Применение моделей кривых роста в экономическом прогнозировании

Индивидуальное  задание по курсу

«Статистические методы прогнозирования в экономике»

(лабораторный  практикум и четыре текущих  контроля)

«Применение моделей  кривых роста в экономическом прогнозировании»

Лабораторный  практикум.

 

1. Имеются квартальные данные  о прибыли компании (тыс.долл.).

Таблица 1. Исходные данные

t	yt (тыс.долл.)	t	yt (тыс.долл.)	t	yt (тыс.долл.)
1	80,4+К	6	115,2+К	11	147,4+К
2	88,3+К	7	118,4+К	12	155,2+К
3	92,0+К	8	127,1+К	13	169,8+К
4	98,5+К	9	131,3+К	14	176,7+К
5	109,9+К	10	136,9+К	15	192,4+К

 

С помощью графического анализа  в MS Excel исследуйте компонентный состав временного ряда (наличие трендовой компоненты и случайной).

Обоснуйте возможность применения моделей кривых роста полиномиального  типа (I и II порядков)  и показательной модели для описания динамики этого ряда. 

 

2. Предположив, что тенденция  ряда может быть описана

I) линейной моделью ;

II) параболической моделью ,

III) показательной моделью

определите коэффициенты этих моделей с помощью метода наименьших квадратов (МНК) (показательную модель необходимо привести к линейному виду логарифмированием). Для упрощения расчетов выполните перенос начала координат в середину ряда динамики.

3. Сравните выбранные модели с помощью графического анализа в MS Excel.

Для этого на одном графике изобразите эмпирические данные и теоретические  значения, полученные по I, II и III моделям.

4. Сравните построенные модели  по характеристикам точности: средней         

абсолютной ошибке по модулю и средней относительной ошибке по

модулю. Проверьте адекватность моделей  исходным данным по критерию

Дарбина-Уотсона. Сделайте вывод о  «качестве»  полученных моделей, определите наиболее удачную модель (имеет наименьшие ошибки и адекватна исходным данным по критерию Дарбина-Уотсона).

5. Рассчитайте с помощью лучшей  модели точечный прогноз для  периода упреждения L=1.

 

 

Таблица 1.1.Определение коэффициентов линейной модели по МНК с переносом

начала координат в середину ряда динамики.

исходн. коорд.	исходные данные	перенос н.к. в серед.	для линейн. модели		для параб. модели		для показ. модели. Ln –натуральный логарифм по «е».		расчет параметров теоретических трендов по трем моделям.
t!	yt (тыс.долл.)	t	yt*t	t2	yt*t2	t4	Ln(yt)	Ln(yt)*t	(линейн.)	(параб.)	(показ.)
1	87,4	-7	-611,8	49	4282,6	2401	4,47	-31,29	83,828	90,31	89,251
2	95,3	-6	-571,8	36	3430,8	1296	4,557	-27,342	91,324	95,026	94,415
3	99,0	-5	-495	25	2475	625	4,595	-22,975	98,82	100,168	99,845
4	105,5	-4	-422	16	1688	256	4,659	-18,636	106,316	105,738	105,671
5	116,9	-3	-350,7	9	1052,1	81	4,761	-14,283	113,812	111,736	111,895
6	122,2	-2	-244,4	4	488,8	16	4,806	-9,612	121,308	118,162	118,383
7	125,4	-1	-125,4	1	125,4	1	4,832	-4,832	128,804	125,016	125,137
8	134,1	0	0	0	0	0	4,899	0	136,3	132,298	132,42
9	138,3	1	138,3	1	138,3	1	4,929	4,929	143,796	140,008	140,1
10	143,9	2	287,8	4	575,6	16	4,969	9,938	151,292	148,146	148,178
11	154,4	3	463,2	9	1389,6	81	5,04	15,12	158,788	156,712	156,785
12	162,2	4	648,8	16	2595,2	256	5,089	20,356	166,284	165,706	165,922
13	176,8	5	884	25	4420	625	5,175	25,875	173,78	175,128	175,589
14	183,7	6	1102,2	36	6613,2	1296	5,213	31,278	181,276	184,978	185,785
15	199,4	7	1395,8	49	9770,6	2401	5,295	37,065	188,772	195,256	196,511
Сумма	2044,5	8	2099	280	39045,2	9352	73,289	15,591	Прогноз = 196,268	Прогноз = 205,962	Прогноз = 207,893

 

При расчете параметров всех моделей суммирование осуществляется по t, полученному после переноса начала координат в середину временного ряда.

 

Линейная модель:

 

а₀=136,3

 

 

   а₁=7,496

 

Прогноз прибыли в следующем квартале: 136,3+7,496*8=196,268 тыс.долл.

                                                                                 а₀           а_{1       t}    

 

Параболическая модель:

 

 

                                = 132,298

 

                    = 7,496

 

                                            = 0,214

 

 

Прогноз прибыли в следующем квартале: 132,298+7,496*8+0,214*8²=205,962 тыс.долл.

                                                                                    а₀               а₁      t          a₂       t²

 

Показательная модель:

 

Т.к. МНК - линейный метод оценивания возьмем натуральный логарифм от левой и правой части функции. После логарифмирования функция стала линейной.

Обозначив ;   ; запишем

                         = 4,886            =>          a=e^A =exp(A)= 132,42

 

                           = 0,056            =>         b=e^B=exp(B)= 1,058                        

 

 

Прогноз прибыли в следующем квартале: 132,42*1,058^8=207,893 тыс.долл.

                                                                                   а                 b         t  

 

 

Таблица 1.2.Расчет характеристик точности линейной модели.

yt (тыс.долл.)	(линейн.) (тыс.долл.)
87,4	83,828	3,572	0,041
95,3	91,324	3,976	0,042
99,0	98,82	0,18	0,002
105,5	106,316	0,816	0,008
116,9	113,812	3,088	0,026
122,2	121,308	0,892	0,007
125,4	128,804	3,404	0,027
134,1	136,3	2,2	0,016
138,3	143,796	5,496	0,04
143,9	151,292	7,392	0,051
154,4	158,788	4,388	0,028
162,2	166,284	4,084	0,025
176,8	173,78	3,02	0,017
183,7	181,276	2,424	0,013
199,4	188,772	10,628	0,053
	Сумма	55,56	0,397

Средняя абсолютная ошибка по модулю: =3,704 тыс.долл.

длина ряда n=15

Средняя относительная ошибка по модулю:  =0,026%

 

 

Таблица 1.3.Расчет характеристик точности параболической модели.

yt (тыс.долл.)	(параб.) (тыс.долл.)
87,4	90,31	2,91	0,033
95,3	95,026	0,274	0,003
99,0	100,168	1,168	0,012
105,5	105,738	0,238	0,002
116,9	111,736	5,164	0,044
122,2	118,162	4,038	0,033
125,4	125,016	0,384	0,003
134,1	132,298	1,802	0,013
138,3	140,008	1,708	0,012
143,9	148,146	4,246	0,03
154,4	156,712	2,312	0,015
162,2	165,706	3,506	0,022
176,8	175,128	1,672	0,009
183,7	184,978	1,278	0,007
199,4	195,256	4,144	0,021
	Сумма	34,844	0,26

 

Средняя абсолютная ошибка по модулю: =2,323 тыс.долл.

длина ряда n=15

Средняя относительная ошибка по модулю:                   =0,017%

 

 

Таблица 1.4.Расчет характеристик точности показательной модели.

yt (тыс.долл.)	(показ.) (тыс.долл.)
87,4	89,251	1,851	0,021
95,3	94,415	0,885	0,009
99,0	99,845	0,845	0,008
105,5	105,671	0,171	0,002
116,9	111,895	5,005	0,043
122,2	118,383	3,817	0,031
125,4	125,137	0,263	0,002
134,1	132,42	1,68	0,013
138,3	140,1	1,8	0,013
143,9	148,178	4,278	0,03
154,4	156,785	2,385	0,015
162,2	165,922	3,722	0,023
176,8	175,589	1,211	0,007
183,7	185,785	2,085	0,011
199,4	196,511	2,889	0,014
	Сумма	32,887	0,243

 

Средняя абсолютная ошибка по модулю: =2,192 тыс.долл.

длина ряда n=15

Средняя относительная ошибка по модулю:                   =0,016%

 

Таблица 1.5. Проверка адекватности линейной модели исходным данным по критерию Дарбина-Уотсона.

yt (тыс.долл.)	(линейн.) (тыс.долл.)	et=yt-	et2	(et-et-1)2
87,4	83,828	3,572	12,759	--------------
95,3	91,324	3,976	15,808	0,163
99,0	98,82	0,18	0,0324	14,41
105,5	106,316	-0,816	0,666	0,992
116,9	113,812	3,088	9,536	15,241
122,2	121,308	0,892	0,796	4,822
125,4	128,804	-3,404	11,587	18,456
134,1	136,3	-2,2	4,84	1,45
138,3	143,796	-5,496	30,206	10,864
143,9	151,292	-7,392	54,641	3,595
154,4	158,788	-4,388	19,254	9,024
162,2	166,284	-4,084	16,679	0,092
176,8	173,78	3,02	9,12	50,467
183,7	181,276	2,424	5,876	0,355
199,4	188,772	10,628	112,954	67,306
		Сумма	304,756	197,236