Задачи по "Экономико-математическому моделированию"

 

 

Значения v_ij  и  u_ij     найдем из неравенства    v_ij  =  u_ij  +   c_ij (в заполненных клетках). Оценим оптимальность распределения для всех клеток (i;j) матрицы перевозок, определив их оценки d_ij

d_ij = ( u_ij  +   c_ij ) - v_ij  . Условие оптимальности есть условие неотрицательности оценок свободных клеток  матрицы.

 

d₂₁ =(5+14)-10=9  d₂₃ =(5+9)-11=3  d₁₅ =(0+40)-20=20 

d₁₂ =(0+12)-8=4  d₃₃ =(2+12)-11=3  d₃₅=(2+20)-20=2 

d₂₂ =(5+8)-8=5  d₁₄ =(0+20)-16=4  

 

,  все оценки  d_ij≥0

Полученный опорный  план является оптимальным.

Суммарные затраты на реализацию плана перевозок  составят 10220.

 

 

 

 

Задание 5

Номер показателя Y(t) (номер варианта)	Номер наблюдения (t = 1,2, …, 10)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	34	36	41	43	46	48	51	53	54	57

 

 

Требуется:

1. сгладить Y(t) с помощью простой скользящей средней;
2. определить наличие тренда Y(t);
3. построить линейную модель , параметры которой оценить МНК;
4. построить адаптивную модель Брауна Y_pасч(t,k)=A₀(t) + A₁(t)k, где k – период упреждения (количество шагов вперед) с параметром сглаживания и ; выбрать лучшее значение
5. оценить адекватность построенных моделей на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (Дарбина – Уотсона) (в качестве критических используйте уровни d₁ = 1,08 и d₂ = 1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7;
• для оценки точности модели используйте квадратическое отклонение и среднюю по модулю ошибку;

6. построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед для вероятности Р = 80% по двум построенным моделям.

Отобразить на графиках фактические данные, результаты расчетов (1, 3, 4, 6) и прогнозирования по всем моделям.

Вычисления провести с двумя  знаками в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.

 

                               

5.1. Метод простой скользящей  средней

Для вычисления уровней  ряда применяется формула:

  , где t>p,  p=(m-1)/2, m – интервал сглаживания.

Таблица 1

(Yt)	t		g
34	1
36	2	111	37,00
41	3	120	40,00
43	4	130	43,33
46	5	137	45,67
48	6	145	48,33
51	7	152	50,67
53	8	158	52,67
54	9	164	54,67
57	10	111	37,00

 

 

Рис.1 Выравнивание по простой скользящей средней

 

5.2. Метод Фостера-Стьюарта

 

 

t=2, 3, …, n

 

  

 

    ,

 

 - табулированные значения в таблице при n=10. Если t_табл >t_s или tтабл>t_d , то принимается гипотзеа об отсутствии соответствующего тренда.

 

 

Таблица 2

t	(Yt)	kt	lt	kt+lt	kt-lt
1	34
2	36	1	0	1	1
3	41	1	0	1	1
4	43	1	0	1	1
5	46	1	0	1	1
6	48	1	0	1	1
7	51	1	0	1	1
8	53	1	0	1	1
9	54	1	0	1	1
10	57	1	0	1	1
				9	9

 

n	10	t табличное для вероятности  95% =2,36
μ	3,858
δ1	1,288	ts=	3,99	>	2,36
δ2	1,964	td=	4,58	>	2,36

 

Для данного временного ряда  имеется тренд в среднем и тренд дисперсий уровня ряда.

5.3. Линейная модель Y_p(t)=a₀+a₁*t

;  .

Таблица 3

t	(Yt)	t*(Yt)	t^2	(Yt-Yср)	(t-tср)	(t-tср)^2	(Yt-Yср) *(t-tср)	Y	e=(Yt-Y)	e^2	|e|/Yt* 100%	(et-e(t-1))^2
1	34	34	1	-12,30	-4,50	20,25	55,35	34,87	-0,87	0,76	2,57
2	36	72	4	-10,30	-3,50	12,25	36,05	37,41	-1,41	1,99	3,92	0,29
3	41	123	9	-5,30	-2,50	6,25	13,25	39,95	1,05	1,10	2,56	6,05
4	43	172	16	-3,30	-1,50	2,25	4,95	42,49	0,51	0,26	1,18	0,29
5	46	230	25	-0,30	-0,50	0,25	0,15	45,03	0,97	0,94	2,11	0,21
6	48	288	36	1,70	0,50	0,25	0,85	47,57	0,43	0,19	0,90	0,29
7	51	357	49	4,70	1,50	2,25	7,05	50,11	0,89	0,79	1,75	0,21
8	53	424	64	6,70	2,50	6,25	16,75	52,65	0,35	0,12	0,66	0,29
9	54	486	81	7,70	3,50	12,25	26,95	55,19	-1,19	1,41	2,20	2,37
10	57	570	100	10,70	4,50	20,25	48,15	57,73	-0,73	0,53	1,28	0,21
55	463	2756	385			82,50	209,50	463,00		8,10	19,12	10,22
5,50	46,30	275,60	38,50								1,91
a0=	32,33		a1=	2,54

 

5.4. Адаптивная модель  Брауна Y_pасч(t,k)=А₀+А₁(t,k), где k- период упреждения (количество шагов вперед) с параметром сглаживания α

а) начальные А₀,  А₁ находят по первым пяти точкам временного ряда с помощью МНК для линейной аппроксимации: Y_p(t)=А₀+А₁*t (t=1,2,3..,5).

Таблица 4

t	(Yt)	(t-tcp)*    (t-tcp)	(Yt-Yср)	(t-tcp)	(t-tcp)* (Yt-Ycp)
1	34	4	-6,00	-4,5	27,00
2	36	1	-4,00	-3,5	14,00
3	41	0	1,00	-2,5	-2,50
4	43	1	3,00	-1,5	-4,50
5	46	4	6,00	-0,5	-3,00
15	200	10	0	-12,5	31,00
3	40
		A1=	3,10	A0=	30,70

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) С использованием параметров А₀,  А₁ по модели Брауна находим прогноз на один шаг (k=1), Y_p(t,k)=А₀(t)+А₁(t)k.

в) Расчетное значение Y_p(t,k) экономического показателя сравнивают с фактическим Y(t) и вычисляется величина  их расхождения (ошибки). При k=1 имеем:  е(t+1)=Y(t+1) – Y_p(t,1).

г) В соответствии с  этой величиной корректируются параметры  модели.

A₀(t)=A₀(t-1) + A₁(t-1) + (1-b)²e(t);      A₁(t)=A₁(t-1) + (1-b)²e(t),

где b - коэффициент дисконтирования данных, изменяющийся в пределах от 0 до 1 (α+b)=1,

e(t) – ошибка прогнозирования уровня Y(t), вычисленная в момент времени (t-1) на один шаг вперед.

д) По модели со скорректированными параметрами А₀ и А₁ находят прогноз на следующий момент времени. Возврат на пункт в) , если t<N.

Если t=N, то построенная модель может использоваться для прогнозирования.

 

 

Таблица 5 (k=1, α=0,4)

t	(Yt)	A0	A1	Yp(t)	e(t)	e(t)^2	(et-e(t-1))^2	|e|/Yt*100%
0		30,70	3,10
1	34	33,83	3,13	33,80	0,20	0,04		0,59
2	36	36,81	2,98	36,96	-0,96	0,93	1,355	2,68
3	41	39,98	3,17	39,79	1,21	1,47	4,737	2,96
4	43	43,13	3,15	43,15	-0,15	0,02	1,865	0,36
5	46	46,23	3,10	46,28	-0,28	0,08	0,015	0,60
6	48	49,12	2,89	49,33	-1,33	1,78	1,121	2,78
7	51	51,85	2,73	52,01	-1,01	1,02	0,105	1,98
8	53	54,32	2,48	54,58	-1,58	2,49	0,320	2,98
9	54	56,35	2,03	56,80	-2,80	7,84	1,496	5,19
10	57	58,16	1,81	58,38	-1,38	1,90	2,018	2,42
11				59,97
12				61,77
Итого(1:10)						17,57	13,033	22,52
								2,25