Задача на тему "Инвестиции"

1.23. Задача об инвестициях.

Инвести́ции — долгосрочные вложения капитала с целью получения прибыли. Инвестиции являются неотъемлемой частью современной экономики. От кредитов инвестиции отличаются степенью риска для инвестора (кредитора) — кредит и проценты необходимо возвращать в оговорённые сроки независимо от прибыльности проекта, инвестиции возвращаются и приносят доход только в прибыльных проектах. Если проект убыточен — инвестиции могут быть утрачены полностью или частично.

Рассмотрим общую задачу об инвестициях.

Инвестор выделяет средства в размере D условных единиц, которые должны быть распределены между m -предприятиями. Каждое i -е предприятие при инвестировании в него средств x приносит прибыль ϕ i (x) усл. ед., i =1,m. Нужно выбрать оптимальное распределение инвестиций между предприятиями, обеспечивающее максимальную прибыль.

Выигрышем W данной задаче является прибыль, приносимая m -предприятиями.

Построение математической модели.

1. Определение числа шагов.  Число шагов m равно числу предприятий, в которые осуществляется инвестирование.

2. Определение состояний  системы. Состояние системы на  каждом шаге характеризуется количеством средств s , имеющихся в наличии перед данным шагом, s ≤ D.

3. Выбор шаговых управлений. Управлением на i -м шаге xi, i =1,m является количество средств, инвестируемых в i -е предприятие.

4. Функция выигрыша на  i -м шаге ϕi(x) - это прибыль, которую приносит i -е предприятие при инвестировании в него средств xi.

W =Σ ϕi*x i,

следовательно, данная задача может быть решена методом динамического программирования.

5. Определение функции  перехода в новое состояние.

f i (s, x) = s−x    

Таким образом, если на i -м шаге система находилась в состоянии s, а выбрано управление х, то на i +1-м шаге система будет находиться в состоянии s − x . Другими словами, если в наличии имеются средства в размере s усл. ед., и в i -е предприятие инвестируется х усл. ед., то для дальнейшего инвестирования остается s − x усл. ед.

6. Составление функционального  уравнения для i=m.

Wm(s) =ϕm(s) ,

xm (s) = s

На последнем шаге, т.е. перед инвестированием средств в последнее предприятие, условное оптимальное управление соответствует количеству средств, имеющихся в наличии; т.е. сколько средств осталось, столько и надо вложить в последнее предприятие. Условный оптимальный выигрыш равен доходу, приносимому последним предприятием.

7. Составление основного  функционального уравнения. Подставив  в формулу

xm (s) = s выражения ϕi(x) и fi(s, x) = s−x, получаем следующее функциональное уравнение

Wi(s)=max{ϕi (x) + Wi+1 (s−x)}

                            x ≤ s

   Поясним данное  уравнение. Пусть перед i -м шагом у инвестора остались средства в размере s ycл. ед. Тогда х усл. ед. он может вложить в i –e предприятие, при этом оно принесет доход ϕi(x), а оставшиеся s − x усл. ед.– в остальные предприятия с i +1-го до m-го. Условный оптимальный выигрыш от такого вложения Wi+1 (s−x). Оптимальным будет то условное управление х, при котором сумма ϕi(x) и Wi+1 (s−x) максимальна.

Задание 2.9.

При производстве двух видов  продукции используется четыре типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производстве единицы продукции, общий объем каждого ресурса приведены ниже.

Таблица 1 – Данные задания 2.9.

Ресурсы	Норма затрат ресурсов на товары		Общее количество ресурсов
	1-го вида	2-го вида
1	2	2	12
2	1	2	8
3	4	0	16
4	0	4	12

 

Прибыль от реализации одной  единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго – 3 ден. ед.

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска  продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от её реализации.

Построить экономико-математическую модель, дать необходимые комментарии к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Пусть х1 – количество продукции первого вида, х2- количество продукции второго вида.

Целевая функция стремится  к максимуму (т.к. необходимо получить максимальную прибыль) и выглядит следующим образом:

2*х1+3*х1 max (т.к. цена одной единицы продукции первого вида 2 ден. ед., а второго – 3 ден. ед.)

Запишем ограничения:

2*х1+2*х2<=12 (т.к. на производство продукции первого вида необходимо 2 ед ресурса 1, второго – 2 ед, всего 12 ед ресурса 1)

1*x1+2*x2<=8(т.к. на производство продукции первого вида необходимо 1ед ресурса 2, второго – 2 ед, всего 8ед ресурса 2)

4*x1+0*x2<=16(т.к. на производство продукции первого вида необходимо 4ед ресурса 3, второго – 0ед, всего 16ед ресурса 3)

0*x1+4*x2<=12(т.к. на производство продукции первого вида необходимо 0ед ресурса 4, второго – 2 ед, всего 12 ед ресурса 4)

Где х1,х2 >=0

Решение задачи графическим  методом:

Пусть х1 – количество продукции первого вида, х2- количество продукции второго вида.

Целевая функция:2*х1+3*х1 max

Запишем ограничения:

2*х1+2*х2<=12

1*x1+2*x2<=8

4*x1 <=16

+4*x2<=12

Где х1,х2 >=0

Первое ограничение: 2*х1+2*х2<=12

Прямая 2*х1+2*х2=12 проходит через точки (6;0) и (0;6).

Второе ограничение: 1*x1+2*x2<=8

Прямая1*x1+2*x2=8 проходит через точки (8;0) и (0;4)

Третье ограничение: 4*x1 <=16

Решением неравенства  является полуплоскость лежащая  ниже прямой х1=4

Четвертое ограничение: 4*x2<=12

Решением неравенства  является полуплоскость лежащая  ниже прямой х2=3

Рис.1. Область допустимых решений.

Для определения направления  движения к оптимуму необходимо построить  вектор-градиент, координатами которого являются коэффициенты целевой функции 2*x1+3*x2, то есть (2;3). Чтобы построить вектор-градиент необходимо соединить точку (2;3) с началом координат – точкой (0;0) (рис. 1).

При максимизации целевой  функции необходимо двигаться в  направлении вектора-градиента. Максимум достигается в точке С, являющейся точкой пересечения прямых x1+2*x2=8 и 2*x1+2*x2=12.

Координаты точки C определяются следующим образом:

х1+2*х2=8 2*х1+2*х2=12

х1=8-2*х2 2*(8-2*х2)+2*х2=12

х1=8-2*х2 -2*х2=-4

х1=8-2*х2 х2=2

х1=4 х2=2

Точка С имеет координаты (4;2).

Таким образом, целевая функция  в данной задаче линейного программирования принимает максимальное значение при  х1=4, и х2=2, равное 2*4+3*2=14.

Вывод: Производственная программа  выпуска продукции должна включать четыре единицы продукции первого вида и две единицы продукции второго вида для обеспечения максимальной прибыли от ее реализации равной 14 ден. ед.

При минимизации целевой  функции необходимо двигаться в  направлении, противоположном направлению вектора-градиента.

Предельной точкой при  таком движении является точка О. Поскольку координаты точки О равны х1=0 и х2=0, то минимум целевой функции равен 0.

Для проверки правильности решения задачи графическим методом воспользуемся программой MSExcel. Заводим все необходимые данные в таблицу (рис. 2).

Рис. 2. Необходимые данные для решения задачи.

В «Поиск решения» вводим, целевую  функцию, переменные, ограничения (рис. 3).

Рис. 3. Поиск решения.

После нажатия кнопки «Найти решение», получили результата (рис. 4):

Рис. 4. Результат задачи.

Чтобы получить максимальную прибыль нам необходимо произвести 4 единицы товара 1-го вида и 2 единицы  товара 2-го вида, чтобы получить прибыль  в 14 ден. ед.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4.9.

Затраты на заказ партии посуды равны 200 руб., затраты на хранение продукции 10 руб. в сутки, интенсивность  потребления товара 5 шт. в день, цена товара 120 руб. за штуку. Определите оптимальный  размер заказа, цену покупки и совокупные затраты на заказ и хранения. Постройте  график циклов изменения запаса товаров.

Решение:

Одной из основных моделей  управления запасами является модель экономически выгодных размеров заказываемых партий, на основе которой получена формула Уилсона (Qопт=√(2К*М/h))

М=10 руб/сут (затраты на хранение), К=200 руб (затраты на заказ), h=5шт/сут (интенсивность потребления), С=120 руб/шт (цена товара)

Оптимальный размер заказа:

Qопт=√(2К*М/h)=√(2*200*10/5)≈28,28 шт

Длительность цикла:

Т=С/М=120/10=12 сут

Цена покупки:

Р= Qопт*С=28,28*120=3393,6 руб

Совокупные затраты:

Z(Q)=(K*M)/Q+(h(S-M)*Q)/2S+C*M=1329.64 руб.

График циклов изменения  запасов товаров построен в Excel (рис. 5.).

Рис. 6. График циклов изменения  запасов товаров.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  использованной литературы:

1. Орлова И.В., Половинков В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб.пособие.-2-е изд., испр. И доп.- М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2010
2. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В., Половинков В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие для вузов.- Изд 2-е.-М.: ЮНИТИ,2005
3. Просветов Г.И. Математические методы в экономике: учебно-методическое пособие.-М.: Издательство РДЛ,2004
4. Гончаренко В.М. Математические модели и методы исследования операций. Руководство к решению задач. М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, 2006.
5. Винюков И.А., Попов В.Ю., Пчелинцев С.В. Линейное про-граммирование. Учебное пособие для подготовки бакалавров.М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, 2009.
6. http://www.aup.ru/books/i008.htm