение условий ОДЗ. Эти части решаются независимо друг от друга. Стыковка результатов происходит на финишном этапе решения.

Практические советы:

1. Прежде всего - записываем условия  ОДЗ по исходному примеру.

2. Выбираем, с чего начинать решение. Можно начинать с уравнения, можно - с условий ОДЗ.

3. Решив уравнение и ОДЗ, сводим  результаты в общий ответ.

4. Если пример позволяет, ОДЗ  можно не решать. Достаточно подставить  результаты уравнения в записанные  условия ОДЗ и проверить, какие  решения проходят. Их и взять  за ответы.

 

1.4Решение  простейших тригонометрических уравнений

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

 

  Частные случаи решения тригонометрических уравнений  осуществляются по следующему принципу

                            

 

 

 

 

Формулы для нахождения корней тригонометрических уравнений вида

        

         ,значит,

 

Примеры:

 

◄

  

◄   - здесь ,то 

 

 

◄

  

 

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существуют основные методы решения  тригонометрических уравнений.

Пример.

      sin2 sinx-cos2

     sin2 cos2 = sinx+1

           

1. Алгебраический метод.  Этот  метод нам хорошо известен  из алгебры 

   ( метод замены переменной и подстановки ).

Пример.

6 cos2 + cos -1=0

Обозначим   ,тогда уравнение примет вид:

6 t2+t-1=0, а такое уравнение решаем без затруднений.

t=-   или  t=   . И вот теперь самое время вернуться к .

,    .

,

2. Разложение на множители.  Этот  метод рассмотрим на примерах.

    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

    Р е ш е н и  е .   Перенесём все члены  уравнения влево:

                                                               sin x + cos x – 1 = 0 ,

                               преобразуем и разложим на  множители выражение в

                               левой части уравнения:

 

sin x -2 sin 2 = 0

2 sin   cos   -    2 sin 2 = 0

              

2 sin   (cos - sin   )=0

sin =0 или     сos - sin =0

 

    П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

    Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

                                             sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

                                               sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

 

   А корни таких уравнений вы отыщите легко.                           

 

 

    П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.

     Р е ш е н и е .                                 cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

                                                             2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

                                                            cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

                                                              cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                                     1) cos 4x = 0 ,               2)  sin 3x = 0 ,          3)sin x = 0 ,

 

        Решение частных случаев выведут к верным корням уравнений.                   

 

3. 

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

   а)  перенести все его  члены в левую часть;

   б)  вынести все общие  множители за скобки;

   в)  приравнять все множители  и скобки нулю;

   г)  скобки, приравненные  нулю, дают однородное уравнение  меньшей степени, которое следует  разделить на 

 

        cos ( или sin ) в старшей степени; 

   д)  решить полученное  алгебраическое уравнение относительно tg. 

  *  П р и м е р .  Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

    Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

                             sin 2 x + 4 sin x  · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

                             tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,   отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,             *

                             корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда

 

                             1)   tg x = –1,                  2)   tg x = –3,

 

                             

Кстати ,эти формулы тоже важны:

Z.     Z.

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

    П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7.

    Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

 

                                                                         = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

 

                             2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x  / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

 

                             tg ² ( x / 2 ) – 3 tg ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

 

                             Заменим      tg ( x / 2 ) =z   , то получим уравнение с новой переменной: z2 - 3z+6=0,так мы добились встречи со знакомыми…

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

6. Преобразование произведения  в сумму. Здесь используются соответствующие  формулы.

    П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin x -sin 3x = cos 4x.

    Р е ш е н и  е .  Преобразуем левую часть в сумму:

                                          cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

                                                 cos 8x = 0 ,

                                                8x = ,

                                                  x = .

 

 

 

 

7.Универсальная подстановка. Рассмотрим  этот метод на примере.

 

                                                                                                                                             

      П р и м е  р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .

 

Т.к. sinx =        и cosx =  , тогда

 

3 - 4 =3, применив свойство к решению уравнений, заметим-

 

6 - 4+4 = 3+3 ,

 

+ 6 - 7=0. А вот и опять знакомое уравнение, завершить его по примеру      *

 

1.5Возвратные уравнения.

 

Уравнения вида a0x2n+1+a1x2n+  …  +anxn+1+an+1xn+…+a2nx+a2n+1=0 называют возвратными уравнениями нечетной степени,

Уравнения вида a0x2n+a1x2n−1+…+an−1xn+1+anxn+…+a2n−1x+a2n=0 называют возвратными уравнениями четной степени,

Пример: Уравнение 2x5+5x4−13x3−13x2+5x+2=0  степени 5 (нечетное число), тогда один из корней x = -1.

Разделим левую часть уравнения на x+1 , получим симметрическое уравнение 4 степени.

2x5+5x4−13x3−13x2+5x+2      х+1

2х5+2х4                                        2х4+3х3-16 x2+3х+2

         3х4-13х3                                                       

       3х4+3х3

                 -16х3-13 x2

                  -16 x3-16 x2

                          3 x2+5х

                         3 x2+3х  

                                   2х+2

                                   2х+2

                                         0     

 

2х4+3х3-16 x2+3х+2=0 – Разделим уравнение на х2

2х2+3х-16+ + =0

2(х2+ )+3(х + )-16=0, что -то видим родственное (  х + )2   =   х2+ +2,а нам необходима только сумма      из 2-х слагаемых   -    х2+ .Значит, нужно исключить 2, но не забываем умножить на коэффициент 2. Теперь самое время ввести новую переменную: у= х +

2у2-4 +3у-16=0

2у2+3у-20=0

D=32-4 2  (-20)=169

у=-8 или у=5 . Возвращаемся к замене

х + =-8 и снова получим знакомое уравнение, если  умножим на х.

х2+1+8х=0                 или           х + =5