Формирование готовности к самообразованию у старшеклассников

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

Приложение 1

 

Самообразование учащихся на уроках математики

 

Тема: Вписанный угол

Определение: Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности, называется вписанным углом.

Таков, например, угол АВС.

О вписанном угле принято говорить, что он опирается на дугу, заключенную между его сторонами. Так угол АВС опирается на дугу АС или иногда обозначают АМС.

Теорема:  Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Эту теорему надо понимать так: вписанный угол содержит в себе столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд заключается в половине дуги, на которую он опирается.

ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЙ

Задачи по теме: «Вписанный угол».

№ 1. Сумма вписанного угла АВС с центральным углом АОС равна 90⁰.  Найдите  каждый из этих углов.

Дано:  окружность с центром О

< АВС – вписанный

<АОС – центральный

< АВС + < АОС = 90⁰.

Найти: < АВС = ?, <АОС = ?

Решение: обозначим вписанный  угол АВС=Х → АMС = 2Х, т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается. Тогда центральный <АОС=2Х, т.к. он измеряется дугой, на которую опирается.

< АВС + < АОС = 90⁰ (по условию), х+2х =90, 3х=90,х=30

< АВС = х= 30⁰,   < АОС = 2×30 = 60⁰

Ответ: < АВС = 30⁰,  < АОС = 60⁰

 

№ 2. Разность центрального угла АОС и вписанного угла АВС равна 30. Найдите каждый из этих углов.

Дано: <АОС – центральный

< АВС – вписанный

<АОС - <АВС = 30⁰  

Найти: < АВС = ?, <АОС = ?

Решение:  пусть < АВС = Х, тогда дуга АMС = 2Х (т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).  <АОС - <АВС = 30⁰   (по условию),  2х-х =30 , х=30

< АВС = 30,  <АОС  = 2×30 = 60      

Ответ: < АВС = 30⁰,  < АОС = 60⁰

 

№ 3. Доказать, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

Дано:  ∆ АВС – прямоугольный (<С = 90⁰), вписан в окружность 

Доказать:  О – центр окружности

Доказательство: все углы, опирающиеся

на диаметр прямые →  если < С = 90⁰, то АВ -диаметр, но АВ – гипотенуза ∆АВС. Но центр окружности лежит на середине диаметра, а значит на середине  гипотенузы АВ.

 

№ 4. Углы А, В и С четырехугольника АВСД, вписанного в окружность пропорциональна числам: 4, 3, 5. Найдите все углы четырехугольника.

Дано: АВСД – четырехугольник, вписанный в окружность, < А: <В : <С = 4 : 3 : 5

Найти: <А = ?, <С=?, < В=?, < Д=?

Решение: < А + < С = 180⁰,  < В + < Д = 180⁰, 

(т.к у вписанного четырехугольника  сумма противоположных углов  равна 180⁰), обозначим: Х – 0бщая градусная мера, тогда < А = 4 Х, < В = 3 Х, <С = 5Х < А + < С = < В + < Д,  < А + < С = 180⁰,   < А = 4 Х <А= 80⁰ 

4 Х + 5 Х = 3Х +<Д  

4 Х + 5 Х = 180⁰,   

< В = 3 Х  <В = 60⁰

< Д = 6 Х   

9 Х = 180⁰      

<С = 5Х 

<С = 100⁰

Х = 20⁰  

< Д = 6 Х 

< Д = 120⁰

Ответ:   <А= 80⁰,  <В = 60⁰,  <С = 100⁰,   < Д = 120⁰

№ 5. В треугольнике АВС проведены две высоты АЕ и СД. О – точка их пересечения. Доказать, что около четырехугольника ВDОЕ можно описать окружность.

Дано: ∆ АВС, О – точка пересечения СD и АВ

Доказать:  Около ВДОЕ можно описать окружность

Доказательство: рассмотрим четырехугольник ВDОЕ. Найдем сумму внутренних углов четырехугольника по формуле: 180⁰ (n – 2) = 180⁰ (4 – 2) = 360⁰

< В + < D + < О + < Е = 360⁰, но < D = 90⁰ и < Е = 90⁰ (по условию)    < D + < Е = 90⁰+ 90⁰ = 180,  < D + < Е = 180⁰,              <В + 90⁰+ < О + 90⁰ = 360⁰, < В + < О + 180⁰ =360⁰,

< В + < О = 180⁰ 

< В + < О = < D + < Е

В четырехугольнике ВDОЕ сумма противоположных углов равна 180⁰. Значит около этого четырехугольника можно описать окружность.

 

№ 6. Найдите радиус окружности к задаче № 5, если известно, что длина отрезка ВО = 10 см.

Дано: ВDОЕ вписан в окружность 

<ВDО = 90⁰, <ВЕО = 90⁰ 

Найти: R = ?

Решение: все углы опирающиеся на диаметр, прямые ВО – диаметр окружности.  2R = 10,  R = 5 см.

Ответ: R = 5 см.

 

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО

1 ступень.

1. Сколько градусов и минут содержит дуга, если радиус, проведенный в конец её, составляет  с её хордой угол в 37⁰23' ?                        (ответ: 105⁰14')
2. Дуга содержит 117⁰23'. Определить угол между хордой и продолжением радиуса, проведенного в конец дуги.           (ответ: 148⁰41'30'' )
3. АВС – секущая; ВД – хорда; U ВД содержит 43⁰; U ВДС содержит 213⁰41'. Определить <АВД.                                              (ответ: 94⁰39'30'')
4. Вычислить угол, вписанный в дугу, составляющую 17/32 окружности.

                                                                                                       (ответ: 84⁰22'30'')

5. Сколько градусов и минут содержит дуга, которая вмещает угол, равный 37⁰21' ?                                                  (ответ: 285⁰18')
6. Дуга содержит 84⁰52'. Под каким углом из точек этой дуги видна ее хорда?                                                             (ответ: 137⁰34')
7. Хорда делит окружность в отношении 5 : 11. Определить величину вписанных углов, опирающихся на эту хорду.   (ответ: 123⁰45';  56⁰15') 
8. АВ и АС – две хорды, U АВ содержит 110⁰23'; U АС содержит 38⁰. Определить <ВАС.                             (ответ: 105⁰48'30'' или 36⁰11'30'')
9. Хорда АВ делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130⁰, а большая делится хордой АС в отношении 31 : 15 (начиная от А). Определить <ВАС.                                                            (ответ: 37⁰30')
10. Хорды АВ и АС лежат по разные стороны центра и заключают <ВАС, равный 72⁰30'; U АВ : U АС = 19 : 24. Определить эти дуги.

                                                                                                      (ответ: 95⁰ и 120⁰)

2 ступень

1. Определить, сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведенный в хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5:2.
2. Точки А и В соединены двумя дугами, обращенными выпуклостями в разные стороны: U АСВ содержит 117⁰23'; и U АВД содержит 42⁰37'; середины их С и Д соединены с А. Определить < САД
3. В сегмент АМВ вписана трапеция АСДВ, у которой сторона АС = СД и <САВ = 51⁰20'. Сколько градусов содержит дуга АМВ?
4. АВ – диаметр; С, Д и Е – точки на одной полуокружности АСДЕВ. На диаметре АВ взяты: точка М так, что < СМА = < ДМВ, и точка Н так, что < ДНА = <  ЕНВ. Определить < МДН, если дуга АС содержит 60⁰ и дуга ВЕ содержит 20⁰.
5. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40⁰. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими на три части. Найти эти части.
6. Основание равнобедренного треугольника служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью и полуокружность – сторонами треугольника?
7. Построить несколько точек окружности, имеющий данный диаметр, пользуясь лишь чертежным треугольником.
8. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с=5 см и высоте, опущенной из вершины прямоугольного угла на гипотенузу и имеющей длину 2 см.
9. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной 3,5 см, и проекции одного из катетов на гипотенузу, если эта проекция равна 2,9 см.
10. Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3 : 5, проведена касательная. Определить острый угол между хордой и касательной.

 

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Углы в окружности

1. На окружности взяты четыре точки. Доказать, что прямые, соединяющие середины противолежащих дуг, взаимно перпендикулярны.
2. Две окружности пересекаются в точках А и В, САД – секущая. Доказать,  что величина угла СВД не зависит от положения секущей.
3. Около треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д, а окружность в точке Е. Точки А и Е соединены отрезком прямой. Доказать, что треугольник АВЕ подобен треугольнику ВДС.
4. АВ – диаметр окружности О, радиус ОС I АВ. Через середину Д радиуса ОС проведена хорда ЕК   ⃦ АВ. Доказать, что угол АВЕ в два раза меньше угла СВЕ.
5. Точка Д лежит на радиусе ОА; хорда ВДС I   АО. Через точку С проведена касательная до пер<span class="dash0410_0431_0437_0430_0446