Формирование математических понятий младших школьников

Таким образом, словесное знание определения понятия  не меняет, по существу, хода процесса усвоения этого понятия, что убедительно  доказывает невозможность передачи понятия в готовом виде. Ребенок может получить его лишь в результате своей собственной деятельности.

Исследования  П.Я. Гальперина и В.В. Давыдова убедительно  доказали, что умственные способности  детей младшего школьного возраста неоправданно занижаются, поскольку  детям уже с дошкольного возраста доступны многие общие теоретические  понятия. В условиях современной  начальной школы учащиеся обладают более широкими познавательными  возможностями. Благодаря учету  этого обстоятельства, в программах современного начального обучения углублены  теоретические компоненты знаний, усвоение которых способствует формированию у детей более широких обобщений, чем в прежней начальной школе.

В.В. Давыдов  считает, что «овладеть понятием – это значит не только знать  признаки предметов и явлений, охватываемых данным понятием, но и уметь применять  понятие на практике, уметь оперировать  им» .[24,81 с.]

Н. Ф. Талызина говорит о том, что знание существенных признаков понятия может изменить ход и характер познавательной деятельности только в том случае, когда эти  признаки войдут в нее в качестве ориентиров, то есть будут реально  участвовать в процессе решения  задач, поставленных перед ребенком. Поскольку при обычной организации  учебного процесса это не обеспечивается, то со стороны познавательной деятельности учащихся усвоение житейских и научных  понятий у значительной части  обучаемых идет весьма сходным путем.[22, 64 с.]

Н. Ф. Талызина, М. Б. Волович указывают, что для  усвоения понятий обязательны такие  действия[22,138-140 с.]:

1. подведение под понятие;
2. выбор необходимых и достаточных признаков для распознавания объекта;
3. выведение следствий о принадлежности и не принадлежности объекта к понятию.

Эти действия необходимы при усвоении любых понятий.

В.Н. Осинская считает, что для овладения понятиями  необходимы следующие существенные компоненты[17, 90 с.]:

1. усвоение определенной системы знаний о понятии;
2. овладение специальной операционной системой действий (подведение под понятие, выбор необходимых и достаточных признаков для распознавания объекта, выведение следствий);
3. установление системы понятий и их родовидовых отношений внутри системы, взаимосвязи их признаков;
4. раскрытие генезиса понятий.

Понятия должны формироваться не изолированно друг от друга, а выступать как  элементы системы, находящиеся друг с другом в определенных отношениях.

В области методики обучения математики вопросы формирования понятий рассматривались в исследованиях А.К. Артемова, Н.Б. Истоминой, Г.Л. Луканкина, Г.И. Саранцева, П.М. Эрдниева, П.Я. Гальперина и др.

П.Я. Гальперин  выдвинул теорию о поэтапном формировании математических понятий[6, 21-24с.]. В соответствии с этой теорией формирования математических понятий осуществляется через шесть этапов:

1. Первый этап – создание мотивации;
2. Второй этап - формирование схемы ориентировочной основы деятельности.

Выделяют  три типа построения структуры обучения, которые зависят от полноты ориентирования обучающихся:

• Дается образец действия и его результат. Ученики действуют путем «попыток и ошибок». При таком типе обучения учителю приходится больше заниматься устранением ошибок, переучиванием.
• Дается алгоритм выполнения задачи. Новую задачу ученик сначала сравнивает с уже решенной, и если они одного типа, данный учителем алгоритм переносится на новую задачу.
• Идет анализ задачи и самостоятельно составляется схема действия. Ориентировочная основа действия может даваться учителем только в обобщенном виде, а ученики самостоятельно дополняют ее при выполнении конкретной задачи.

3. Третий этап обучения сводится к выполнению действия в материальной или материализованной форме.

4. На четвертом этапе происходит формирование действия с помощью устной речи без опоры на материальные или материализованные средства (все операции алгоритма, предписания проговариваются вслух по мере их выполнения).

5. Пятый этап – формирование действия с помощью внутренней речи (операции проговариваются про себя, действие начинает сокращаться и автоматизироваться).

6. Шестой этап - этап интериоризации (формирование действия во внутренней речи)действия. Действие становится внутренним процессом, максимально автоматизируется, становится актом мышления.

Обучение, проведенное на основе этой теории, показало, что дети способны усваивать  абстрактные понятия, обобщенные знания уже в первом классе начальной  школы, причем в условиях массового  обучения (Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов, Л. И. Айдарова, Н. Г. Салмина, В. П. Сохина).

Образования понятий, переход к ним от чувственных  форм отражения – сложный процесс, в котором применяются такие  приемы умственной деятельности, как  анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, абстрагирование. Понятие  – «это мысль, в которой отражаются общие, и притом существенные свойства предметов. Вместе с тем понятие  не только отражают общее, но и расчленяют вещи, группируют их, классифицируют в  соответствии с их различиями». [6,27с.]

Вывод:

 Понятие  является одной из познавательных форм, характерной для интеллектуальной деятельности человека.

В современных  психолого-дидактических исследованиях  освещаются различные подходы к  формированию понятий у учащихся младшего школьного возраста.

Сторонники  эмпирической теории формирования научных  понятий (Б.Г.Ананьев, Л.В.Занков, Л.С. Выготский) рассматривали его как модель отношений между психическим  развитием и обучением.

В области  методики обучения математики вопросы  формирования понятий рассматривались  в исследованиях А.К. Артемова, Н.Б. Истоминой, Г.Л. Луканкина, Г.И. Саранцева, П.М. Эрдниева и др.

П.Я. Гальперин  выдвинул теорию о поэтапном формировании математических понятий.Обучение, на основе этой теории, показало, что дети способны усваивать абстрактные понятия, обобщенные знания уже в первом классе начальной школы.

Обучающиеся в начальной школе сталкиваются с разными видами понятий. Неумение различать приводит к неправильному  их усвоению. Более подробно в видах, определениях понятий попытаемся разобраться  в следующем параграфе.

1.3. Виды, определения математических понятий в начальной школе и их классификация

Математическое  понятие - это целостная совокупность суждений о каком-либо предмете или  классе предметов. Все математические понятия точны, последовательны, логичны. Логика в понятиях различает объем и содержание.

 Под  объемом понимается тот класс  объектов, которые относятся к  этому понятию, объединяются им. Так, в объем понятия треугольник  входит все множество треугольников  независимо от их конкретных  характеристик (видов углов, размера  сторон и др.).

Под содержанием  понятий понимается та система существенных свойств, по которой происходит объединение  данных объектов в единый класс.

Раскрыть содержание понятия- значит путем сравнения установить, какие признаки необходимы и достаточны для выделения его отношения к другим предметам.

В понятии треугольник к таким признакам относятся следующие: замкнутая фигура, состоит из трех отрезков прямой. Совокупность свойств, по которым объединяются объекты в единый класс, называются необходимыми и достаточными признаками. В одних понятиях эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. Примером таких понятий могут служить треугольник, угол, биссектриса и многие другие.

Совокупность  данных объектов, на которые распространяется данное понятие, составляет логический класс объектов.

Логический класс объектов – это совокупность объектов, имеющие общие признаки, вследствие чего они выражаются общим понятием. Логический класс объектов и объем соответствующего понятия совпадают.

Понятия делятся на виды по содержанию и  объему в зависимости от характера  и количества объектов, на которые  они распространяются.

По объему математические понятия делятся  на:

• единичные (в объем понятия входит только один предмет)

Примеры единичных понятий: «наименьшее  двузначное число», «цифра 5», «квадрат, длина стороны которого 10 см», «круг  радиусом 5 см».

• общие (отображают признаки определенного множества предметов)

Примеры общих понятий: «множество двузначных чисел», «треугольники», «уравнения», «неравенства», «числа кратные 5», «учебники  математики для начальной школы».

Рассмотрим классификацию понятий  по содержанию:

- Конъюнктивные понятия (понятия, в которых признаки взаимосвязаны и

по отдельности ни один из них  не позволяет опознать объекты этого  класса, признаки связаны союзом «и»).

Например: объекты, относящиеся к понятию треугольник, обязательно должны состоять из трех отрезков прямой и быть замкнутыми.

- Дизъюнктивные (отношение между необходимыми и достаточными признаками не дополняют друг друга, а заменяют. Достаточно какого-то одного признака из всех перечисленных. В силу этого признаки связаны союзом «или»). Такая связь признаков называется дизъюнкцией, а понятия- дизъюнктивными.

Примером  такого вида отношений между признаками могут служить признаки равенства  отрезков, углов.

Важно также  учитывать деление понятий на абсолютные и относительные.

• Абсолютные понятия объединяют предметы в классы по определенным признакам, характеризующим суть этих предметов как таковых. Так, в понятии угол отражены свойства, характеризующие сущность любого угла как такового. Аналогично положение со многими другими геометрическими понятиями: окружность, луч, ромб и т.д.
• Относительные понятия объединяют объекты в классы по свойствам, характеризующим их отношение к другим объектам. Так, в понятии перпендикулярные прямые фиксируется то, что характеризует отношение двух прямых друг к другу: пересечение, образование при этом прямого угла. Аналогично в понятии число отражено отношение измеряемой величины и принятого эталона.

Относительные понятия вызывают у учащихся более  серьезные трудности, чем понятия  абсолютные. Суть трудностей состоит  именно в том, что школьники не учитывают относительность понятий и оперируют с ними как с понятиями абсолютными. Так, когда учитель просит учеников изобразить перпендикуляр, то некоторые из них изображают вертикаль.

Трудности в усвоении относительных понятий  сохраняются у учащихся и в  средних, и даже в старших классах  школы.

Между содержанием  и объемом понятия существует зависимость: чем меньший объем  понятия, тем больше его содержание.

В процессе мышления каждое понятие не существует в отдельности, а вступает в определенные связи и отношения с другими  понятиями. В математике важной формой связи есть родовидовая зависимость.

В начальных  классах впервые каждое понятие  вводится наглядно, путем наблюдения конкретных предметов или практического  оперирования (например, при счете  их). Учитель опирается на знание и опыт детей, которые они приобрели  еще в дошкольном возрасте. Ознакомления с математическими понятиями  фиксируется с помощью термина  или термина и символа.

Такая методика работы над математическими понятиями  в начальной школе не означает, что в этом курсе не используются различные виды определений.

Определить  понятие - это перечислить все  существенные признаки объектов, которые  входят в данное понятие. Словесное  определение понятия называется термином.

Например, «число», «треугольник», «круг», «уравнение» - термины.

Определение понятия решает две задачи:

1. выделяет и отмежевывает какое-то определенное понятие от всех других;

2. указывает те главные признаки, без которых не может существовать понятие и от которых зависят все остальные признаки.

Определение может быть более или менее  глубоким. Это зависит от уровня знаний о понятии, которое означается. Чем лучшее мы его знаем, тем большая  вероятность, что мы сможем дать для  него лучшее определение.

Наиболее  распространенные определения, которые  используются в математике - это определения через ближайший род и видовой признак. Родовидовое определение еще называют классическим.

Примеры определений через род и видовой  признак:

«Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны», «Ромбом называется параллелограмм, стороны которого равны», «Прямоугольником называется параллелограмм, у которого углы прямые», и т.п.