Автор работы: Пользователь скрыл имя, 23 Февраля 2014 в 01:12, контрольная работа
Задача №1 - олимпиада Физтех 2014 по математике (онлайн-этап). Семейные праздники: У семейной пары дни рождения в один и тот же день. При очередном праздновании их общего дня рождения муж заметил, что сейчас ему вдвое больше лет, чем было его жене тогда, когда ему было столько лет, сколько жене сейчас. А когда ей будет столько лет, сколько ему теперь, им обоим вместе будет 72 года. Сколько лет мужу сейчас?
Задача №2 - олимпиада Физтех 2014 по математике (онлайн-этап). Последовательность: Последовательность an такова, что a1=5,a2=20. Найдите a1001, если для любого натурального n справедливо равенство an+1=an⋅an+2.
· kovalev 4-11-13, 12:47
Задача №20
Режем многоугольник
В выпуклом 18-угольнике проводят все его
диагонали. На какое наибольшее число
частей могут его разбить?
Решение:
Рассмотрим общую задачу, т.е. число вершин
многоугольника равно n.
Очевидно, что максимальное число разбиений
будет в том случае, если никакие три диагонали
не пересекутся в одной точке. Для каждого n≥3 такое число разбиений обозначим
за f(n).
f(3)=1,f(4)=4.
Выведем рекуррентную формулу для f(n).
Если к многоугольнику добавили одну вершину
(стало n+1 вершин), то из этой вершины
можно провести n−2 диагоналей (ко всем вершинам,
кроме соседних и кроме самого себя).
Число пересечений этих диагоналей со
старыми равно C3n т.к. каждой точке пересечения
соотв. 3 вершины, а всего вершин n. Каждая такая точка пересечения
дает новую часть, а также дополнительно
все эти точки дадут n−2+1=n−1 новых частей.
f(n+1)=f(n)+n−1+C3n=f(n)+n−1+(
=f(n)+(n−1)(n2−2n+6)6.
Из полученной рекуррентной формулы можно
вывести точную формулу для f(n), методом неопределенных коэффициентов
или складывая разности f(n+1)−f(n)=n3−3n2+8n−66.
Получим, что f(n)=(n−1)(n−2)(n2−3n+12)24.
Поэтому f(18)=17⋅16⋅28224=3196.
Ответ: 3196.