Шпаргалка по эконометрике

 

Билет 27. Задача идентификации системы одновременных  уравнений. Необходимое и достаточное  условие идентифицируемости уравнений системы.

При правильной спецификации модели задача идентификация системы уравнений сводится к корректной и однозначной оценке ее коэффициентов.

Необходимое условие  идентифицируемости

Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Введем следующие обозначения:

М – число предопределенных переменных в модели;

m- число предопределенных переменных в данном уравнении;

- число эндогенных переменных  в модели;

- число эндогенных переменных  в данном уравнении;

Обозначим число экзогенных (предопределенных) переменных, которые  содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через  ,  .

Для оценки параметров структурной  модели система должна быть идентифицируема  или сверхидентифицируема.

Рассмотренное счетное  правило отражает необходимое, но недостаточное  условие идентификации.

Достаточное условие  идентификации

Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через  определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других, объясняется  тем, что возможна ситуация, когда  для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но не достаточное условие идентификации.

В эконометрических моделях  часто наряду с уравнениями, параметры  которых должны быть статистически  оценены, используются балансовые тождества  переменных, коэффициенты при которых  равны  . В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию структурных уравнений системы тождества участвуют.

 

Билет 29. Временной ряд и его составляющие

Временной ряд (ряд динамики) –  это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется  под воздействием большого числа  факторов, которые условно можно  подразделить на три группы:

1. факторы, формирующие тенденцию ряда;
2. факторы, формирующие циклические колебания ряда;
3. случайные факторы.

В общем виде при исследовании экономического временного ряда y_t выделяются несколько компонент:

Y_t=u_t+v_t+c_t+e_t

Где, u_t тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов.

v_t сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течении недели, года, месяца

c_t циклическая компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течении длительных периодов.

e_t случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов.

Билет 30. Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда.

Существует несколько подходов к анализу структуры временных  рядов, содержащих сезонные или циклические  колебания.

Простейший подход- расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:

Y= T + S + E.

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент. Общий вид мультипликативной  модели выглядит так:

Y = T∙S∙E.

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний  приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой  значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний  возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в  зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной  моделей сводится к расчету значений трендовой, циклической и случайной  компонент для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1.       Выравнивание  исходного ряда методом скользящей средней.

2.      Расчет значений  сезонной компоненты.

3.      Устранение сезонной  компоненты из исходных уровней  ряда и получение выровненных  данных в аддитивной или мультипликативной  модели.

4.      Аналитическое выравнивание  уровней и расчет значений  тренда с использованием полученного  уравнения тренда.

5.      Расчет полученных  по модели значений или

6.      Расчет абсолютных  и относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно  заменить исходные уровни ряда и в  дальнейшем использовать временной  ряд ошибок для анализа взаимосвязи  исходного ряда и других временных  рядов.

 

Билет 31. Явление  автокорреляции и авторегрессии  временного ряда.

Корреляционную  зависимость между последовательными уровнями временного ряда

называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить

с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного

временного  ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во

времени. Коэффициент корреляции имеет вид:

можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков.

Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи

между уровнями у_t и y_t-1 и

определяется  по формуле:

Число периодов, по

которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С

увеличением лага число пар значений, по которым  рассчитывается коэффициент

автокорреляции, уменьшается.

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых,

он  строится по аналогии с линейным коэффициентом  корреляции и таким образом

характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней

ряда.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о

возрастающей  или убывающей тенденции в  уровнях ряда.

Последовательность  коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.

д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда.

График  зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.

 

Авторегрессия (аutoregression) – это статистический метод определения потенциальной потери капитала или его дохода. В данном способе для предположения последующих значений используются предыдущие значения временных рядов.

Прогнозы, сделанные по методам  авторегрессии, считаются одними из наиболее точных статистических прогнозов, именно поэтому они нашли широкое  распространение, включая рынок  Форекс. Это объясняется тем, что моделями авторегрессии великолепно описывается большое количество самых разных экономических показателей.

Метод авторегрессии работает четко, однако трейдер должен учитывать  некоторые тонкости. Одна из них  указывает на то, что любая модель прогнозирования обладает высокими шансами на точный прогноз лишь в  случае совпадения распределения исходного  ряда с распределением прогнозного  ряда. На таком принципе строятся самые  эффективные подходы к осуществлению  идентификации модели. Однако на практике распределение исходного ряда значительно  отличается от распределения ВР.

По большому счету формулу автокорреляционной функции, которая применяется в  авторегрессивных моделях, использовать нельзя – она применима исключительно к стационарным рядам (см. рис. 1). Кроме этого, ее крайне сложно получить, а математическое ожидание, которое используется при расчете АКФ найти попросту невозможно. Существует огромное количество различных хитростей и тонкостей, когда суперпозицию аналитических функций называют «моделью локального процесса» - на ее основании получают достаточно сомнительную оценку автокорреляционной функции. 

 

 (рис. 1 - авторегрессивная модель энного порядка) 

 

где сигма - это случайная величина, Х - вектор имеющихся отсчётов первых разностей прогнозируемого ВР, а Y(i)- коэффициенты авторегрессии, на вид  которых имеются ограничения. Для  вычисления коэффициентов авторегрессии  необходимо решить систему линейных удобрений энного порядка, состоящую  из значений автокорреляционной функции  для ряда первых разностей. После  нахождения разности Х(i+1) не сложно составить  прогноз для исходного ВР, а именно: Y(i+1)=Y(i)+X(i+1).

 

Билет 32. Моделирование  тенденции временного ряда. Основные типы трендов и их распознавание.

Распространенным способом моделирования  тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней  ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием  временного ряда.

 

Поскольку зависимость от времени  может принимать разные формы, для  ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются  следующие функции:

• линейный тренд: ;
• гипербола: ;
• экспоненциальный тренд:  (или );
• степенная функция: ;
• полиномы различных степеней: .

 

Линейный  тип тренда подходит для отображения  тенденции примерно равномерного изменения  уровней: равных в среднем величин  абсолютного прироста или абсолютного  сокращения уровней за равные промежутки времени. Причина близкого к равномерному изменению абсолютного прироста (сокращения) заключается во влиянии разнонаправленных и разноускоренных сил факторов, которые взаимно усредняются, частично взаимно погашаются, а равнодействующая их влияния приобретает их характер, близкий к равномерному. Таким образом, равномерная динамика становится результатом сложения влияния большого количества факторов на изменение исследуемого показателя.

Экспоненциальным трендом называют тренд, который выражается следующим уравнением  , где   – постоянный темп изменения уровней:

- если  , то имеется тренд с возрастающими уровнями, причём это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим ускорением и возрастающими производными более высоких порядков;

- если  , то имеется тренд, выражающий тенденцию постоянного, но замедляющегося сокращения уровней, причём замедление непрерывно усиливается.

 – свободный член экспоненты равен  выровненному уровню, то есть уровню тренда в момент, принятый за начало отсчёта  времени (при  ).

Экспоненциальный  тренд характерен процессам, развивающимся  в среде, не создающей никаких  ограничений для роста уровней.

 

Гиперболическим трендом называют тренд, который выражается уравнением   , где

 – свободный член гиперболы, предел, к которому стремится уровень  ряда;

 – основной параметр гиперболы:

- если  , то этот тренд выражает тенденцию замедляющегося снижения уровней и при  ;

- если  , то с течением времени, уровни тренда возрастают и стремятся к величине   при 

 
Степенные тренды используются, когда данные состоят из результатов измерений, значения которых плавно увеличиваются с нарастающей скоростью. При этом данные не могут содержать нулевых и отрицательных значений.

Полиномиальный тренд описывает данные, плавно изменяющиеся в разных направлениях. При использовании полиномиального тренда пользователю всегда необходимо задать порядок полинома.