Описание численных методов решения СЛАУ методом Крамера

Как язык Turbo Pascal естественно сравнивать с его ближайшими конкурентами – многочисленными вариациями на тему языка Basic и с C++. Turbo Pascal существенно превосходит Basic за счет полноценного объектного подхода, включающего в себя развитые механизмы инкапсуляции, наследование и полиморфизм. Последняя версия языка, применяемая в Delphi, по своим возможностям приближается к C++. Из основных механизмов, присущих C++, отсутствует только множественное наследование. Плюсы применения языка Pascal очевидны: с одной стороны, в отличие от Visual Basic, основанного на интерпретации промежуточного кода, для него имеется компилятор, генерирующий машинный код, что позволяет получать значительно более быстрые программы. С другой – в отличие от C++ синтаксис языка Pascal способствует построению очень быстрых компиляторов.

 

 

 

 

 

3. Автоматизация решения СЛАУ
1. Постановка задачи

К задачам линейной алгебры  относятся задачи: решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), нахождения обратных матриц, вычисления определителей матриц, нахождения собственных векторов и собственных чисел матриц. К системам линейных алгебраических уравнений сводятся после дискретизации системы дифференциальных и интегральных уравнений. Линейные алгебраические уравнения являются также результатом локальной линеаризации систем нелинейных уравнений.

Целью данной задачи является решение системы линейных уравнений, т.е. нахождение её неизвестных  методом Крамера традиционным способом решения, а также с помощью MS Excel. Начальными данными являются коэффициенты при неизвестных  и свободные члены. Свободные члены и коэффициенты при неизвестных являются главными данными.

Решение систем линейных уравнений  является одной из важных вычислительных задач. Большинство задач вычислительной практики сводятся к решению систем линейных уравнений. Это задачи из области электротехники, радиоэлектроники, механики, статистики. Серьезные практические задачи часто приводят к таким системам, которые содержат сотни и даже тысячи линейных уравнений. Без помощи компьютера, эти системы решить невозможно.

Данная задача используется в математической сфере. Целесообразность решения задачи автоматизированным способом позволяет сократить время, затраченное на её решение по сравнению с ручным способом, снижается вероятность допущения ошибок, повышается точность полученных результатов.

2. Вычисление СЛАУ методом Крамера

1. Традиционный способ решения СЛАУ

 

Задача: решить систему уравнений:

 

1. Запишем исходную матрицу системы.

 

 

 

2. Найдем определитель основной матрицы.

∆ =    = 2 - 1 + 4 =

= 2*(-4*1 – 6*(-1)) – 1*(5*1 –  6*1) + 4*(5*(-1) – (-4)*1) =

= 2*(-4 + 6) – 1*(5 – 6) + 4*(-5 +4) = 1

 

3. Найдем определители дополнительных матриц.

 

= -2 - 1 + 4 =

= -2*(-4*1 – 6*(-1) – 1*(-1*1 –  6*0) + 4*(-1*(-1) – (-4)*0) =

= -2*(-4+6) – 1*(-1-0) + 4*(1-0) = 1

= = 2 + 2 + 4 =

= 2*(-1*1 – 6*0) + 2*(5*1 – 6*1) + 4*(5*0 – (-1)*1) =

= 2*(-1-0) + 2*(5-6) + 4(0+1) = 0

 

= = 2 - 1 - 2 =

= 2*(-4*0 – (-1)*(-1)) - 1*(5*0 – (-1)*1) - 2*(5*(-1) – (-4)*1) =

= 2*(0-1) - 1*(0+1) – 2*(-5 + 4) = -1

 

4. Найдем решения системы алгебраических уравнений.

 

= = = 1

= = = 0

= = = -1

5. Проверим решение.

2*1 + 0 + 4*(-1) = -2

-2 = -2

5*1 – 4*0 +6*(-1) = -1

-1 = -1

1. – 0 + (-1) = 0
1. = 0

2. Решение СЛАУ с помощью MS Excel

 

Задача: решить систему уравнений:

 

2x + y + 4z = -2
5x - 4y + 6z = -1
x - y + z = 0   Переименуем Лист 2 в Метод Крамера     Введем коэффициенты и свободные члены системы ()     1) коэффициенты и свободные члены a1 a2 a3 bi     2 1 4 -2     5 -4 6 -1     1 -1 1 0       С помощью функции ЕСЛИ проанализируем значение определителя основной матрицы   2) определитель основной матрицы ∆= 1     Введем дополнительные матрицы системы 3) дополнительные матрицы bi a2 a3     -2 1 4     -1 -4 6     0 -1 1               a1 bi a3     2 -2 4     5 -1 6     1 0 1               a1 a2 bi     2 1 -2     5 -4 -1     1 -1 0 Вычислим определители дополнительных матриц системы с помощью функции МОПРЕД() 4) определители дополнительных матриц   1                             -0                       -1   Вычислим решения системы 5) решение системы x1= 1     x2= -0     x3= -1

 

Заключение 

 

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований.

В ходе выполнения курсовой работы на тему «Автоматизация инженерных задач» было рассмотрено понятие систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), методов решения СЛАУ, дана информация относительно программных средств, применяемых для решения СЛАУ. В работе представлена характеристика метода Крамера, а также выполнено решение системы уравнений методом Крамера традиционным способом и с помощью MS Excel.

 

 

 

 

 

 

Список  литературы

 

1. Бидасюк Ю.М. Mathsoft MathCAD: самоучитель / Ю.М. Бидасюк. – М.: Диалектика, 2009.
2. Ваулин А.С. Языки программирования / А.С. Ваулин. – М.: Мир, 2003.
3. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения) / В.М. Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2000.
4. Глушаков С.В. Программирование на Delphi / С.В. Глушаков. –Харьков: Фолио, 2002.
5. Жоголев Е.А. Введение в технологию программирования (конспект лекций) / Е.А. Жоголев. – М.: «ДИАЛОГ–МГУ», 2004.
6. Калиткин В.Г. Численные методы / В.Г. Калиткин. – М.: Наука, 1998.
7. Кэнту М. Delphi 4 для профессионалов. – СПб: «Питер», 1999.
8. Д. Мак–Кракен. Численные методы и программирование на Фортране / Д. Мак–Кракен, У.Дорн. – М.: Мир, 1997.
9. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках БЕЙСИК, ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ. –  Томск, МП "Раско", 2004
10. Ракитин В.И. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров / В.И. Ракитин, В.Е. Первушин. – М.: Высшая школа, 2008.
11. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 2009.