Создание геодезических сетей специального назначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2 Поправка за  центрировку и редукцию

Для приведения направлений  к центрам пунктов вычисляют  поправки в направления за центрировку  и редукцию, используя значения угловых  и линейных элементов приведения (см. таблицу 1). Выражение для этих поправок получают из следующих соображений.

Поправка  “за центрировку”

                                    C – центр пункта O;

                                                J – проекция вертикальной

                                              оси теодолита на пункт O;

                                     l – линейный элемент

                        центрировки;

                                                          θ – угловой элемент центрировки.

 

 

Рис. 2. Схема определения  поправка за центрировку

 

Если направление JQ считать начальным, то измеренное направление на пункт P выразится измеренным на пункте углом M_p между начальным направлением на пункт Q и направлением JP.

Приведенное направление CP, выражаемое углом между начальным направлением CQ и CP, будет равно M_p + c_p. Величина c_p является поправкой в измеренное направление JP за центрировку.

Из треугольника JCP на основе синусов можно записать:

sin c_p = l sin (θ + M_p)/D.

Ввиду малости угла c_p можно принять sin c_p ≈ c″_р / ρ″.

Тогда для любого направления:

с″ =  (l sin (θ + M_p)/D)* ρ″.

Знак поправки c″ определяется знаком sin (θ + M); при (θ + M)<180˚ c″ будет положительной «+», при (θ + M)>180˚ - отрицательной «-».

Поправки, вычисленные по элементам центрировки данного  пункта, вводят в направления, измеренные с этого пункта на все наблюдаемые  пункты, включая и начальное направление. Поскольку для начального направления M=0, то для него

с″ =  (l sin θ / D)* ρ″.

Поправка  “за редукцию”

                                                           V – проекция визирного цилиндра

                 пункта О;

                                C – центр пункта O;

                                                     l₁ – линейный элемент редукции;

                                               θ₁ – угловой элемент редукции.

 

Рис. 3. Схема определения  поправки за редукцию

При наблюдениях с пункта Р на пункт О визирование производят на визированный цилиндр V, проекция которого не совпадает с центром пункта С.

Пусть на пункте О измерено направление  М_р на пункт Р. Из – за малости l₁ и большого расстояния D можно принять  ∟PVQ  M_p. Тогда из треугольника PVC имеет:

sin r₀ = l₁ sin (θ₁ + M_p)/D,

или для любого направления:

r″ =  (l₁ sin (θ₁ + M)/D)* ρ″.

Следует учесть, что в  отличие от поправок за центрировку поправки за редукцию, вычисленные по элементам l_1, θ₁, M_i пункта, вводятся в направления, измеренные с окружающих пунктов на данный пункт.

Результаты вычисления поправок за центрировку и редукцию приведены  в таблице 4.

Пункт О

l = 0,044 м Ө = 18˚ 00′ на пункт Q

M + Ө_Q = 18˚ 00′

M + Ө_P1 = 90˚ 36′ + 18˚ 00′ = 108˚ 36′

M + Ө_P2 = 18˚ 00′ + 113˚ 55′ = 131˚ 55′

M + Ө_P3 = 18˚ 00′ + 139˚ 05′ = 157˚ 05′

M + Ө_P4 = 18˚ 00′ + 71˚ 34′ = 89˚ 34′

с″ =  (l sin (θ + M)/D)* ρ″

c″_Q = ((0,044* 0,30902)/919) * 206˚ 265″ = +3,1

c″_P1 = ((0,044* 0,94777)/1427) * 206˚ 265″ = +6,0

c″_P2 = ((0,044* 0,74412)/1308) * 206˚ 265″ = +5,2

c″_P3 = ((0,044* 0,38939)/1288) * 206˚ 265″ = +2,7

c″_P4 = ((0,044* 0,99997)/1863) * 206˚ 265″ = +4,9

 

l₁ = 0,030 м Ө₁ = 203˚ 45′ на пункт Q

M + Ө_1Q = 203˚ 45′

M + Ө_1P1 = 203˚ 45′ + 90˚ 36′ = 294˚ 21′

M + Ө_1P2 = 203˚ 45′ + 113˚ 55′ = 317˚ 40′

M + Ө_1P3 = 203˚ 45′ + 139˚ 05′ = 339˚ 50′

M + Ө_1P4 = 203˚ 45′ + 71˚ 34′ = 275˚ 19′

r″ = (l sin (θ₁ + M)/D)* ρ″

r″_Q = ((0,030 * (-0,40275)/919))* 206˚ 265″ = -2,7

r″_P1 = ((0,030 * (-0,91104)/1427)) * 206˚ 265″ = -3,9

r″_P2 = ((0,030 * (-0,67344)/1308)) * 206˚ 265″ = -3,2

r″_P3 = ((0,030 * (-0,29515)/1288)) * 206˚ 265″ = -1,4

r″_P4 = ((0,030 * (-0,99569)/1863)) * 206˚ 265″ = -3,3

Пункт Q

l = 0,044 м Ө = 139˚ 45′ на пункт P₁

M + Ө_P1 = 139˚ 45′

M + Ө_O = 139˚ 45′ + 56˚ 48′ = 196˚ 33′

M + Ө_P4 = 139˚ 45′ + 128˚ 56′ = 268˚ 41′

c″_P1 = ((0,044* 0,64612)/1706) * 206˚ 265″ = +3,4

c″_O = ((0,044* (-0,28485))/919) * 206˚ 265″ = -2,8

c″_P4 = ((0,044* (-0,99998))/1927) * 206˚ 265″ = -4,7

l₁ = 0,049 м Ө₁ = 316˚ 15′ на пункт P₁

M + Ө_1P1 = 316˚ 15′

M + Ө_1O = (316˚ 15′ + 56˚ 48′) - 360˚ 00′ = 13˚ 03′

M + Ө_1P4 = (316˚ 15′ + 128˚ 34′) - 360˚ 00′ = 85˚ 11′

r″_P1 = ((0,049 * (-0,69151))/1706) * 206˚ 265″ = -4,1

r″_O = ((0,049 * 0,22580)/919))* 206˚ 265″ = +2,5

r″_P4 = ((0,049 * 0,99647)/1927)) * 206˚ 265″ = +5,2

 

 

 

 

Вычисление  поправок “за центрировку” и “за  редукцию”

Название пункта	Измеренные направления М		M + Ө M + Ө1		sin (M + Ө) sin (M + Ө1)	Длина стороны D, м	c″	r″
	˚	′	˚	′
Пункт О l = 0,044 м Ө = 18˚ 00′ на пункт Q
Q	0	00	18	00	+0,30902	919	+3,1
P1	90	36	108	36	+0,94777	1427	+0,6
P2	113	55	131	55	+0,74412	1308	+5,2
P3	139	05	157	05	+0,38939	1288	+2,7
P4	71	34	89	34	+0,99997	1863	+4,9
l1 = 0,030 м Ө1 = 203˚ 45′ на пункт Q
Q	0	00	203	45	-0,40275	919		-2,7
P1	90	36	294	21	-0,91104	1427		-3,9
P2	113	55	317	40	-0,67344	1308		-3,2
P3	139	05	342	50	-0,29525	1288		-1,4
P4	71	34	275	19	-0,99569	1863		-3,3
Пункт Q l = 0,044 м Ө = 139˚ 45′ на пункт P1
P1	0	00	139	45	+0,64612	1706	+3,4
O	56	48	196	33	-0,28485	919	-2,8
P4	128	56	268	41	-0,9998	1927	-4,7
l1 = 0,049 м Ө1 = 316˚ 15′ на пункт P1
P1	0	00	316	15	-0,69151	1706		-4,1
O	56	48	13	03	+0,22580	919		+2,5
P4	128	56	85	11	+0,99647	1927		+2,5

 

                                                                                             Таблица 4 

 

 

 

 

 

4.3 Приведение  измеренных направлений к центрам  пунктов и оценка качества  измерений

В каждое измеренное направление вводят суммарную поправку за центрировку и редукцию.

Для каждого направления  берут свои значения с и r.

Для того чтобы начальное  направление оставалось нулевым, т. е. 0°00′ 00″ , все поправки за центрировку и редукцию до их введения в направления преобразуют по формуле:

(c+r)_iпр = (c+r)_l -(c + r)₀

где 1=1,2,.... п — номер направления.

После введения преобразованных  поправок получают направления, приведенные  к центрам пунктов (таблица 5).

Приведенные направления  выписывают на схему сети и вычисляют  углы в треугольниках как разности соответствующих приведенных направлений. Полученные данные используют в дальнейшем при уравнивании сети.

В каждом треугольнике сумму  углов Σβи угловую невязку:

W = f β = Σβ – 180˚ 00′

W₁ = (32˚ 35′ 50″ + 90˚ 36′ 26″ + 56˚ 47′ 40″) – 180˚ 00′ = - 4″

W₂ = (53˚ 53′ 53″ + 61˚ 51′ 56″ + 64˚ 14′ 00″) – 180˚ 00′ = - 11″

W₃ = (52˚ 03′ 00″ + 53˚ 14′ 08″ + 74˚ 42′ 57″) – 180˚ 00′ = + 5″

W₄ = (50˚ 35′ 13″+ 85˚ 50′ 33″ + 43˚ 34′ 09″) – 180˚ 00′ = - 5″

W₅ = (72˚ 07′ 58″ + 79˚ 51′ 24″ + 28˚ 00′ 08″) – 180˚ 00′ = - 21″

Для триангуляции 2-го разряда  допустимая угловая невязка в  треугольнике W = 40".

По невязкам в треугольниках  вычисляют среднюю квадратическую погрешность измерения угла по формуле  Ферреро:

 

где N - число треугольников  сети.

 

 

Полученное значение < 10", следовательно, качество угловых измерений отвеечает требованиям, предъявляемым к сетям триангуляции      2-го разряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление  направлений, приведенных к центрам  пунктов

Пункты	Наб. пункты	Измеренные направления			Поправки за приведение				Приведенные к центрам  направления
		˚	′	″	c″	r″	(c″+r″)	(c″+r″) – (c″+r″)0	˚	′	″
P1	P2	0	00	00	0,0	0,0	0,0	0,0	0	00	00
	O	53	53	57	0,0	-3,9	-3,9	-3,9	53	53	53
	Q	86	29	47	0,0	-4,1	-4,1	-4,1	86	29	43
P2	P3	0	00	00	0,0	0,0	0,0	0,0	0	00	00
	O	52	03	00	0,0	-3,2	-3,2	-3,2	52	02	57
	P1	113	54	56	0,0	0,0	0,0	0,0	113	54	56
P3	P4	0	00	00	0,0	0,0	0,0	0,0	0	00	00
	O	85	50	36	0,0	-1,4	-1,4	-1,4	85	50	35
	P2	139	04	43	0,0	0,0	0,0	0,0	139	04	43
P4	Q	0	00	00	0,0	+5,2	+5,2	0,0	0	00	00
	O	28	00	09	0,0	-3,3	-3,3	+8,5	28	00	18
	P3	71	34	23	0,0	0,0	0,0	+5,2	71	34	27
Q	P1	0	00	00	+3,4	0,0	+3,4	0,0	0	00	00
	O	56	47	49	-2,8	-2,7	-5,5	+8,9	56	47	58
	P4	128	55	48	-4,7	0,0	-4,7	-8,1	128	55	31
O	Q	0	00	00	+3,1	+2,5	+5,6	0,0	0	00	00
	P1	90	36	26	+6,0	0,0	+6,0	-0,4	90	36	26
	P2	154	50	26	+5,2	0,0	+5,2	+0,4	154	50	26
	P3	229	33	20	+2,7	0,0	+2,7	+2,9	229	33	23
	P4	280	08	35	+4,9	0,0	+4,9	+0,7	280	08	36

                      Таблица 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.4 Упрощенное  уравнение углов центральной  системы

В рассматриваемой типовой фигуре триангуляции имеет место пять условных уравнений фигур (треугольников), одно условное уравнение горизонта и  одно полюсное условие. В соответствии с принципом упрощенного уравнивания  отнесем в первую группу пять условных уравнений фигур и условие  горизонта (так как коэффициенты при поправках в этих уравнениях равны +1), а во вторую группу — полюсное условие. Составив и решив нормальные уравнения коррелат (для первой группы уравнений) и подставив их в коррелатные  уравнения поправок, находят первичные  поправки в измеренные углы:

(υ_i^A)′_I = (υ_i^B)′_I = (υ_i^C)′_I = -

(υ_i^C)′_II = - ; (υ_i^A)′_II = (υ_i^B)′_II = - υ_i^C)′_II;

(υ_i^A)′ = (υ_i^A)′_I + (υ_i^A)′_II; (υ_i^B)′ = (υ_i^B)′_I + (υ_i^A)′_II;

(υ_i^C)′ = (υ_i^C)′_I + (υ_i^C)′_II

 

где  (υ_i^A)′; (υ_i^B)′; (υ_i^C)′ - первичные поправки в углы;

i - номер треугольника (i - 1,2, ..., 5);

W_i = А_i+ В_i + С_i -180° — невязки в треугольниках;

          W'_Г    ⁼  -   невязка условия горизонта, вычисляемая   по

центральным углам С_i, исправленных за условие фигуры в каждом треугольнике.

В таблице 6 приведено упрощенное уравнивание углов в центральной  системе.

 Таким образом, первичная  поправка состоит из двух частей: сначала вычисляют поправку в каждый угол треугольника, равную , затем по центральным углам С_i, исправленных поправкой, находят новую невязку условия горизонта W'_Г которую поровну распределяют с противоположным знаком на все центральные углы.

Введя в измеренные углы поправки (υ_i)′ получают первично исправленные углы.

Упрощенное  уравнивание углов в центральной  системе

№ треуг.	№ угла	Приведен. углы			Первичные поправки			Первично исправл. углы			Вторичные поправки	Уравненные углы
		˚	′	″	(υi)′I	(υi)′II	(υi)′	˚	′	″	″	˚	′	″
1	2	32	35	50	0	+1	+1	32	35	51	- 1	32	35	50
	3	90	36	26	+2	+1	+3	90	36	29		90	36	29
	1	56	47	40	+2	-2	0	56	47	40	+1	56	47	41
	Σ	179	59	56	+4	0	+4	180	00	00		180	00	00
2	3	61	51	56	+3	-2	+1	61	51	57	0	61	51	57
	6	64	14	00	+4	+1	+5	64	14	05		64	14	05
	4	53	53	53	+4	+1	+5	53	53	58	0	53	53	58
	Σ	179	59	49	+11	0	+11	180	00	00		180	00	00
3	8	53	14	08	-2	+2	0	53	14	08	0	53	14	08
	9	74	42	57	-2	-1	-3	74	42	54		74	42	54
	7	52	03	00	-1	-1	-2	52	02	58	0	52	02	58
	Σ	180	00	05	-5	0	-5	180	00	00		180	00	00
4	11	43	34	09	+2	-1	+1	43	34	10	0	43	34	10
	12	50	35	13	+2	-1	+1	50	35	14		50	35	14
	10	85	50	33	+1	+2	+3	85	50	36	0	85	50	36
	Σ	179	59	55	+5	0	+5	180	00	00		180	00	00
5	14	72	07	58	+7	-3	+4	72	08	02	-1	72	08	01
	15	79	51	24	+7	+2	+9	79	51	33		79	51	33
	13	28	00	17	+7	+1	+8	28	00	25	+1	28	00	26
	Σ	179	59	39	+21	0	+21	180	00	00		180	00	00

                   Таблица 6

Вычисление  первичных поправок за условие горизонта

Номер угла	i + i'I			(υi)′II
	˚	′	″
3	90	36	26	-3
6	64	14	02	-3
9	74	42	51	-3
12	50	35	11	-3
15	79	51	30	-3
Σ	360	00	00	-15

          Таблица 7

W'_I = - 9″

W'_{Г доп} = 2,5 m_p = 2,5 * 15″

Введя первично исправленные углы находим уравненные значения углов (таблица 8), по которым производим окончательное решение треугольников. Контроль вычислений заключается в сравнении вычисленного значения стороны ОQ с исходным (допуск 3-4 см).

Окончательное решение треугольников

Номер треугольника	Номер угла	Угол			Синус угла	Длина стороны, м
		˚	′	″
1	2 3 1	32	35	50	0,538729	919,18
		90	36	29	0,999945	1706,10
		56	48	41	0,836873	1427,64
		180	00	00
2	5 6 4	61	51	57	0,881846	1427,64
		64	14	05	0,900582	1457,96
		53	54	58	0,808155	1308,06
		180	00	00
3	8 9 7	53	14	08	0,801103	1308,06
		74	43	54	0,964703	1575,07
		52	03	58	0,788721	1287,56
		180	00	00
4	11 12 10	43	34	10	0,689233	1287,56
		50	35	14	0,772592	1443,26
		85	50	36	<td class="gen727992"