Расчет портфеля ценных бумаг
Задача, 14 Октября 2012, автор: пользователь скрыл имя
Описание работы
На рынке имеются рисковые активы трёх видов. Ожидаемые доходности этих активов и их ковариационная матрица заданы табл. 1. В ситуации разрешены короткие продажи данных активов, а - запрещены.
Файлы: 1 файл
Расчет портфеля ценых бумаг.doc
— 172.00 Кб (Скачать файл)На рынке имеются рисковые активы трёх видов. Ожидаемые доходности этих активов и их ковариационная матрица заданы табл. 1. В ситуации разрешены короткие продажи данных активов, а - запрещены.
Требуется для данных активов и каждой из указанных ситуаций:
- Сформировать допустимой портфель с наименьшим риском и вычислить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности этого портфеля.
- Указать множество допустимых портфелей, определяющих эффективную границу множества инвестиционных возможностей, составить уравнение эффективной границы и построить её.
- Найти касательные портфели, соответствующие безрисковым процентным ставкам и , заданным табл. 2.
- Определить эффективную границу множества инвестиционных возможностей, если инвесторы могут предоставлять кредиты под безрисковую процентную ставку , а брать кредиты под безрисковую процентную ставку .
- Построить стратегию инвестирования для обеспечения ожидаемых доходностей портфеля: , заданных табл. 2.
Таблица 1
№ варианта |
|
|
|
|
|
6 |
12 |
25 |
42 |
|
Таблица 2
№ варианта |
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
9 |
15 |
36 |
48 |
1.Портфель с наименьшим риском. Стандартное отклонение доходности портфеля
1)Короткие продажи ценных бумаг разрешены
Ковариационная матрица:
Дисперсия доходности портфеля:
при
Для нахождения глобального минимума функции воспользуемся теоремой Куна-Таккера. Для этого сначала найдем множитель Лагранжа:
По теореме Куна-Таккера:
Решим систему методом Гаусса.
w1 |
w2 |
w3 |
l |
b |
0,2 |
0,2 |
0 |
1 |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
1 |
0 |
0 |
0,2 |
0,4 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-0,2 |
1 |
-0,2 |
0 |
0,2 |
0 |
1 |
-0,2 |
0 |
0,2 |
0,4 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-0,2 |
1 |
-0,2 |
0 |
0 |
-0,4 |
0 |
-0,2 |
0 |
1 |
2 |
5 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
-5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
- 0,1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0,5 |
0 |
1 |
0 |
5 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
-5 |
1,5 |
0 |
0 |
0 |
1 |
- 0,1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0,5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
- 0.5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Портфель с наименьшим риском:
Ожидаемая доходность:
Стандартное отклонение доходности этого портфеля:
2)Короткие продажи ценных бумаг запрещены (КПЗ)
при условии:
Выразим
Дисперсия доходности портфеля:
где
Функция Лагранжа:
По теореме Куна-Таккера:
Для решения системы достаточно найти оптимальное решение задачи линейного программирования:
Данная система уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда она имеет опорное решение, базис которого не содержит сопряженных векторов условий.
Б |
Сб |
w2 |
w3 |
l |
μ2 |
μ3 |
z |
y1 |
y2 |
b |
y1 |
1 |
0,2 |
0,2 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
y2 |
1 |
0,2 |
0,6 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0,4 |
z |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
ΔK |
2,5 |
6,4 |
11 |
-7 |
-4 |
1 |
7 |
4 |
||
w3 |
0 |
1 |
1 |
5 |
-5 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
y2 |
1 |
-0,4 |
0 |
-2 |
3 |
-1 |
0 |
-3 |
1 |
0,4 |
z |
0 |
0 |
0 |
-5 |
5 |
0 |
1 |
-5 |
0 |
1 |
-0,3 |
0 |
-4 |
5 |
-1 |
0 |
-4 |
0 |
|||
w3 |
0 |
1/15 |
0,2 |
1/3 |
0 |
-1/3 |
0 |
0 |
1/3 |
2/15 |
μ2 |
0 |
- 2/15 |
0 |
- 2/3 |
1 |
- 1/3 |
0 |
-1 |
1/3 |
2/15 |
z |
0 |
2/15 |
0 |
-1/3 |
0 |
1/3 |
0,2 |
0 |
-1/3 |
1/15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
||
Портфель с наименьшим риском:
Ожидаемая доходность равна
Стандартное отклонение доходности этого портфеля: (2)
(1) & (2) →
Портфель с наименёьшим риском при разрешенных коротких продажах более рискован, чем портфель с наименьшим риском при запрещенных коротких продажах ценных бумаг.