Числовые выражения

Образование каждого числа из других чисел, отношения между числами  можно раскрыть только в том случае, если рассматривать одновременно несколько  последовательных чисел. Поэтому изучают  не отдельные числа, а отрезки  натурального ряда от единицы до того числа, которое введено последним: 1, 2; 1,2,3; 1,2,3,4 и т. д.

Рассмотрим методику изучения основных вопросов нумерации.

Любое число в натуральной последовательности, кроме числа 1, можно получить так: прибавить единицу к непосредственно  предшествующему числу (3 - это 2 и  еще один) или вычесть единицу  из следующего за ним числа (3 - это 4 без одного). Образование чисел  раскрывается с помощью таких  упражнений:

Присчитывание и отсчитывание по 1 (с иллюстрацией на предметах). Осознание  принципа построения натурального ряда чисел позволяет выполнить присчитывание  и отсчитывание по 1. В отличие  от счёта, особенность этих операций заключается в том, что одно из предметных множеств представлено натуральным числом.

Операция присчитывания осваивается  легче, в этом немаловажную роль играет усвоение порядка чисел при счёте. Иначе обстоит дело с усвоением  обратной последовательности чисел, в  основе которой лежит отсчитывание по 1. Здесь учащиеся упражняются  только в воспроизведении последовательности числительных, что никак не связано  с решением практических задач. Для  того, чтобы они осознали практическую значимость этого умения, полезно использовать ситуации, особенности которых связаны с движением числа от большего к меньшему: 1) ученик должен двигаться от большего числа к меньшему, однако при этом все предметы находятся перед ним и он может воспользоваться счётом; 2) часть предметов скрыта от глаз, поэтому счёт осуществить невозможно.

Например, при изучении чисел 1 - 4 учитель  предлагает детям положить 2 палочки, затем положить еще 1 палочку. Выясняют, сколько стало палочек и как получили 3 палочки. Затем из 3 палочек убирают одну палочку и поясняют, как получили 2 палочки.

Образование числовых последовательностей (« числовых лесенок »). Так, при изучении чисел 1 - 4 производится такая работа:

«Положите два круга; ниже положите столько же треугольников; придвиньте еще один треугольник. Сколько стало  всего треугольников? Как получили три треугольника? Каких фигур  больше: треугольников или кругов? На сколько больше?

Положите в следующий ряд  столько квадратов, сколько у  вас лежит треугольников. Что  надо сделать, чтобы квадратов стало  больше на 1? Положите еще 1 квадрат. Сколько  стало квадратов? Как получили 4 квадрата?»

Решение задач с помощью иллюстрации. Например, при изучении чисел 1 - 6 учитель  предлагает детям решить задачу: «В коробке лежало 5 карандашей (считают); туда положили еще один карандаш (кладут и закрывают коробку). Сколько  стало карандашей?» Как решили задачу? Проверим. (Считают карандаш в коробке). Аналогично работают над задачей: «В коробке лежало 6 карандашей, 1 карандаш вынули. Сколько карандашей осталось?» Как решили задачу? Проверим. (Считают оставшиеся карандаши.)

Знакомство с печатной и письменной цифрой. Изучаемое числа обозначают сначала печатными цифрами, которое  выставляют на наборном полотне рядом  с соответствующим множеством предметов. Учитель поясняет: можно сказать - три квадрата, три стула, три человека, а можно обозначить число 3 вот таким знаком, такой цифрой. Дети находят новую цифру в своих кассах, рассматривают и присоединяют к знакомым цифрам. Для закрепления сразу же включают упражнения на установление соответствия между числом и цифрой: « Покажите с помощью палочек, какое число обозначает эта цифра? »; « Покажите цифрой число треугольников, которые у меня на руках ».

Знакомя с письменной цифрой, учитель  показывает образец написания цифры  на доске. Дети усваивают направление  движения руки, рисуя цифру в воздухе  или обводя образец, данный учителем в тетрадях. Далее учащиеся пишут 2 - 3 цифры. Учитель проверяет и отмечает наиболее удачную. Затем учащиеся пишут одну - две строчки цифр.

Знание цифр закрепляется на последующих  уроках, когда учащимся предлагают выполнить различные упражнения по нумерации, а ответ либо показывать цифрой, либо записывать в тетрадь. Например, какое число получится, если к 7 прибавить 1 (если из 6 вычесть 1) ? Какое число больше, чем 5, на 1(меньше, чем 10, на 1)? Какое число называют при счете после числа 6 (перед числом 7)? И т.п.

Сравнение последовательных чисел  натурального ряда вначале выполняется  с опорой на сравнение множеств. Число предметов обозначают цифрами, а отношение между числами - знаком « > », « < », или « = ».

Знаки « > », « < », « = » можно ввести так: предложить детям нарисовать слева один флажок и справа один флажок, затем слева нарисовать еще один флажок. Дети скажут, что слева флажков больше, чем справа. Далее обозначают число флажков цифрами и устанавливают, что число 2 больше, чем 1. Учитель показывает знак « > », поясняя, что он обозначает « больше ». Появляется запись: 2 > 1. Дети учатся читать ее « Два больше, чем один ». Также рассматривают: 1 < 2, 2 = 2. Затем учащиеся упражняются в чтении равенств и неравенств по учебнику или с доски, сравнивают числа и записывают полученные равенства и неравенства.

Чтобы учащиеся запомнили написание  самих знаков и не смешивали знаки  « > » и « < », полезно на видном месте в классе вывесить таблички с образцами записей, например 1 < 2, 2 > 1, 2 = 2. Можно обратить внимание детей на то, что вершина « уголка », который обозначает « больше » или « меньше », направлена (показывает) на меньшее число и что записи со знаками « > », «< » читают слева направо. Уже при изучении чисел первого десятка учащиеся подходят к обобщениям: каждое следующее число больше на 1, а каждое предыдущее меньше на 1. Поэтому при сравнении чисел постепенно переходят от сравнения совокупностей к выяснению места сравниваемых чисел в натуральной последовательности: 6 больше, чем 5, потому что 6 при счете называют после числа 5; 5 меньше, чем 6 потому что 5 при счете называют перед числом 6.

Порядок следования чисел в натуральном  ряду выясняют сначала с опорой на множества предметов. Составляя из предметов или зарисовывая « числовые лесенки », дети убеждаются в том, что числа упорядочены по величине: после числа 1 называют при счете числа 2 идет число 3, которое больше его на 1; перед числом 4 называют число 3, которое меньше его на 1; перед числом 3 называют число 2, которое меньше его на 1. Между числами 2 и 4 находится число 3, которое больше, чем 2, и меньше, чем 4, на 1 и т. д.

Дети должны постепенно усвоить  последовательность чисел 1 - 10 и уметь называть их прямом и обратном порядке, а кроме того, научиться называть сразу место любого числа, не воспроизводя всего ряда чисел, начиная с единицы. Это умение вырабатывается в процессе многократных упражнений вида: « Назовите число, которое при счете следует за числом 4 ». Какое число называют при счете перед числом 7 (между числами 8 и 10, после числа 4)? После какого числа (перед каким числом) называют при счете число 6?»

При выполнении упражнений по нумерации наряду с раздаточным дидактическим материалом целесообразно использовать наглядное пособие « Числа 1 - 10 », которое должно создаваться постепенно, по мере изучения чисел, и, пока идет работа над темой, находиться перед глазами учащихся. Это пособие создает наглядный образ натуральной последовательности, иллюстрирует количественные и порядковые отношения чисел.

Прочную наглядную основу для усвоения нумерации чисел создает изучение геометрического материала, поскольку  здесь учащиеся выполняют практические работы, моделируют, чертят, измеряют. Так, знакомясь с многоугольниками, дети показывают и считают углы, вершины и стороны, сравнивая  их число у разных многоугольников. Ознакомившись с точкой, прямой и  отрезком прямой, дети учатся проводить  прямую через одну и через две  точки, соединять две точки отрезком, измерять и чертить отрезки заданной длины ( в сантиметрах ), сравнивать отрезки. Все эти упражнения не только формируют геометрические и пространственные представления, измерительные и графические умения, но и закрепляют знания по нумерации.

Изучая числа первого десятка, дети знакомятся также и с числом нуль. Понятие об этом числе дети получают, выполняя ряд упражнений в отсчитывании предметов по одному до тех пор, пока ни останется ни одного ( облетают листья с ветки, улетают птицы с гнезда; ученик отдает тетради и т.п. ). Затем вводится обозначение числа нуль цифрой. Учащиеся решают, например, такие задачи: 1) На ветке висели 2 вишни, 1 упала. Сколько вишен осталось? 2) На ветке висела 1 вишня, затем она упала. Сколько вишен осталось? Задачи решают, записывают решения, формулируют ответы. Решение второй задачи: 1 - 1 = 0 ( из одного вычесть один, получится нуль ). Ответ: на ветке не осталось вишен.

Далее число 0 сравнивают с числом 1. Опираясь на решение задачи, выясняют, сколько вишен было, сколько упало, дольше или меньше стало вишен  после того, как одна вишня упала. Результат сравнения записывают: 0 < 1. На основе таких упражнений устанавливают, что в ряду чисел 0 должен стоять перед числом 1, так как 0 меньше, чем 1, на 1.

Состав же чисел 6, 7, 8, 9, 10 хотя и  иллюстрируется с помощью операций над множествами, однако усваивается  детьми позже, при изучении сложения и вычитания в пределах 10.

Итак, изучив теоретические аспекты  формирования понятия числа у  младших школьников, можно сделать  следующие выводы:

В курсе математики понятие числа  является одним из ключевых, с которыми выполняются различные операции.

Формирование понятия числа  проводится по определенным программам обучения, наиболее эффективной из которых является метод развивающего обучения.

Эффективному усвоению учащимися  понятия числа способствует формирование логического мышления на уроках математики.

4. Направления совершенствования обучению  младших  школьников числовым выражениям.

Основной парадигмой в  работе по совершенствованию изучения чисел, является: «Научить математике всех детей практически невозможно, но научить не бояться математики, научить любить еѐ - это цель, которую можно реализовать». Выделим основные направления совершенствования урока математики.

Они возникли в результате анализа статей теоретиков и практиков  урока математики в газете  «Математика» и журнале «Математика в школе», а также соответствующей литературы, и заключаются в соблюдении современных  требований к уроку.

1. Современный урок математики  характеризуется усилением функции  управления процессом формирования  новых знаний. Под управлением  процессом формирования новых  знаний понимается такой способ  формирования новых знаний, при  котором учитель вместо изложения  учебного материала в готовом  виде подводит учащихся к    «переоткрытию» теорем, их доказательств, к самостоятельному формулированию определений, к составлению задач и т. д. В результате учащиеся включаются в активную, творческую, познавательную деятельность.

В связи с этим на уроке  математики часто используют активные методы формирования знаний: проблемного  изложения, частично -поисковые, исследовательские.  Перечисленные методы (продуктивные) отличаются от репродуктивных (объяснительно - иллюстративный и репродуктивный), которые связаны с усвоением учеником готовых знаний и воспроизведения, известных ему способов деятельности, тем, что ученик добывает субъективно новые знания в результате творческой деятельности.

Проблемное изложение  относят к промежуточной группе, ибо оно в равной мере предполагает как усвоение готовой информации, так и элементы творческой деятельности.  Но продуктивные методы имеют и ряд  недостатков, поэтому нельзя полностью  игнорировать репродуктивные методы как  эффективные.

2. Творческое отношение  к структуре урока математики. Стремление заинтересовать учащихся, разнообразить ход урока ведут  к тому, что учителя включают в урок различные игровые методики. Как показывает педагогическая практика и анализ педагогической литературы, до недавнего времени игру использовали лишь на занятиях математического кружка, при проведении тематических вечеров и др., а возможности использования дидактической игры в учебном процессе недооценивались.

В настоящее время игру используют при организации начала урока, при изучении нового материала, при организации контроля, при  окончании урока. Часто проводятся игровые уроки, даются интересные задания. Очень важен творческий подход учителя  к организации урока, в частности  к организации начала урока. « Как правило, удачно выбранный вид деятельности учащихся вначале урока настраивает их на плодотворную работу на протяжении всех 45 минут ». Новое начало урока позволяет избежать однообразия в построении занятия, обеспечивает интерес учащихся.

 Как известно, предварительная  содержательная работа на уроке  направлена главным образом на  подготовку учащихся к усвоению  нового материала, применению  имеющихся знаний, овладению определенными  умениями. С этой целью Манвелов  С. Г. предлагает использовать  в начале урока: устный счет, математический диктант, игровые  задания, задания на поиск закономерностей,  на обнаружение типичных ошибок  учащихся и их предупреждение, на выбор рациональных способов  решения задач, комментированное  чтение текста учебника и т.д

Этап актуализации опорных знаний можно организовать тоже разными способами.

1.Работа в парах с  применением тренажеров для устного  счета. Использование на уроке  подобных тренажеров позволяет  осуществлять взаимоконтроль и  эффективно организовывать устный  счет. Использование на уроке  такой формы работы с использованием  тренажеров позволяет рационально  использовать время урока, проверить  всех и воспитывает у учеников  ответственность, внимательность, честность, самостоятельность, взаимоуважение, Как можно воспитывать познавательную активность, при этом показывая связь с историей, с жизнью, т.е. осуществлять эстетическое воспитание? На уроках математики мы говорим с ребятами об особенностях математики: о совершенстве математического языка, о полезности математики.