Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Мая 2015 в 20:46, курсовая работа
Задача о восстановлении показателя преломления в слоисто-неоднородной среде, каковым является горизонтально стратифицированный океан, по известному звуковому полю источника, является одной из важных задач акустики океана. Благодаря представлению и использованию асимптотики для функции Ханкеля задачу удалось свести к задаче определения коэффициента в уравнении Штурма-Лиувилля на конечном интервале по известной спектральной функции распределения и параметру в краевом условии. На промежуточном этапе редукции задачи о восстановлении показателя преломления к обратной спектральной задачи возникает нелинейная система уравнений специального вида, которую удается решить с помощью метода Прони.
Введение 3
Глава 1. Постановка задачи 4
§1. Постановка задачи. Редукция к методу Прони и обратной спектральной задаче 4
§2. Реализация метода Прони 6
§3. Предварительные сведения 8
Глава 2. Численная реализация 9
Заключение 10
Список литературы 11
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Физико-математический факультет
Кафедра прикладной информатики и программирования
Курсовая работа
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Выполнил: студент 4 курса
физико-математического факультета
очной формы обучения
группы ПМИ-41
Дёмин Дмитрий Евгеньевич
Научный руководитель:
к.ф.-м.н., доцент
Сабитова Гульнара Сагындыковна
«___»__________________ 2014г.
Стерлитамак – 2014
Содержание
Введение
Задача о восстановлении показателя преломления в слоисто-неоднородной среде, каковым является горизонтально стратифицированный океан, по известному звуковому полю источника, является одной из важных задач акустики океана. Благодаря представлению и использованию асимптотики для функции Ханкеля задачу удалось свести к задаче определения коэффициента в уравнении Штурма-Лиувилля на конечном интервале по известной спектральной функции распределения и параметру в краевом условии. На промежуточном этапе редукции задачи о восстановлении показателя преломления к обратной спектральной задачи возникает нелинейная система уравнений специального вида, которую удается решить с помощью метода Прони.
Рассматривается горизонтально стратифицированный океан с показателем преломления n(z) = c0/c(z), (c0-скорость на произвольном горизонте) 0 < z < H, ограниченный сверху поверхностью воды (z = H), а снизу (z = 0) плоским абсолютно не податливым дном. Звуковое поле Р = Р(r,z) точечного источника расположенного в точке r = 0, z = z0 и имеющего особенность вида Р = 1/R, R = [r2+(z-z0)2]1/2 при R → 0 описывается уравнением Гельмгольца.
+ k2 (z)P = - |
(1.1) |
С граничными условиями
|
|
(1.2) |
где k(z) = k0 n(z), k0 – частота источника, δ(z) – дельта-функция, а δ(r) равна нулю всюду, кроме r = 0 и обладает свойством
|
|
|
где
Получим оценки устойчивости восстановления показателя преломления n(z), зависящего только от глубины z по звуковому полю P, зарегистрированному в серии точек.
+ (λ2 – q(z))Ψ = 0, z ∈ [0,H] |
(1.3) |
при граничных условиях
Ψ∣x=0 = 0, ∣z=H = 0 |
(1.4) |
и заданной спектральной функции. Здесь
q(z) =
|
(1.5) (1.6) |
число n(z0) считается известным, h – вещественное число.
Решение задачи (1.1) – (1.2) представимо в виде суммы нормальных волн
|
|
(1.7) |
где - функция Ханкеля первого рода нулевого порядка,
– собственная функция, а собственные значения краевой задачи вида
, z ∈ [o,H],
На больших по сравнению с длинной волны расстояниях от источника функцию Ханкеля можно заменить ее асимптотическим представлением |
|
|
(1.8)
Пусть поле P(r,z) задано при z = z0 и r ∈ [r0, ∞), r0 – достаточно большое число (что бы (8) выполнялось с достаточной точностью), функция Ψ i(z) нормированы условием Ψ i(z0) = 1 и ξl . Тогда из (1.8) получаем
(1.9)
В дальнейшем именно считается известной функцией при и количество слагаемых в сумме (1.9) предполагается конечным:
.
Для удобства записей введем обозначения
– вещественные числа, - комплексные числа.
В этих обозначениях равенство (1.10) примет вид
∈ [0,∞). (1.12)
Измеряя поле в конечном числе точек z = z0, в предположении, что точка выбрана так, что и что функция нормированы условием ) = 1, приходим к нелинейной системе специального вида (1.12), которая эффективно решается методом Прони.
Шаг 1. Для определения отклонений источников по углу необходимо вычислить неизвестные , в системе уравнений
(2.1) |
Определение теплицевой системы уравнений: Матрица порядка , элементы которой зависят только от разности индексов , называется теплицевой. Обозначают так:
Согласно методу Прони решается линейная теплицева система уравнений относительно m неизвестных .
(2.2) |
где , - заданные комплексные числа.
Положим , остальные коэффициенты вычисляем по (2.2). Для нахождения в исходной системе (2.1) составим полином - той степени с комплексными коэффициентами , а именно:
с корнями , . Здесь – расстояние между приемниками; – частота ( , где – длина волны).
Шаг 2. Определение мощностей источников.
Неизвестные числа однозначно находятся из системы (2.1), так как ее определитель совпадает с определителем матрицы Вандермонда.
Матрицей Вандермонда называется квадратная матрица следующего вида:
где λ1,λ2,…,λm – элементы произвольного поля.
При численной реализации обратной задачи разрешения сигналов в дискретной постановке методом Прони будем использовать примеры для 3-х, 4-х, 7-ми источников без шумов и при наличии шума. Для простоты реализации положим частоту равным единице (из условия при ), , . Число источников связано с числом приемников неравенством .
Функции , будем вычислять в точках для 3-х источников и в точках для 4-х источников. Углы наклона в процессе вычислений будем менять. Проведем две группы экспериментов: при наличии шума и без шума. Шум в правую часть системы (1.8) будем вводить следующим образом: , где , – погрешность и , а , , – случайная величина, равномерно распределенная на сегменте .