Контрольная работа по "Эконометрике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Июня 2013 в 00:54, контрольная работа

Описание работы

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции ( , млн. руб.) от объема капиталовложений ( , млн. руб.)
Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Файлы: 1 файл

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.doc

— 395.00 Кб (Скачать файл)

3) Гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения ei одинакова для всех значений x. Для обнаружения гомоскедастичности применим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Оценим значимость коэффициента корреляции Спирмена с помощью   t-критерия Стьюдента:

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5

К проверке предпосылки МНК №3 по тесту Спирмена

ρ(x)

ρ(e)

ρ(x)-ρ(e)

(ρ(x)-ρ(e))^2

6

10

4

16

3,5

7

-3,5

12,25

1,5

6

-4,5

0,25

5

4

1

1

10

2

8

64

1,5

1

0,5

0,25

8

3

5

25

7

5

2

4

3,5

8

-4,5

20,25

9

9

0

0

Сумма

 

8

163

Коэфф. Спирмена

0,012

 

t-статистика

0,034

 

t крит 0,05

2,3

 

Т.к. t-статистика<tкрит, следовательно гипотеза о наличии  гомоскедастичности при пятипроцентном уровне значимости принимается. Связь  значима.

 

4) Независимость остатков проверяется  с помощью критерия Дарбина  – Уотсона. Для расчета используем данные таблицы 2 граф 6 и 7:

         

dw=61,76/76,9669=0,802

Критические значения по таблице распределения статистики Дарбина-Уотсона при n=10 составляют  d 1 = 0,95 и d2=1,23.

Расчетный показатель попадает в область 0<d<d1, значит, уровни автокоррелированы, то есть, зависимы, модель неадекватна.

 

5) Нормальность распределения остаточной компоненты определяется по R/S-критерию. Рассчитаем значение RS:               

RS = (εmax - εmin)/ S,

где εmin - минимальное значение уровней ряда остатков; εmax  - максимальное значение уровней ряда остатков; S - среднее квадратическое отклонение.

Таблица 6

εmax

6,3025

εmin

-3,6115

εmax - εmin

9,914

S

2,924

RS

3,39


Для n=10 и α=0,05 критический интервал (2,67;3,57) полученный критерий RS принадлежит критическому интервалу, следовательно, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

 

  1. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t–статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

         

, где Se2 – стандартная ошибка модели. Стандартная ошибка модели рассчитывается по формуле:                                     

Sε2 = 76,9669/8 = 9,6209

Sα = √9,6209*13093/10*490,5 = 5,0677

Sβ = √9,6209/490,5 = 0,14

tα – расч = 12,5755/5,0677 = 2,4815

tβ – расч = 1,319/0,14 = 9,421

Сравним расчетные значения сравниваются с табличными tтабл. Так как ta-расч = 2,4815 > tтабл. = 2,3    и   tb-расч 9,421> tтабл. = 2,3, то параметры уравнения регрессии a и b являются значимыми.

 

  1. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Определим линейный коэффициент  парной корреляции по формуле 

rY,X = 647/ √456361,2 = 0,958

Рассчитаем коэффициент детерминации:

R2 = r2Y,X = 0,918

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 91,8 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии  проведем с помощью F-критерия Фишера:

F = 0,918*8/(1-0,918) = 89,561

F = 89,561 > Fтабл.= 5,318 для α=0,05;  k1=m=1;    k2=n-m-1=8

Уравнение      регрессии       с вероятностью 0,95    в целом   статистически    значимое, т. к. F  >  Fтабл.

Определим среднюю относительную ошибку:

1/10*0,3649*100% = 3,65%

В среднем расчетные  значения Y для линейной модели отличаются от фактических значений на 3,65%.

Вывод. На основании рассчитанных критериев можно сделать вывод о хорошем качестве модели.

 

  1. Осуществив прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение показателя, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения =0,8*46=36,8  составит

= 12,5755 + 1,319 *36,8 = 61,1147

Интервальный прогноз:

     

tкр(0,1;8)=1,8595 для 10 - 2 = 8 степеней свободы и уровня значимости 0,1 равно 1,8595.

61,1147-6,1103 ≤ y ≤ 61,1147+6,1103

55,0044 ≤ y ≤ 67,225

 

  1. Представим графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Рис.4 График фактических и модельных значений Y, точки прогноза

  1. Составить уравнения нелинейной регрессии:
  • гиперболической;
  • степенной;
  • показательной.

Привести графики  построенных уравнений регрессии.

  1. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

1) Уравнение гиперболической  функции:  = a + b/x.

Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1/x. В результате получим линейное уравнение = a + bX.

 

 

 

 

 

Таблица 7

 

Наблюдение

 

y

 

х

 

 

Е

 

(y -

)2

(

)2

*100%

1

69

64,13607

38

0,02631579

1,81578947

4,86391

0,000693

23,65778

92,16

7,049169

2

52

49,38974

28

0,03571429

1,85714286

2,61023

0,001276

6,813465

54,76

5,019734

3

46

47,31433

27

0,03703704

1,7037037

-1,31437

0,001372

1,727459

179,56

2,85724

4

63

63,02013

37

0,02702703

1,7027027

-0,02015

0,00073

0,000405

12,96

0,03196

5

73

71,3169

46

0,02173913

1,58695652

1,68310

0,000473

2,832836

184,96

2,305621

6

48

47,31433

27

0,03703704

1,77777778

0,68563

0,001372

0,470145

129,96

1,428482

7

67

67,15727

41

0,02439024

1,63414634

-0,15728

0,000595

0,024735

57,76

0,23474

8

62

65,19478

39

0,02564103

1,58974359

-3,19480

0,000657

10,20665

6,76

5,15288

9

47

49,38974

28

0,03571429

1,67857143

-2,38977

0,001276

5,71085

153,76

5,08455

10

67

69,76649

44

0,02272727

1,52272727

-2,76650

0,000517

7,653477

57,76

4,12909

Сумма

594

 

355

0,29334313

16,8692617

 

0,008959

59,0978

930,4

33,29347

Среднее значение

59,4

 

35,5

0,0293343

1,6869262

 

0,000896

 

93,04

 

 

Рассчитаем  параметры  уравнения по данным таблицы 6.

b = (1,6869262 - 59,4 * 0,0293343)/( 0,000896 - 0,02933432) = -1569,01

а = =59,4+1569,01*0,0293343 = 105,42581

Получим  следующее  уравнение гиперболической модели:

= 105,42581 - 1569,01/х.

Определим индекс корреляции:

ρYX = √1-59,0978/930,4 = 0,96772

Связь между показателем у и фактором х сильная.

Коэффициент детерминации равен  0,936481

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 93,65% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности:

Эyx = -b / (a*xср + b) =1569,01/(105,42581*35,5-1569,01 = 0,72153

Это означает, что при  увеличении фактора Х на 1 % результирующий показатель увеличится на 0,72 %.

Средняя относительная  ошибка аппроксимации:

В среднем расчетные  значения ŷ для гиперболической  модели отличаются от фактических значений на 3,33%.

Рис.5 Гиперболическая модель регрессии

2) Уравнение степенной модели  имеет вид:  0∙ха1. Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg =lgА+х*lgВ.

Обозначим Y = lg , x = lg X, А = lg А. Тогда уравнение примет вид: Y=А+b*Х– линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя  данные таблицы 7:

 

 

Таблица 7

 

Наблюдение

у

Y

x

 

Е

 

2

YX

(

)2

1

69

62,6939

1,838849

38

1,579784

6,13287

2,495716

37,61209

8,89

2,904984

92,16

2

52

49,1229

1,716003

28

1,447158

2,75485

2,094266

7,589199

5,30

2,483328

54,76

3

46

47,71638

1,662758

27

1,431364

-1,83358

2,048802

3,362016

3,99

2,380011

179,56

4

63

61,37248

1,799341

37

1,568202

1,45941

2,459257

2,129878

2,32

2,821729

12,96

5

73

73,03063

1,863323

46

1,662758

-0,24496

2,764764

0,060005

0,34

3,098255

184,96

6

48

47,71638

1,681241

27

1,431364

0,16642

2,048802

0,027696

0,35

2,406468

129,96

7

67

66,61712

1,826075

41

1,612784

0,19426

2,601072

0,037737

0,29

2,945064

57,76

8

62

64,00833

1,792392

39

1,591065

-2,18669

2,531487

4,781613

3,53

2,851811

6,76

9

47

49,1229

1,672098

28

1,447158

-2,24515

2,094266

5,040699

4,78

2,41979

153,76

10

67

70,48296

1,826075

44

1,643453

-3,68699

2,700937

13,5939

5,50

3,001068

57,76

Сумма

594

 

17,67815

355

15,41509

 

237,6249

74,23483

35,27

272,5103

930,4

Ср. знач.

59,4

 

1,767815

35,5

1,541509

 

2,376249

7,423483

 

2,725103

 

Информация о работе Контрольная работа по "Эконометрике"