Формирование математических понятий младших школьников

Смысл операций над натуральными числами и их законы формируются на теоретико-множественной  основе. Нахождение результата операций раскрывается в аксиоматической теории. Так, операции сложения и умножения натуральных чисел базируется на следующих аксиомах

Операция  сложения Операция умножения.

1. а + 0 = а;                        3. а • 0 = 0;

2. а + b' я (а + b)'               4. а • b' = а ' b + а

Следствие: а + 1 = а'       Следствие: а • 1 =5 а

Аксиомы 1 и 3 и следствия из этих аксиом ученики  должны твердо знать Нахождение результата сложения (до таблиц сложения) определяется путем присчитывания по одному (т.е. используется первое следствие).

В традиционной методике умножение рассматривается как частный случай сложения, что позволяет умножать натуральные числа только начиная с двух. Естественно, такой подход к операции умножения нельзя считать удачным, так как не позволяет найти результат умножения в таких случаях, как а • 1; а • 0;(а/b) • (с/а).

Ранее в  нашей работе достаточно подробно рассмотрена операция умножения, как мощность декартова произведения и как сумма одинаковых величин. Существует и другой подход к операции умножения, с позиции которого можно обосновать не только умножение натуральных чисел, начиная с двух, но и умножение на 1 и на 0, умножение обыкновенных дробей. Этот подход заключается в том, что умножение рассматривается как переход от одной единицы измерения к другой. Сформировать у учащихся смысл операции умножения с этой позиции можно на таких практических работах.

Пример 1. Нужно измерить емкость банки  сначала кружками, а потом стаканами (рис. 2.11). В ходе измерения получили 5 кружек или 15 стаканов. Учитель обращает внимание на то, что стаканами измерять долго, и задает

 

Рис. 2.11

вопрос: "Нельзя ли узнать, не измеряя, сколько  стаканов в банке?" Дети предлагают для этого измерять стаканами  кружку. Так как в банке 5 кружек (старая мерка) и в одной кружке 3 стакана (новая мерка), то в банке 5 • 3 = 15 (стаканов).

Пример 2. Учитель предлагает быстро пересчитать  тетради. Ученики считают по две  тетради (старая мерка) и получают 15 пар, поэтому в пачке 15 - 2 = 30 (тетрадей).

Пример 3. Ученикам предлагается быстро измерить полоску и даются две мерки: в 1 дм и в 1 см Дети меряют сначала большой  меркой и получают число 4. Так как 1 дм содержит 10 см (новая мерка 1 см), то вся полоска содержит 4 • 10 = 40 (см).

Пример 4. Задача. Сколько нужно плиток кафеля, чтобы обложить такую же стенку, которая изображена на рисунке? Дети считают сначала рядами (1 ряд - старая мерка), а потом -сколько в ряду плиток (1 плитка - новая мерка). Всего плиток 4 • 9 = 36.

Умножение на 1 можно объяснить так: пусть  в примере 1 в кружке помещается ровно  один стакан, тогда в банке будет 5 • 1 = 5 (стаканов).

Умножение на 0 можно объяснить на примерах, в которых новая мерка значительно  больше старой мерки и измеряемой величины.

Нахождение  результата вычитания основывается на следующем определении.

Определение. Разностью из натурального числа " а " натурального числа " b " называется такое натуральное число " с ", что а = b + с.

Таким образом, вычитание рассматривается как  действие обратное сложению. Это позволяет  находить результат вычитания не только путем отсчитывания по одному, но и используя зависимость между  компонентами операции сложения: 5 - 2 = (5 - 1) -1 и 2 + … =5.

Нахождение  результата деления основывается на следующем определении.

Определение. Частным от деления натурального числа " а" на натуральное неравное нулю число " b " называется такое  натуральное число " с ", что а • b = с.

Так как  деление есть операция обратная умножению, то для нахождения результата деления  используется зависимость между  компонентами операции умножения: 3 •…=6. На этом же основывается и составление таблиц вычитания и деления:

а) 2+3=5; 5 - 2=3; . б) 2 • 3 = 6; 6:2=3.

Деление с остатком в начальных классах  основывается на следующем определении.

Определение. Делением натурального числа " а " на натуральное число «b» с  остатком называется отыскание такого частного си остатка q, что, а = b • с + q, где

q< b.

Согласно  этому определению, наряду с записью, например, 23 : 5 = 4 (ост.3), ученикам должна даваться и такая запись: 23 = 5 • 4 + 3. Это позволяет разнообразить примеры на деление с остатком: П =5*4+3 (проверка деления с остатком). Ученики должны знать не только порядковую структуру множества натуральных чисел, которая была приведена выше, но и алгебраическую структуру натуральных чисел. (См. приложение 1)

Операции  над многозначными числами основываются на позиционной системе счисления.

Определение. Счислением (нумерацией) называется совокупность способов устного наименования и  письменного обозначения чисел.

Существуют  непозиционные и позиционные  системы счисления.

В непозиционной  системе счисления каждый знак (цифра) служит для обозначения одного и  того же числа. Примером непозиционной  системы счисления является римская  нумерация, которой широко пользуются в настоящее время. Например, XII - это 10 + 1 + 1 =12.

Позиционная система счисления базируется на поместном значении цифр, заключающееся  в том, что один и тот же знак (цифра) означает одно и то же число  единиц разных разрядов независимо от того, на каком месте в записи числа стоит этот знак. Например, в числе 737 цифра 7 означает числа семь и семьсот.

Изучение  темы "Нумерация чисел" учитель  должен начинать с формирования представления  о позиционной системе счисления, в которой дети не только знакомятся с существованием систем счисления  с разными основаниями, но и понимают необходимость существования позиционной  системы счисления.

В традиционном обучении при изучении нумерации  чисел у учащихся отрабатываются понятия "десятки", "сотни", что  приводит к смешению устной нумерации  и письменной. Этого нельзя делать, потому, что это может привести к ошибкам. Например, дети часто говорят, что в числе 325 два десятка (вместо - 32 десятка), В дальнейшем это приводит к затруднениям в выполнении операций над многозначными числами, которые  базируются на операциях над однозначными числами. Поэтому при изучении многозначных чисел нужно обращать внимание детей  на разряды и на число единиц в  разрядах. Например, в числе 6325 шесть  единиц четвертого разряда, три единицы  третьего разряда, две единицы второго  разряда и пять единиц первого  разряда. Такая работа позволит ученикам легче и быстрее усвоить операции над многозначными числами, которые  производятся над разрядами. Законы операций над многозначными числами  должны использоваться учителем для  формирования вычислительных навыков.

2.2.6 Числовые выражения.  Числовые равенства и неравенства,  их свойства

Любое число  уже является числовым выражением. Выполнив операции, которые имеют место в числовом выражении, получают значение числового выражения. Существуют выражения, которые не имеют значения. Например, выражение 28 : 8 - 44 не имеет числового значения.

С первых дней пребывания в школе дети сталкиваются с различными числовыми выражениями  и учатся находить их числовое значение. Значительно меньше в школе уделяется  внимание числовым равенствам и неравенствам, их свойствам, что сказывается при их обучении в старших классах. Поэтому учитель должен предлагать учащимся достаточное количество упражнений следующих видов.

1. Являются  ли данные равенства верными:

10-3*2=2*2; 5+2*3=6+4?

2. Являются  ли данные неравенства верными:

8-3 • 2<3 +4; 14: (5 + 2) >2 + 3?

3. Зная, что 2 + 3 = 10 : 2 и 4 +7 > 8 + 2, поставьте вместо звездочки знак "=", ">", "<", не вычисляя значения числовых выражений, стоящих в правой и левой частях числовых равенств и неравенств:

(2 + 3) + 4 * 10 : 2 + 4 ; (2 + 3) - 4 *10 : 2 - 4 ;

4+7-3*8+2-3; (4 + 7) • 2 • (8 + 2) • 2 .

2.2.7.Выражение с переменными,  его область определения

Если  числовое выражение содержит и буквы, то мы имеем выражение с переменными. Например, 2а - 3; За + 2b с + 8 .

Выражение с переменными обычно обозначают так: f(х); А(b;с); В(х;у) Если в выражение  с переменными подставить вместо букв их значения, то получится числовое выражение. Те значения переменной, при которых выражение с переменной имеет числовое значение, называется областью определения выражения с переменной. Например, областью определения выражения с переменной 2а - 3 на множестве действительных чисел является все множество действительных чисел, а на множестве натуральных чисел - натуральные числа, начиная с двух (если а = 1 , то 2 • 1 - 3 не является натуральным числом).

В начальных  классах учитель обязан сформировать понятие о выражении с переменной и его области определения. Покажем  на примерах, как это можно сделать.

Пример 1. Цель: сформировать у детей понимание необходимости введения в числовое выражение букв и представление об области определения выражения с переменной.

Учитель записывает на доске несколько числовых выражений: 1 + 2; 2+2; 3+2. Затем он обращает внимание на то, что первое слагаемое меняется, а второе - нет. Поэтому, чтобы не продолжать ряд, можно все эти выражения заменить одним

+ 2, где в окошечко можно подставить  любое натуральное число. Учитель  предлагает в окошечко подставить числа 1; 2; 3; 4; 5 и найти значение получившихся числовых выражений. Здесь область определения задана учителем.

Пример 2. Цель: научить учащихся самим находить область определения выражения  с переменной.

Учитель спрашивает, какие числа можно  подставить в следующие выражения: 8 - ; 3-2; : 2; 5 – : 3; : 5 - 7. Дети подбором находят область определения каждого выражения с переменной.

Пример 3. Цель: научить учащихся находить область  определения выражения с переменной в задачах.

Учитель предлагает следующую задачу. Сколько  килограммов сахара, расфасованного в пакеты, принесли Коля и Оля, если в каждом пакете по два килограмма сахара?

Ученики записывают задачу в виде выражения 2а + 2b (или 2 • (а + b)), где а - количество пакетов, которые принес Коля, и b - количество пакетов, которые принесла Оля. Затем  в ходе анализа задачи дети делают вывод, что Коля может нести не более 8 кг (от одного до четырех пакетов), а Оля - не более 6 кг (от одного до трех пакетов). Таким образом, ае{1;2;3;4} и bе {1; 2; 3}.

Задача  имеет 12 решений, если перебрать все  варианты наборов а и b .

2.2.8 Уравнения и неравенства,  область определения, множество  решений. Свойства уравнений и  неравенств

Равенство (неравенство), содержащее неизвестное, называется уравнением (неравенством). Множество, элементы которого можно  подставить в уравнение (неравенство) вместо неизвестного, называется областью определения уравнения (неравенства).

Те значения неизвестного из области определения, при которых уравнение (неравенство) обращается в верное числовое равенство (неравенство), называется корнями уравнения (множеством решения неравенств).

Два уравнения (неравенства) называются равносильными, если у них совпадают области  определения и множества решений.

При решении  любого уравнения (неравенства) его  заменяют более простым равносильным уравнением (неравенством). В начальных  классах формируется следующие  два основных свойства равносильных преобразований.

1. Если  к обеим частям уравнения (неравенства)  прибавить (вычесть) выражение,  имеющее ту же область определения,  что и данное уравнение (неравенство), то получим уравнение (неравенство)  равносильное данному.

Например, уравнения Зх=2х+4 и 3х- 2х=4 равносильны.

2.Если обе части уравнения умножить на выражение, имеющее ту же область определения, и которое не обращается в нуль на этой области определения, то получим уравнение, равносильное данному.

В начальных  классах формируется понятие  об уравнении и неравенстве, их области  определения, множестве решений, равносильных преобразованиях. Покажем на примерах, как можно построить обучение по их формированию.

Пример 1. Ученикам предлагается записать с  помощью уравнения решение такой  задачи. Сколько детей взяло яблоки, если в вазе лежало 10 яблок, каждый из детей взял по 2 яблока и после этого в вазе осталось 2 яблока?

Ученики записывают 10 - 2 х = 2 и определяют, что вместо "х" можно подставить числа 1, 2, 3, 4, 5 (находят область определения). Подбором они убеждаются, что х = 4 является корнем уравнения.

Пример 1. Для отработки умений находить область определения и множество  решений неравенства учащимся можно  предложить ответить на вопрос: "Какие  числа можно подставить в неравенство 8 - х < 3 вместо "х" и при каких  из них неравенство превращается в верное числовое неравенство?" (Вместо "х" можно взять любое  число, которое меньше 9; при х =  7: 8 получается верное числовое неравенство).