Эквивалентность процентных ставок различного типа

4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ  ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК РАЗЛИЧНОГО  ТИПА

Определение 4.1. Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки различного вида, применение которых при одинаковых начальных данных дают одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда возникает возможность  выбора в условиях финансовой операции и требуется инструмент для корректного  сравнения различных процентных ставок.

Необходимо заметить:

что эквивалентность  простых процентных ставок никогда  не зависит от величины первоначальной суммы PV;

эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительности  периода начисления, за исключением  случая эквивалентности между собой сложных процентных ставок различного вида (если период начисления один и тот же).

Ранее нами были введены  следующие обозначения:

r – простая годовая ставка ссудного процента;

d – простая годовая учетная ставка;

r_c – сложная годовая ставка ссудного процента;

d_c – сложная годовая учетная ставка;

j – номинальная ставка ссудного процента;

f – номинальная учетная ставка.

Замечание.  j и f используют, когда начисление процентов происходит не по годам,  а раз в квартал, месяц, полугодие.

Запишем все известные формулы для определения наращенной суммы:

 

для r        (4.1)

для  d        (4.2)

для  r_c        (4.3)

для  d_c        (4.4)

для  j       (4.5)

для  f       (4.6)

Приравнивая эти формулы  попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различными ставками. Рассмотрим некоторые из этих случаев.

 

4.1. Эквивалентность  простых годовых ставок ссудного  процента r и учетной ставки d

 

Приравнивая формулы (4.1) и (4.2) получим

.

Следовательно

.

Отсюда

 и  .     (4.1.1)

 

Пример 1. Срок уплаты по долговому обязательству полгода. Учетная ставка равняется 18%. Какая будет доходность этой операции, измеренная в виде простой ставки ссудного процента.

Решение. Воспользуемся формулами (4.1.1)

Ответ. Доходность операции, измеренная в виде простой ставки ссудного процента составит r=19,8 %.

 

4.2. Эквивалентность  простой и сложной годовых  ставок ссудного процента

 

Из формул (4.1) и (4.3) получим

,

,

.

 

Пример 1. В условиях примера 1 пункта 4.1  найти r_c.

Решение. Простая ставка ссудного процента из примера 1 предыдущего пункта равна r=19,8%.Воспользуемся  полученными формулами: .

Ответ. Доходность операции, измеренная в виде сложной ставки ссудного процента составит r_с=20,8 %.

 

 

4.3. Эквивалентность  простой годовой и номинальной  ставок ссудного процента

 

Из формул (4.1) и (4.5) получим

,

,    (4.3.1)

.

 

Пример 1. Определить, под какую процентную ставку выгоднее поместить капитал в 10 000 000  денежных единиц на 5 лет:

а) под простую в 30 % годовых;

б) под сложную процентную ставку в 25 % годовых с ежеквартальным начислением.

Решение. Воспользуемся формулой (4.3.1)

а) (ден. ед.);

б) (ден. ед.);

Ответ. Выгоднее использовать сложную процентную ставку.

 

4.4. Эквивалентность  ссудного процента и учетной  ставки

 

Из формул (4.3) и (4.4) получим

,

,

.

 

Пример 1. Определить какой вклад более выгоден клиенту, если существует несколько возможностей размещения денежных средств  на 5 лет  с  начислением

а) под 30%  сложного ссудного процента;

б) под  25% сложной учетной ставки.

Решение. По условиям задачи r_c=30 %  и  d_c=25 %. Воспользуемся полученными формулами. 

Итак, ставка сложного ссудного процента, эквивалентная сложной  учетной ставке, должна равняться 33 %. В нашем же случае r_c=30%. На самом деле  в случае а FV(r_c)=37 129 300 ,  в случае б FV(d_c)=42 139 917,7.

Ответ. Для клиента более выгодно разместить денежные средства под 25% сложной учетной ставки.

 

4.5. Эквивалентность  сложной годовой и номинальной  ставок ссудного процента

 

Из формул (4.3) и (4.5) получим

,

 

– эффективная процентная ставка ссудного процента.

.

 

4.6. Эквивалентность двух номинальных ставок ссудного процента

 

Две номинальные ставки ссудного процента j₁ и j₂ (с числом капитализаций процента в году m₁ и m₂, соответственно) называются эквивалентными, если при одном и том же начальном капитале они обеспечивают одинаковое количество процентных денег за равные промежутки времени.

Очевидно, что при конечных m₁ и m₂ условие эквивалентности номинальных ставок ссудного процента j₁ и j₂  запишется следующим образом:

,     (4.6.1)

а в случае, если ,  условие эквивалентности имеет вид:

.     (4.6.2)

Пример 1. Пусть номинальная годовая ставка ссудного процента  равна 12% с периодом капитализации процента в году – квартал. Найти эквивалентную ей номинальную годовую процентную ставку ссудного процента  с периодом капитализации процента, равным: 1) полугодию; 2) месяцу; 3) с непрерывной капитализацией процента.

Решение. Итак, j₁=12 %, m₁=4.

1. m₂=2. Определим j₂ из уравнения (4.6.1):

2) m₂=12.  

3) . Определим j₂  из уравнения (4.6.2):

.

Ответ. Эквивалентная  номинальная годовая процентная ставка ссудного процента в первом случае равна 12,18 %, во втором случае – 11,88 %, в третьем случае 11,82 %.

Пример 2. Пусть номинальная ставка j₁  равна 20 % с периодом капитализации процента в году – квартал. Найти эквивалентную ей номинальную ставку  j₂ с периодом капитализации процента, равным: 1) полугодию; 2) месяцу.

Решение.   Воспользуемся формулой (4.6.1):

, отсюда  .

1) ;

2) .

 

Ответ. Эквивалентная  номинальная ставка  в первом случае будет равна 20,5%, во втором случае 20,4 %.

4.7. Упражнения

Упражнение 1. Заемщик обязался выплатить  50 000 денежных единиц в течение 1,5 года, взятые под 18 % годовых простой учетной ставки. Какова будет доходность операции, измеренной в виде простой ставки ссудного процента?

Упражнение 2. Клиенту предложено два варианта размещения капитала в 500 000 денежных единиц: а) под простую процентную ставку 18% годовых;

б) под сложную процентную ставку  20 % с полугодовым начислением процентов.