Определение аналитической зависимости предела текучести от основных факторов для сплава 20ХГНР

 

Таблица 3.5.

Уравнения зависимости  от ε

Вид зависимости	Уравнение регрессии	R2	k	Fрасч.	Fтабл.
Экспоненциальная	= 0,7756·	0,6138	2	12,7147	5,3177
Линейная	= 0,0159·Т+0,79	0,7474	2	23,6706	5,3177
Логарифмическая	= 0,37·+0,0728	0,9499	2	151,6806	5,3177
Полиноминальная 2 степени	= -0,0006·+0,0504·Т+0,445	0,9338	3	49,3701	4,7374
Степенная	= 0,3667·	0,8758	2	56,4122	5,3177

 

Таблица 3.6.

Уравнения зависимости  от U

Вид зависимости	Уравнение регрессии	R2	k	Fрасч.	Fтабл.
Экспоненциальная	= 0,9817·	0,9817	2	429,1585	5,3177
Линейная	= 0,0066·Т+0,9618	0,9582	2	183,3876	5,3177
Логарифмическая	= 0,2689·+0,5621	0,8407	2	42,2197	5,3177
Полиноминальная 2 степени	= ·+0,0099·Т+0,8938	0,9829	3	201,1784	4,7374
Степенная	= 0,7134·	0,9332	2	111,7605	5,3177

 

В таблицах жирной строкой  выделены те уравнения, которые являются наилучшей аппроксимацией исследуемой  зависимости. При выборе уравнения  мы ориентировались на критерий Фишера F_рас, принимающий максимальное значение, а также на условие F_рас>F_табл. Итоговый выбор зависимости для каждого коэффициента можно обосновать с точки зрения простоты и скорости получения результатов счета по рассматриваемому уравнению.

Но при расчете средней  ошибки, в сравнительной таблице, мы будем брать уравнения, которые выделены курсивом. Это наиболее целесообразно в данной курсовой работе.

На рис. 3.1., 3.2., 3.3. приведены уравнения, которые наиболее точно отражают зависимости коэффициентов , , _. На этих рисунках точками изображены значения, полученные по исходным графикам зависимостей термомеханических коэффициентов от их физических величин. Сплошными линиями показаны графики полученных уравнений аппроксимации.

Рис.3.1. Аппроксимация исследуемой зависимости степенным уравнением = 9·10⁷·.

 

 

Рис.3.2. Аппроксимация исследуемой зависимости логарифмическим уравнением = 0,37·+0,0728.

Рис. 3.3. Аппроксимация исследуемой  зависимости полиномиальном уравнением = ·+0,0099·Т+0,8938.

4.Множественный регрессионный анализ

Сформируем основополагающую для следующего анализа таблицу, в которой каждому значению s_т (отклику) соответствует набор из трех значений параметров: температуры, скорости деформации и степени деформации. Для успешного выполнения множественного регрессионного анализа данная таблица содержит 31 значимое наблюдение, причем на протяжении некоторого числа измерений два из трех рассматриваемых параметров зафиксированы (const) и только один изменяется (var). Исходные данные для множественного регрессионного анализа приведены в табл.4.1.

Таблица 4.1.

Исходные данные для множественного регрессионного анализа

№	U, сек	ε, %	T, °С	kU	kε	kt	=·
1	150	25	900	1,95	1,3	1,28	32,448
2	150	25	930	1,95	1,3	1,18	29,913
3	150	25	960	1,95	1,3	1,09	27,6315
4	150	25	990	1,95	1,3	1	25,35
5	150	25	1020	1,95	1,3	0,93	23,5755
6	150	25	1050	1,95	1,3	0,85	21,5475
7	150	25	1080	1,95	1,3	0,78	19,773
8	150	25	1110	1,95	1,3	0,72	18,252
9	150	25	1140	1,95	1,3	0,67	16,9845
10	150	25	1170	1,95	1,3	0,64	16,224
11	150	25	1200	1,95	1,3	0,62	15,717
12	150	5	1050	1,95	0,55	0,85	9,11625
13	150	10	1050	1,95	1	0,85	16,575
14	150	15	1050	1,95	1,14	0,85	18,8955
15	150	20	1050	1,95	1,23	0,85	20,38725
16	150	25	1050	1,95	1,3	0,85	21,5475
17	150	30	1050	1,95	1,35	0,85	22,37625
18	150	35	1050	1,95	1,39	0,85	23,03925
19	150	40	1050	1,95	1,42	0,85	23,5365
20	150	45	1050	1,95	1,44	0,85	23,868
21	150	50	1050	1,95	1,45	0,85	24,03375
22	1	25	1050	0,8	1,3	0,85	8,84
23	2	25	1050	0,88	1,3	0,85	9,724
24	5	25	1050	0,92	1,3	0,85	10,166
25	10	25	1050	1	1,3	0,85	11,05
26	20	25	1050	1,22	1,3	0,85	13,481
27	40	25	1050	1,3	1,3	0,85	14,365
28	65	25	1050	1,53	1,3	0,85	16,9065
29	100	25	1050	1,75	1,3	0,85	19,3375
30	150	25	1050	1,95	1,3	0,85	21,5475
31	250	25	1050	2,5	1,3	0,85	27,625

Используя данную таблицу, в  табличном редакторе MS Excel проводим множественный регрессионный анализ с помощью функции «Регрессия» из надстройки «Пакет анализа».

4.1.Регрессионная статистика

Множественный R – коэффициент множественной корреляции

= 0,94487.

R–квадрат – коэффициент множественной детерминации

= 0,89278.

Нормированный R–квадрат – несмещенный коэффициент множественной детерминации. Несмещённость достигается учетом числа степеней свободы и

= 0,88041.

Стандартная ошибка – среднее квадратическое отклонение относительно линии регрессии (остаточное среднее квадратическое отклонение)

= 1,9919.

Наблюдения – число наблюдений n = 30.

4.2. Дисперсионный анализ

Данные позволяющие выполнить  анализ составляющих вариации отклика.

Рассматриваются следующие  составляющие вариации: Регрессия (вариация отклика, обусловленная существованием зависимости отклика от рассматриваемых факторов), Остаток (вариация, обусловленная случайными причинами), Итого (общая вариация)

Для каждой из составляющих вариации выводится число степеней свободы df:

Регрессия    

Остаток    

Итого      .

Используются следующие  характеристики вариации: SS – суммы квадратов отклонений (Sums of Squares) и MS – средние квадраты (Mean Squores).

Регрессия     858,98069

 286,3269

Остаток     103,15888

 3,96765

Итого      962,13957.

Для оценивания статистической надежности аппроксимации исследуемой  зависимости линейным уравнением регрессии выводятся:

F – расчетное число Фишера:  = 72,16537.

Значимость F =9,82557·10^-13 – вероятность того, что рассчитанное число Фишера не соответствует гипотезе .

4.3.Коэффициенты регрессии

Число строк таблицы равно  числу коэффициентов в уравнении  регрессии. В строке Y-пересечение размещены данные для коэффициента b₀ , а в остальных – для коэффициентов b_j.

Коэффициенты – значения коэффициентов регрессии.

Стандартная ошибка – среднее квадратическое отклонение коэффициентов регрессии:

= 7,74367.

t – статистика - расчетное число Стьюдента для коэффициентов регрессии b_j (знак коэффициента сохраняется):

= 7,57082.

P – значение = 4,89567·10^-0,8 – вероятность того, что не соответствует гипотезе о значимости коэффициента регрессии .

Нижние Р% = 42,70855 и Верхние Р% = 74,54323 – нижняя и верхняя границы доверительного интервала для коэффициента регрессии при доверительной вероятности Р.

При проведении множественного регрессионного анализа для выбора того или иного уравнения зависимости, опираемся на следующие критерии:

1. Табличное значение  числа Стьюдента;

2. Минимально значимый  коэффициент корреляции;

3. Коэффициент множественной  детерминации;

4. Остаточная дисперсия;

5. Уровень значимости;

6. Рассчитанное число  Фишера.

 

В результате проведения множественного регрессионного анализа получаем уравнение = -0,0516·T+0,24673·ε+0,06989·U+58,62589.

Для выяснения статистической значимости коэффициентов уравнения  сравниваем рассчитанные коэффициенты Стьюдента с табличным для  числа наблюдений 10 и уравнения с четырьмя коэффициентами и доверительной вероятности 95%. Коэффициенты Стьюдента, рассчитанные для коэффициентов при T, U, E оказались больше табличного коэффициента Стьюдента, то есть, статистически значимыми.

Для выяснения надежности аппроксимации полученным уравнением сравниваем рассчитанное число Фишера с табличным. Рассчитанный критерий Фишера оказался больше табличного, значит, уравнение достоверно отражает исследуемую зависимость.

Результаты множественной  регрессии представлены в таблице 4.2.

Таблица 4.2.

Результаты множественной  регрессии

Регрессионная статистика
Множественный R	0,944871308
R-квадрат	0,892781789
Нормированный R-квадрат	0,880410457
Стандартная ошибка	1,991895921
Наблюдения	30

 

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	858,9806883	286,3268961	72,16537301	9,82557·10-13
Остаток	26	103,1588834	3,967649361
Итого	29	962,1395717

 

Коэффициенты  регрессии

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	58,62589069	7,743668873	7,570815805
150	0,069888677	0,006047618	11,55639805
25	0,246732597	0,04347526	5,675241413
900	-0,051602312	0,007245877	-7,121610614

 

P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
4,89567·10-8	42,70855151	74,54322986	42,70855151	74,54322986
9,61425·10-12	0,057457621	0,082319734	0,057457621	0,082319734
5,71284·10-6	0,157367921	0,336097273	0,157367921	0,336097273
1,45729·10-7	-0,066496425	-0,0367082	-0,066496425	-0,0367082

Оценка значимости коэффициентов  регрессии и надёжности аппроксимации представлена в таблице 4.3.

Таблица 4.3.

Проверка значимости коэффициентов  регрессии и надёжности аппроксимации

Уравнение регрессии

= -0,0516·T+0,24673·ε+0,06989·U+58,62589.

Значимость коэффициентов

t[0,05;n-k]	Y-пересечение	Значимость
2,055529418	b1 (T)	Значим
	b2  (ε)	Значим
	b3  (U)	Значим

Надёжность аппроксимации

F[0,05;k-1;n-k]	Аппроксимация
2,975153966	надёжная