Формирование познавательной потребности у учащихся средствами информационных технологий

3)  разбивают отрезок [a; b] на n равных частей;

4)  составляют сумму

Sn=f(x0)Δx0+f(x1) Δx1+…+f(xk) Δxk+…+f(xn-1) Δxn-1;

3) вычисляют  .

Автор учебника поясняет, что в курсе математического анализа доказано, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a; b].

После чего автор  учебника возвращается к трем рассмотренным  ранее задачам и результат, полученный при их решении, переписывает следующим образом:

·            ,

где S площадь  криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x);

·            ,

где m – масса  неоднородного стержня с плотностью p(х);

·            ,

где s перемещение  точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t).

В учебнике в физических приложениях интеграла приводятся те же задачи, что и при введении понятия интеграла, а именно задачи о массе стержня и перемещении точки. Этим автор учебника и ограничивает изучение приложений интеграла в физике.

В учебнике С.М.Никольского "Алгебра и начала анализа" рассмотрение задачи о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к понятию интегральных сумм и пределу от них, после чего вводится определение определенного интеграла [47]. Теоретическое обоснование применения определенного интеграла рассматривается в таких физических задачах, как задачи на работу силы, работу электрического заряда, на вычисление массы стержня переменной плотности, давления жидкости на стенку и центра тяжести. Среди приложений интеграла в физике рассматриваются следующие задачи (вместе с теоретическим их обоснованием): задачи о работе силы, работе электрического заряда, задача о массе стержня переменной плотности, задача о давлении жидкости на стенку, задача о нахождении центра тяжести системы материальных точек. Однако, автор учебника приводит очень скупую систему упражнений, при чем не использует в практических задачах и половины тех формул, которые были ранее выведены.

В учебнике Ш.А.Алимова "Алгебра и начала анализа" перед введением понятия интеграла  рассматривается задача о нахождении площади криволинейной трапеции, где вычисление площади сводится к отысканию первообразной F(х) функции f(x) [2]. Разность F(b)- F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b]. Далее автор рассматривает вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм, говорит о том, что такой способ приближенного вычисления интеграла требует громоздких вычислений и им пользуются в тех случаях, когда не удается найти первообразную функции. В качестве примеров применения интеграла приведены задачи о вытекании воды из бака и нахождении работы силы. Задачи для самостоятельного решения однотипны и их очень мало.

К учебнику А.Н.Колмогорова  предполагается дидактический материал, авторами которого являются Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.М.Шварцбурд [17,33]. В данном пособии содержатся самостоятельные и контрольные работы, проверочные работы, материал для итогового повторения и программированного контроля и карточки-задания для зачетов. Все они даны в соответствии с действующим учебником "Алгебра и начала анализа" под редакцией А.Н. Колмогорова.

 

2.2 Экспериментальная  работа по формированию познавательной потребности учащихся средствами информационных технологий на примере изучения темы "Интегралы"

Экспериментальная работа проводилась в 11 "Б" классе МОУ СОШ №3 г. Абдулино Оренбургской области совместно с учителем по математике высшей категории Н.В. Николаевой. Выборку составили 20 учеников.

Для проверки выдвинутой нами гипотезы мы продумали и организовали педагогический эксперимент, который осуществлялся в три этапа: констатирующий, формирующий, контрольный. На констатирующем этапе нами была подобрана система методик, и по ним было проведено исследование по выявлению степени сформированности познавательной потребности у школьников. На основе анализа результатов констатирующего среза были выделены группы учащихся по уровню сформированности познавательной потребности, которые мы учитывали при организации уроков с использованием информационных технологий.

В школе, где  я проходила практику, ведется преподавание по программе А.Н. Колмогорова. Исследуемая тема отражена в третьей главе учебника А.Н.Колмогорова и состоит из двух параграфов (§7 "Первообразная" и §8 "Интеграл"), что составляет 11 уроков.

При изучении темы "Интеграл" в 11 классе использовались следующие информационные технологии: интерактивная доска, мультимедийная презентация, проектор (таблица 4).

Таблица 4

№	Название темы урока	Количество часов	Применяемые ИТ
1	Интеграл. Площадь  криволинейной трапеции. Вводный  урок	2	Мультимедийный проектор (Power Point)
2	Формула Ньютона-Лейбница	4	Мультимедийный  проектор (Power Point)
3	Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций с помощью интегралов. Вычисление определенного интеграла с помощью  программ MS Excel.	1	Мультимедийный проектор (Power Point), Интерактивная доска
5	Применение интегралов к решению физических задач.	1	Мультимедийный  проектор (Power Point)
6	Обобщающий урок	1	Интерактивная доска, Мультимедийный проектор (Power Point)
7	Контрольная работа. Зачет	2

На уроках использовались различные формы учебной работы: фронтальная, дифференцированно-групповая, индивидуальная и индивидуализированная (самостоятельная работа, домашние задания, тесты, зачеты). Чаще всего  в своей работе я проводила  комбинированные уроки, которые строятся на совокупности логических не обусловленных звеньев процесса обучения. Использование познавательной потребности способствует повышению успеваемости (в особенности за счет уменьшения неудовлетворительных оценок и увеличения количества хороших оценок). Сильным ученикам особенно нравятся задания, которые требуют большего напряжения и дают дополнительную информацию, слабые же получают удовлетворение от успеха, поскольку им приходится работать со значительно более доступным материалом, чем прежде. Повышается интерес к предмету.

Рассмотрим несколько  уроков.

Для начала нами был проведен вводный урок с применением  электронной презентации, в котором  были даны основные понятия темы (см. приложение 1). Приведем фрагмент урока  по теме 1.

Урок 1.

Тема: Интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Вводный урок

Цель: сформировать представления о криволинейной  трапеции и интеграле, сформировать умения самостоятельно в комплексе  применять знания, умения и навыки, осуществлять их перенос в новые  условия.

Задачи:

Обучающая: создать  условия для формирования представления  о площади криволинейной трапеции и интеграле.

Развивающая: развивать  познавательную потребность учащихся.

Воспитательная: воспитывать умение организовать свою деятельность, формирование ценностной ориентации, мировоззрения.

Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор, экран.

Содержание урока: данный урок носит ознакомительный характер, ученики знакомятся с понятиями "площадь криволинейной трапеции", "первообразная", "интеграл", получают понятие об интеграле как площади криволинейной трапеции. Тема рассчитана на 2 часа.

План урока:

1.         Организация начала урока.

2.         Постановка проблемы урока.

3.         Актуализация ЗУН, необходимых для творческого применения знаний.

4.         Формирование новых понятий и способов действий

5.         Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности

6.         Усвоение образца комплексного применения ЗУН

7.         Применение знаний умений и навыков в новых условиях

8.         Подведение итогов урока

Ход урока:

1. Организация  начала урока. Проверка присутствующих,

2. Постановка  проблемы урока. Постановка целей  и задач урока.

3. Актуализация  ЗУН, необходимых для творческого  применения знаний.

Проиллюстрируем фрагмент урока. Чтобы заитересовать учащихся даются исторические сведения об интеграле (Слайд 2).

 

 

Формирование  новых понятий и способов действий.

Определение криволинейной  трапеции. Площадь криволинейной  трапеции. Если на [а;b] ([а;b] ?Ох) функция у=f(х) – непрерывная, не меняет знак (график не пересекает ось абсцисс), тогда фигура, ограниченная графиком функции f, отрезком [а;b] и прямыми х = а, х = b, называется криволинейной трапецией (слайд 8).

Если f - непрерывная  и неотрицательная на отрезке [а;b] функция, а F – её первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей  криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [а;b], т.е.

Введение понятия "интеграл".

Рассмотрим другой подход к задаче вычисления площади  криволинейной трапеции. Для простоты будем считать функцию f неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; b] тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом.

 

Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков одинаковой длины точками x0 = а<x1 < x2 < … <xn-1 < xn = b и пусть

,

где k = 1, 2, ..., n — 1, n. На каждом из отрезков [xk-1; xk] как  на основании построим прямоугольник  высотой F(xk-1). Площадь этого прямоугольника равна:

а сумма площадей всех таких прямоугольников равна:

В силу непрерывности  функции f объединение построенных  прямоугольников при большом n, т. е. при малом Δx, "почти совпадает" с интересующей нас криволинейной  трапецией. Поэтому возникает предположение, что Sn≈S при больших n. (Коротко говорят: "Sn стремится к S при n, стремящемся к бесконечности" и пишут: Sn→S при n→∞.) Предположение это правильно. Более того, для любой непрерывной на отрезке [а; b] функции а (не обязательно неотрицательной) Sn при n→∞ стремится к некоторому числу. Это число называют (по определению) интегралом функции f от а до b и обозначают  , т. е.

при n→∞

(читается: "Интеграл от а до b эф от икс дэ икс"). Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Знак  называют знаком интеграла. Функция f называется подынтегральной функцией, а переменная х переменной интегрирования. Итак, если f(х)≥0 на отрезке [а; b] то площадь S соответствующей криволинейной трапеции выражается формулой

Полный конспект урока см. приложение 1.

В теме "Применение интегралов" мы изучили площадей криволинейных трапеций с помощью  интегралов. В процессе проведения опытно-экспериментальной работы нами был разработан план урока для 11 класса на тему: "Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций с помощью интегралов. Вычисление определенного интеграла с помощью MS Excel" с применением интерактивных досок и информационных технологий (урок 7). Приведем фрагмент урока по теме 7 (см. приложение 1).

Тема урока: Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций с помощью интегралов. Вычисление определенного интеграла с помощью программ MS Excel.

Цель: Обеспечить закрепление понятия интеграл, способы  его вычисления, применение интеграла  для вычисления площадей.

Задачи:

Обучающая: сформировать навыки планирования ответа, умение считать  и писать в быстром темпе, навыки самоконтроля

Развивающая: развивать  познавательную потребность учащихся.

Воспитательная: воспитывать умение организовать свою деятельность, формирование ценностной ориентации, мировоззрения.

Содержание урока: Данная тема рассчитана на два часа и состоит из двух частей: часть 1 – "Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций с помощью  интегралов. В процессе изучения данной темы учащиеся узнают о физическом приложении интеграла.

План урока:

1.         Организация начала урока.

2.         Постановка проблемы урока.

3.         Актуализация ЗУН, необходимых для творческого применения знаний

4.         Контроль и самоконтроль знаний, умений и навыков по теме интеграл

5.         Формирование новых понятий и способов действий

6.         Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности

7.         Усвоение образца комплексного применения ЗУН

8.         Применение знаний умений и навыков в новых условиях

9.         Подведение итогов урока

Задание 2. Вычисление определенного интеграла с помощью  таблицы Excel.

Для численного вычисления определенного интеграла  методом трапеций используется формула:

 

Методику вычисления определенного интеграла в Excel с  использованием приведенной формулы  рассмотрим на примере.

Пусть требуется  вычислить определенный интеграл

Величина интеграла, вычисленная аналитически равна 9. Для  численного вычисления величины интеграла  с использованием приведенной формулы  выполните следующие действия:

-    табулируйте подинтегральную функцию в диапазоне изменения значений аргумента 0 – 3 (см. рис.).

-    в ячейку С3 введите формулу =(A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2+C2, которая реализует подинтегральную функцию.

-    Скопируйте буксировкой формулу, записанную в ячейке С3 до значения аргумента х = 3. Вычисленное значение в ячейке С17 и будет величиной заданного интеграла - 9.

Вычислите интегралы, работая парами.

Это можно проиллюстрировать  использованием компьютера при изучении темы "Применение определенного интеграла к вычислению площадей" на уроках математики. Подходящим программным средством в качестве компьютерной поддержки темы может использоваться электронные таблицы EXCEL. Разработка в ней задачи интегрирования позволяет, во-первых, освоить многие операции, изучаемые в программном средстве по предмету информационных технологий, и, во-вторых, закрепить материал по интегрированию в приложении к вычислению площадей. Тем самым значительно сокращаются затраты учебного времени по общим предметам. Программная разработка в EXCEL состоит из набора изучаемых функций; степенных, показательных, тригонометрических, для которых предлагается ввести соответствующие числовые коэффициенты и пределы интегрирования. В соседний столбец для каждой функции выведены формулы для вычисления первообразных с указанными коэффициентами и пределами интегрирования. После выбора функций значения интегралов и соответствующих им площадей рассматриваются автоматически. На графики выводятся подынтегральная функция и первообразная. Таким образом, имеется возможность графически и численно проанализировать характер функций и влияние на значение площади, то есть выполнить компьютерное моделирование. Поскольку первообразные находятся учащимися "ручным" способом и в электронную таблицу вводятся предварительно выведенные формулы, то работа с компьютером не сводится к механическим операциям и предполагает углубленное знакомство со свойствами функций и приобретения навыков их интегрирования. При этом представляется возможным дифференцировать темпы работы, обеспечить ее вариативность.