Автор работы: Пользователь скрыл имя, 12 Января 2014 в 15:45, курсовая работа
В приложениях чаще всего встречаются случаи, когда коэффициенты уравнения (1) являются либо полиномами, либо отношениями полиномов.
В первом случае мы получаем решение в виде степенного ряда, сходящегося при всех значениях , во втором случае радиус сходимости степенного ряда, представляющего решение не меньше от точки до ближайшего из точек, в которых знаменатели коэффициентов уравнения, рассматриваемые как функции комплексной переменной , обращаются в нуль.
Можно доказать, что второе частное решение, т.е. решение, соответствующее корню , имеет вид:
Входящий сюда степенной ряд сходится при . Поэтому формула
дает общее решение уравнения Гаусса в области
Напоминаю, что в формулах (71), (73) и (74) согласно сделанному предположению, число не равно ни целому числу, ни нулю. Если, в частности, , то первое частное решение (71) сохраняет смысл, в то время как второе частное решение обязательно должно содержать , ибо в этом случае оба корня определяющего уравнения будут одинаковые:(более подробное рассмотрение уравнения Гаусса дается в приложении).
К уравнению Гаусса приводятся многие другие дифференциальные уравнения. В частности, к нему приводится уравнения Лежандра:
Для этого достаточно положить
Тогда:
и мы получаем:
Это есть уравнение Гаусса с параметрами:
Оба корня определяющего уравнения
в особой точке равны нулю. Поэтому одно решение будет голоморфно в окрестности точки , а второе будет обязательно содержать . Если, в частности, целое положительное число, то гипергеометрический ряд, дающий первое решение, обрывается и превращается в полином степени . Следовательно, при целом, больше нуля, одно из решений уравнения Лежандра будет полином от :
Этот полином называется полиномом Лежандра. Можно доказать, что
Доказательство этой формулы имеется в приложении.
Информация о работе Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов