Формирование математических понятий в начальной школе

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

 «Хакасский государственный  университет им. Н.Ф. Катанова» 

Институт непрерывного педагогического образования

 

кафедра педагогики и методики начального образования

 

 

 

 

 

Формирование математических понятий в начальной школе

 

 

Курсовая работа

по специальности 050100.62  Педагогическое образование,

Профиль «Начальное образование»

 

 

Выполнила: студентка

4 курса, 401 «б»  группы  ОФО

Солдатова О.И.

 

Научный руководитель:

канд. пед. наук, доцент  кафедры ПМНО

Толмашов А.Г.

 

Абакан  2014

 

Введение……………………………………………………………………

Глава 1. Теоретические  основы формирования понятий в начальной школе……………………………………………………………………….

1.1. Психологические аспекты формирования понятий………………..

1.2. Математические понятия, их содержание и объем, классификация понятий…………………………………………………………………….

Глава 2. Методические вопросы формирования у младших школьников математических понятий………………………………………………….

2.1. Введение основных понятий в школьном курсе математики…………………………………………………………………

2.2. Особенности формирования математических понятий в начальной школе………………………………………………………………………..

Заключение…………………………………………………………………

Библиографический список……………………………………………….

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Понятие является одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета, в том числе – и математики.  
Одно из первых математических понятий, с которым ребёнок встречается в школе, - понятие о числе. Если это понятие не будет усвоено, у обучаемых возникнут серьёзные проблемы при дальнейшем изучении математики.  
С самого начала встреча с понятиями происходит у учащихся при изучении различных математических дисциплин. Так, начиная изучать геометрию, учащиеся сразу же встречаются с понятиями: точка, линия, угол, а далее – с целой системой понятий, связанных с видами геометрических объектов.  
Задача учителя – обеспечить полноценное усвоение понятий. Однако в школьной практике данная задача решается не так успешно, как того требуют цели общеобразовательной школы. 

Проблемой формирования у младших школьников основных математических понятий занимались Л.С.Выготский, Ж.Пиаже, Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов, П.Я.Гальперин, Л.И.Айдарова. 
«Главный недостаток школьного усвоения понятий – формализм», —считает психолог Н.Ф.Талызина. Суть формализма состоит в том, что учащиеся, правильно воспроизводя определение понятия, то есть, осознавая его содержание, не умеют пользоваться им при решении задач на применение этого понятия. Следовательно, формирование понятий — это важная, актуальная проблема. 

Цель исследования : выявить  методические условия формирования понятий у младших школьников на уроках математики.  
Объект исследования:  формирование понятий в начальной школе. 
Предмет исследования: формирование основных математических понятий в начальной школе.

Задачи исследования:  
1.           Изучить психолого-педагогическую методико-математическую, литературу по данной теме.  
2.           Выявить основные способы определения понятий в учебниках математики начальной школы.. 
3.           Определить особенности формирования математических понятий у младших школьников. 
Гипотеза исследования: формирование математических понятий у младших школьников будет эффективным, если учитель:

- учитывает уровень сформированности  математических понятий у младших  школьников;

- использует соответствующую  наглядность.  
Методы исследования:  
-теоретические: анализ психолого-педагогической методической и литературы по теме; учебников математики для начальной школы. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Глава 1. Теоретические  основы формирования понятий в начальной школе

1.1 Математические понятия, их содержание и объём, классификация  понятий

Понятие – форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объекта.  
Математические понятия имеют свои особенности: они часто возникают из потребности науки и не имеют аналогов в реальном мире; они обладают большой степенью абстракции. В силу этого желательно показать учащимся возникновение изучаемого понятия (либо из потребности практики, либо из потребности науки).  
Каждое понятие характеризуется объёмом и содержанием. Содержание – множество существенных признаков понятия. Объём – множество объектов, к которым применимо данное понятие. Рассмотрим связь между объёмом и содержанием понятия. Если содержание соответствует действительности и не включает противоречивых признаков, то объём – это не пустое множество, что важно показать учащимся при введении понятия. Содержание вполне определяет объём и наоборот. Значит, изменение одного влечёт изменение другого: если содержание увеличивается, то объём уменьшается.  
Содержание понятия отождествляется с его определением, а объём раскрывается через классификацию. Классификация – деление множества на подмножества, которые удовлетворяют следующим требованиям:  
oно  должно проводится по одному признаку;  
   классы должны быть не пересекающимися;  
  объединение всех классов должно давать всё множество;  
   классификация должна быть непрерывной (классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, которое подлежит классификации).  
Выделяют следующие виды классификации:  
1. По видоизмененному признаку. Объекты, подлежащие классификации, могут обладать несколькими признаками, поэтому можно классифицировать по-разному.  

 

 

 Выделим цели обучения  
1) развитие логического мышления;  
2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом  понятии.  
Оба вида классификации используются в школе. Как правило, сначала дихотомический, а затем по видоизменённому признаку. 

Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет. 

1.2. Способы определения  понятия.

Определить объект – выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимым, а все вместе достаточными для отличия этого объекта от других. Результат этого действия фиксируется в определении.  
Определением считается такая формулировка, которая сводит новое понятие к уже известным понятиям этой же области. Такое сведение не может продолжаться бесконечно, поэтому наука имеет первичные понятия, которые определяются не явно, а косвенно (через аксиомы). Список первичных понятий неоднозначен, по сравнению с наукой, в школьном курсе первичных понятий намного больше. Основной приём для разъяснения, введения первичных понятий – составление родословных.  
В школьном курсе не всегда целесообразно давать понятиям строгое определение. Иногда достаточно сформировать правильное представление. Это достигается с помощью поясняющих описаний – доступных для учащихся предложений, которые вызывают у них один наглядный образ, и помогают усвоить понятие. Здесь не ставится требование сведения нового понятия к ранее изученным. Усвоение должно быть доведено до такого уровня, чтобы в дальнейшем, не вспоминая описания, ученик мог узнать объект, относящийся к данному понятию. 
 
По логической структуре определения делятся на конъюнктивные (существенные признаки соединяются союзом "и") и дизъюнктивные (существенные признаки соединяются союзом "или").  
Выделение существенных признаков, зафиксированных в определении, и зафиксированных связей между ними называется логико-математическим анализом определения.  
Существует подразделение определений на дескриптивные и конструктивные.  
Дескриптивные – описательные или косвенные определения, имеющие, как правило, вид: «объект называется…, если он обладает…». Из таких определений не следует факт существования данного объекта, поэтому все подобные понятия требуют доказательства существования. Среди них выделяют следующие способы определений понятий:  
·        Через ближайший род и видовое отличие. (Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Родовым выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия).  
·        Определения-соглашения – определения, в которых свойства понятий выражаются с помощью равенств или неравенств.  
·        Аксиоматические определения. В самой науке математике используются часто, а в школьном курсе редко и для интуитивно ясных понятий.  
·        Определения через абстракцию. Прибегают к такому определению понятия, когда другое трудно или невозможно осуществить (например, натуральное число).  
·        Определение-отрицание – определение, в котором фиксируется не наличие свойства, а его отсутствие (например, параллельные прямые).  
Конструктивные (или генетические) – это определения, в которых указывается способ получения нового объекта (например, сферой называется поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг своего диаметра). Среди таких определений иногда выделяют рекурсивные – определения,  указывающие некоторый базисный элемент какого-либо класса и правило, по которому можно получить новые объекты того же класса (например, определение прогрессии). 

1.3. Введение понятий  в школьном курсе математики

При формировании понятий необходимо организовывать деятельность учащихся по усвоению двух основных логических приёмов: подведение под понятие и выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию.  
Действие подведения под понятие имеет следующую структуру:  
1)    Выделение всех свойств, зафиксированных в определении.  
2)    Установление логических связей между ними.  
3)    Проверка наличия у объекта выделенных свойств и их связей.  
4)    Получение вывода о принадлежности объекта объёму понятия.  
Выведение следствий – это выделение существенных признаков объекта, принадлежащему данному понятию.  
 В методике выделяют три пути введения понятий:  
1)          Конкретно-индуктивный:  
   Рассмотрение различных объектов как принадлежащих объёму понятия, так и не принадлежащих.  
  Выявление существенных признаков понятия на основе сравнения объектов.  
  Введение термина, формулировка определения.  
   Формирование умения подводить объект под понятие и выводить первичные следствия.  
2)          Абстрактно-дедуктивный:  
   Введение определения учителем.  
   Рассмотрение особых и частных случаев.  
   Формирование умения подводить объект под понятие и выводить первичные следствия.  
При введении понятия первым путём учащиеся лучше понимают мотивы введения, учатся строить определения и понимать важность каждого слова в нём. При введении понятия вторым путём экономится большое количество времени, что тоже не маловажно.  
3)    Комбинированный. Используется для более сложных понятий математического анализа. На основе небольшого числа конкретных примеров даётся определение понятия. Затем путём решения задач, в которых варьируются несущественные признаки, и путём сопоставления данного понятия с конкретными примерами продолжается формирование понятия. 

 

Глава 2. Психолого-педагогические особенности обучения математике в начальной школе

2.1. Особенности  познавательной деятельности.

Восприятие. Школьник обладает не достаточным уровнем развития восприятия. У него не высокий уровень остроты зрения, слуха, ориентировки на форму и цвет предмета.  
Процесс обучения предъявляет новые требования к восприятию школьника. В процессе восприятия учебной информации необходимы произвольность и осмысленность деятельности учащихся. Сначала ребёнка привлекает сам предмет и в первую очередь его внешние яркие признаки. Но дети еще не в состоянии сосредоточиться и тщательно рассмотреть все характеристики предмета, выделить в нём главное, существенное. Эта особенность проявляется в процессе учебной деятельности. Они могут анализировать группы фигур, упорядочивать предметы по различным признакам, проводить классификацию фигур по одному или двум свойствам этих фигур.  
Память. Школьник не способен управлять своим произвольным запоминанием. Способность к запоминанию (заучиванию) медленно, но постепенно возрастает.  
В этом возрасте память перестраивается, переходя от доминирования механического запоминания к смысловому. При этом перестраивается сама смысловая память. Она приобретает опосредованный характер, обязательно включается мышление. Поэтому необходимо учащихся учить правильно рассуждать, чтобы процесс запоминания базировался на понимании предлагаемого материала.  
Заодно с формой меняется и содержание запоминания. Становится более доступным запоминание абстрактного материала.  
Внимание. Процесс овладения знаниями, умениями, навыками требует постоянного и эффективного самоконтроля учащихся, что возможно только при сформированности достаточно высокого уровня произвольного внимания.  
 
В школе на уроках внимание  нуждается в поддержке со стороны учителя.  
Воображение. В процессе учебной деятельности учащийся получает много описательных сведений. Это требует от него постоянного воссоздания образов, без которых невозможно понять и усвоить учебный материал, т.е. воссоздающее воображение учащихся начальных классов с самого начала обучения включено в целенаправленную деятельность, способствующую его психическому развитию.  
При развитии у ребёнка способности управлять своей умственной деятельностью воображение становится всё более управляемым процессом.  
 
Все указанные выше особенности создают почву для развития процесса творческого воображения, в котором большую роль играют специальные знания учащихся. Эти знания составляют основу для развития творческого воображения и в последующие возрастные периоды жизни школьника.  
Мышление. Всё большее значение начинает приобретать теоретическое мышление, способность устанавливать максимальное количество смысловых связей в окружающем мире. Школьник психологически погружён в реальности предметного мира, образно-знаковых систем. Изучаемый в школе материал становится для него условием для построения и проверки своих гипотез.  
У школьника вырабатывается формальное мышление.  
Учёные изучали вопрос об умственных возможностях школьников начальных классов. В результате исследований выявилось, что умственные возможности ребёнка шире, чем предполагалось ранее, и при создании соответствующих условий, т.е. при специальной методической организации обучения, учащийся начальных  классов могут усвоить абстрактный математический материал.  
Как видно из вышеизложенного, психические процессы характеризуются возрастными особенностями, знание и учёт которых необходимы для организации успешного обучения и умственного развития учащихся. 

2.2. Психологические аспекты формирования понятий.

Обратимся к психологической литературе и выясним основные положения концепции формирования научных понятий.  
В учебном пособии говорится о невозможности передачи понятия в готовом виде. Ребёнок может получить его лишь в результате своей собственной деятельности, направленной не на слова, а на те предметы, понятие о которых мы хотим у него сформировать.  
Становление понятий – это процесс формирования не только особого образца мира, но и определённой системы действий. Действия, операции и составляют психологический механизм понятий. Без них понятие не может быть ни усвоено, ни применено в дальнейшем к решению задач. В силу этого особенности сформированных понятий не могут быть поняты без обращения к действиям, продуктом которых они являются. И необходимо формировать следующие виды действий, используемых при изучении понятий:  
·  Действие распознавания используется, когда понятие усваивается для распознавания объектов, относящихся к данному классу. Данное действие может быть применено при формировании понятий с конъюнктивной и дизъюнктивной логической структурой.  
· Выведение следствий.  
· Сравнение.  
· Классификация.  
· Действия, связанные с установлением иерархических отношений внутри системы понятий, и другие.  
Рассматривается также роль определения понятия в процессе его усвоения. Определение – ориентировочная основа для оценки предметов, с которыми взаимодействует обучаемый. Такая реальная работа создаёт в голове ученика образ предметов данного класса. Таким образом, получение определения – это лишь первый шаг на пути усвоения понятия.  
Второй шаг – включение определения понятия в те действия учащихся, которые они выполняют с соответствующими объектами и с помощью которых строят в своей голове понятие об этих объектах.  
Третий шаг состоит в том, чтобы научить школьников ориентироваться на содержание определения при выполнении различных действий с объектами. Если это не обеспечено, то в одних случаях ученики будут опираться на свойства, которые они сами выделили в объектах, в других случаях дети могут использовать только часть указанных свойств; в-третьих – могут добавить к указанным определениям свои.  
Условия, обеспечивающие управление процессом усвоения понятий  
1.                Наличие адекватного действия: оно должно быть направлено на существенные свойства.  
2.                Знание состава используемого действия. Например, действие распознавания включает: а) актуализацию системы необходимых и достаточных свойств понятия; б) проверку каждого из них в предлагаемых объектах; в) оценку полученных результатов.  
3.                Представленность всех элементов действий во внешней, материальной форме.  
4.                Поэтапное формирование введённого действия.  
5.                Наличие пооперационного контроля при усвоении новых форм действия.  
 
Требования к содержанию и форме заданий  
1.                При составлении заданий следует ориентироваться на те новые действия, которые формируются.  
2.                Второе требование к задачам – соответствие формы этапу усвоения. Например, на первых этапах объекты, с которыми работают учащиеся, должны быть доступны для реального преобразования.  
3.                Количество заданий зависит от цели и сложности формируемой деятельности.  
4.                При подборе заданий необходимо учитывать, что преобразование действия идёт не только по форме, но и по мере обобщённости, автоматизации и т.д.  
Было проведено множество экспериментов, когда реализовывались указанные условия. Во всех случаях, утверждает Н. Ф. Талызина, понятия формировались не только с заданным содержанием, но и высокими показателями по следующим  характеристикам:  
·        разумность действий испытуемых;  
·        осознанность усвоения;  
·        уверенность учащихся в знаниях и действиях;  
·        отсутствие связанности чувственными свойствами предметов;  
·        обобщённость понятий и действий;  
·         прочность сформированных понятий и действий.  
Итак, у ребёнка постепенно формируется определённый образ предметов данного класса. Понятие действительно нельзя дать в готовом виде, оно может быть построено только самим учеником путём выполнения определённой системы действий с предметами. Учитель помогает ученику сформировать этот образ с содержанием, опережающим существенные свойства предметов данного класса, и задаёт общественно выработанную точку зрения на предметы, с которыми работает ученик. Понятие - это продукт действий, выполняемых учеником с предметами данного класса.