Формулировка линейной производственной задачи

Звездочкой обозначен  максимальный суммарный эффект от выделения  соответствующего размера  инвестиций в размере 700 тыс. рублей 4-м предприятиям.

 

Z max = 294 тыс. рублей,

 

 

причем 4-ому предприятию  должно быть выделено

х4* = х4 (700) = 200 тыс. рублей

ЛИБО

х4** = х4 (700) = 100 тыс. рублей.

 

На долю остальных  трех предприятий остается в 1-ом случае (х4* = 200) 500 тыс. рублей,

                                                                                     во 2-ом случае (х4** = 100) 600 тыс. рублей.

 

Из Таблицы № 2.2. видно, что 3-ему предприятию должно быть выделено

в 1-ом случае  (х4* = 200): х3* = х3 (700 – х4*) = х3 (500) = 100 тыс. рублей

во 2-ом случае (х4** = 100): х3** = х3 (700 – х4**) = х3 (600) = 100 тыс. рублей.

Таким образом, х3* = 100 тыс. рублей.

 

Продолжая обратный процесс, находим:

в 1-ом случае  (х4* = 200): х2* = х2 (700 – х4* - х3*) = х2 (400) = 200 тыс. рублей

во 2-ом случае (х4** = 100): х2** = х2 (700 – х4** - х3*) = х2 (500) = 300 тыс. рублей

ЛИБО

х2*** = х2 (500) = 200 тыс. рублей = х2*.

 

На долю 1-ого предприятия  останется:

х1* = 700 – х4* - х3* - х2* = 200 тыс. рублей

х1** = 700 – х4** - х3** - х2*** = 300 тыс. рублей

х1*** = 700 – х4** - х3** - х2** = 200 тыс. рублей = х1*

 

Таким образом, одинаково  оптимальными будут являться 3 варианта распределения капитальных вложений.

1-ый вариант

х1* = 200;	Z max = 294
х2* = 200;
х3* = 100;
х4* = 200

 

2-ой вариант

х1* = 200;	Z max = 294
х2** = 300;
х3* = 100;
х4** = 100

 

3-ий вариант

х1** = 300;	Z max = 294
х2* = 200;
х3* = 100;
х4** = 100

 

В качестве проверки правильности решения задачи можно использовать равенство:

Z max = f1(x1) + f2(x2) + f3(x3) + f4(x4)

1-ый вариант:        64 + 75 + 85 + 70 = 294 тыс. рублей

2-ой вариант:         64 + 98 + 85 + 47 = 294 тыс. рублей

3-ий вариант:         87 + 75 + 85 + 47 = 294 тыс. рублей

 

Следовательно, полученные решения верны.

5.  АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ

Задание

Провести анализ доходности и риска финансовых операций по следующим  исходным данным:

 

Q1:	2	6	8	12
	1/5	1/5	1/5	2/5

 

Q2:	0	1	5	14
	1/5	2/5	1/5	1/5

 

Q3:	2	4	6	18
	1/5	2/5	1/5	1/5

 

Q4:	0	8	16	20
	1/2	1/8	1/8	1/4

 

Рассмотрим финансовые операции в качестве случайных величин

 

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния  которой имеют денежную оценку, и  цель проведения которой заключается  в максимизации дохода - разности между  конечной и начальной оценками.

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию).

Наиболее распространенным способом анализа доходности и риска  финансовой операции является рассмотрение финансовой операции как случайной  величины.

Пусть эффективность  финансовой операции есть случайная величина Q. Закон распределения вероятностей данной случайной величины задается рядом распределения (таблицей, в которой в верхней строке по возрастанию расположены значения случайной величины, а в нижней – соответствующие этим значениям вероятности).

Средний ожидаемый от реализации данной операции доход  (ожидаемая эффективность операции) описывается математическим ожиданием случайной величины Q (наиболее употребительной числовой характеристикой центра группирования значений случайной величины):

,

где pi есть вероятность получить доход qi.

Мерой разбросанности возможных  значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода, и, следовательно, количественной мера риска отклонения реальных значений эффективности операции от прогнозируемых, вполне разумно считать среднее квадратичное отклонение случайной величины Q

r =

,

Поскольку средним квадратичным отклонением случайной величины является неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии случайной величины, вспомним, что дисперсией случайной величины Q будет являться математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания

 

Найдем ожидаемые  эффективности и риски каждой из 4-х финансовых операций

Рассмотрим четыре финансовых операции , ряды распределения которых указаны в «Задании». Найдем средние ожидаемые доходы и риски каждой из четырех операций:

 

1). = M [Q1] = ∑ qj pj = 2*1/5 + 6*1/5 + 8*1/5 + 12*2/5 = 8

                                                 j

M [Q1²] = ∑ qj² pj = 4*1/5 + 36*1/5 + 64*1/5 + 144*2/5 = 392/5 = 78.4

                                     j

² = 64

 

D [Q1] = 78.4 – 64 = 14.4

 

r1 = ≈ 3.8

Таким образом, = 8,

                            r1  ≈ 3.8

 

2). = M [Q2] = ∑ qj pj = 0*1/5 + 1*2/5 + 5*1/5 + 14*1/5 = 21/5 = 4.2

                                                  j

M [Q2²] = ∑ qj² pj = 0*1/5 + 1*2/5 + 25*1/5 + 196*1/5 = 223/5 = 44.6

                                     j

² = 17.64

 

D [Q2] = 44.6 – 17.64 = 26.96

 

r2 = ≈ 5.2

Таким образом, = 4.2,

                             r2  ≈ 5.2

 

3). = M [Q3] = ∑ qj pj = 2*1/5 + 4*2/5 + 6*1/5 + 18*1/5 = 34/5 = 6.8

                                                  j

M [Q3²] = ∑ qj² pj = 4*1/5 + 16*2/5 + 36*1/5 + 324*1/5 = 396/5 = 79.2

                                     j

² = 46.24

 

D [Q3] = 79.2 – 46.24 = 32.96

 

r3 = ≈ 5.7

Таким образом, = 6.8,

                             r3  ≈ 5.7

 

4) = M [Q4] = ∑ qj pj = 0*1/2 + 8*1/8 + 16*1/8 + 20*1/4 = 8

                                                  j

M [Q4²] = ∑ qj² pj = 0*1/2 + 64*1/8 + 256*1/8 + 400*1/4 = 8 + 32 + 100 = 140

                                     j

² = 64

 

D [Q4] = 140 – 64 = 76

 

r4 = ≈ 8.7

Таким образом, = 8,

                             r4  ≈ 8.7

Найдем финансовую операцию, оптимальную по Парето, по результатам  проведенного анализа доходности и  риска финансовых операций укажем лучшую и худшую из 4-х операций.

Нанесем точки с координатами ( ; ) на единый график – средний ожидаемый доход откладываем по вертикали, а риск по горизонтали:

 

Получили 4 точки. Чем выше точка , тем более доходная операция, чем точка правее – тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее.

Операция Qi доминирует операцию Qj, если:

М [Qi] ≥ M [Qj]                                                         М [Qi] > M [Qj]

ИЛИ

       ri  <   rj                                                              ri  ≤   rj

 

В нашем случае 1-ая операция  Q1 доминирует все остальные. Операция Q1 является оптимальной по Парето, поскольку не существует операции, которая бы ее доминировала.

Лучшая финансовая операция всегда выбирается из множества операций, оптимальных по Парето. Поскольку  в нашем случае, только одна операция является оптимальной по Парето –  первая, именно она и является лучшей.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию.

Например, пусть взвешивающая формула есть φ (Q) = Q – r.

Тогда получаем: φ (Q1) = 8 – 3.8 = 4.2

                             φ (Q2) = 4.2 – 5.2 = - 1

φ (Q3) = 6.8 – 5.7 = 1.1

φ (Q4) = 8 – 8.7 = - 0.7

Видно, что 1-ая операция – лучшая, а 2-ая – худшая.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Соловьев В.И. Прикладная математика: Электронный учебный курс. – М., 2003.
2. Колемаев В. А., Калинина В. Н. «Теория вероятностей и математическая статистика.», ИНФРА-М, 2000.
3. Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. «Прикладная математика: Учебное пособие для вузов» — М.: ИНФРА-М, 2002.