Временные ряды. Тренды. Автокорреляция

Процесс белого шума

 

Процессом белого шума (“белым шумом”, “чисто случайным временным

рядом”) называют стационарный временной ряд xt , для которого

 

 

 

 

Последнее означает, что при t ≠ s случайные величины Xt и Xs , соответствующие наблюдениям процесса белого шума в моменты t и s, некоррелированы.

В случае, когда Xt имеет нормальное распределение, случайные величины X 1, ..., X n взаимно независимы и имеют одинаковое нормальное распределение N(0, ó 2), образуя случайную выборку из этого распределения, т.е. .

Такой ряд называют гауссовским белым шумом.

В то же время, в общем случае, даже если некоторые случайные величины

X1, ... ,Xn взаимно независимы и имеют одинаковое распределение, то это еще не означает, что они образуют процесс белого шума, т.к. случайная величина Xt может просто не иметь математического ожидания и/или дисперсии (в качестве примера мы опять можем указать на распределение Коши).

Временной ряд, соответствующий процессу белого шума, ведет себя крайне нерегулярным образом из-за некоррелированности при t ≠ s случайных величин Xt и Xs. Это иллюстрирует приводимый ниже график  смоделированной реализации гауссовского процесса белого шума (NOISE) с D(Xt) ≡ 0.04.

 

 

В связи с этим процесс белого шума не годится для непосредственного моделирования эволюции большинства временных рядов, встречающихся в экономике.

В то же время, как мы увидим ниже, такой процесс является базой для построения более реалистичных моделей временных рядов, порождающих “более гладкие” траектории ряда. В связи с частым использованием процесса белого шума в дальнейшем изложении, мы будем отличать этот процесс от других моделей временных рядов, используя для него обозначение εt .

В качестве примера ряда, траектория которого похожа на реализацию процесса белого шума, можно указать, например, на ряд, образованный значениями темпов изменения (прироста) индекса Доу-Джонса в течение 1984 года (дневные данные).

График этого ряда имеет вид

 

Заметим, однако, что здесь наблюдается некоторая асимметрия распределения вероятностей значений xt (скошенность этого распределения в сторону положительных значений), что исключает описание модели этого ряда как гауссовского белого шума.

 

Процесс авторегрессии

 

Одной из широко используемых моделей временных рядов является процесс авторегрессии (модель авторегрессии). В своей простейшей форме модель авторегрессии описывает механизм порождения ряда следующим образом:

Xt = a Xt – 1 + εt , t = 1, …, n,

где εt – процесс белого шума, имеющий нулевое математическое ожидание и

дисперсию , 

X0 – некоторая случайная величина,

а a ≠ 0 – некоторый постоянный коэффициент.

При этом

E(Xt) = a E(X t – 1),

так что рассматриваемый процесс может быть стационарным только если E(Xt) = 0 для всех t = 0, 1, …, n.

Далее,

Xt = a X t – 1 + εt = a (a Xt –2 + εt–1) + εt = a2 Xt–2 + a εt–1 + εt = … =

= a t X0 + a t –1 ε1 + a t–2 ε2 + … + εt ,

Xt–1 = a Xt–2 + εt–1 = a t–1 X0 + a t–2 ε1 + a t–3 ε2 + … + εt–1 ,

Xt–2 = a Xt–3 + εt–2 = a t–2 X0 + a t–3 ε1 + a t–4 ε2 + … + εt–2,

…

X1 = a X0 + ε1.

Если случайная величина X0 не коррелирована со случайными величинами ε1, ε2,

…, εn, то отсюда следует, что

 т.е. при сделанных предположениях автоковариации и автокорреляции зависят только от того, насколько разнесены по времени соответствующие наблюдения.

Таким образом, механизм порождения последовательных наблюдений, заданный соотношениями

Xt = a Xt–1 + εt , t = 1, …, n,

порождает стационарный временной ряд, если . a < 1 ; . случайная величина X0 не коррелирована со случайными величинами ε1, ε2, …,εn ;

 

 

Рассмотренная модель порождает (при указанных условиях) стационарный ряд, имеющий нулевое математическое ожидание. Однако ее можно легко распространить и на временные ряды yt с ненулевым математическим ожиданием , полагая, что

указанная модель относится к центрированному ряду

 

Поэтому без ограничения общности можно обойтись в текущем рассмотрении моделями авторегрессии, порождающими стационарный процесс с нулевым средним.

Продолжая рассмотрение для ранее определенного процесса Xt (с нулевым математическим ожиданием), заметим, что для него

 

и при значениях a > 0, близких к 1, между соседними наблюдениями имеется сильная положительная корреляция, что обеспечивает более гладкий характер поведения траекторий ряда по сравнению с процессом белого шума. При a < 0 процесс авторегрессии, напротив, имеет менее гладкие реализации, поскольку в этом случае проявляется тенденция чередования знаков последовательных наблюдений.

Следующие два графика демонстрируют поведение смоделированных реализаций временных рядов, порожденных моделями авторегрессии ε

при a = 0.8 (первый график) и a = – 0.8 (второй график).

 Теперь мы должны обратить внимание на следующее важное обстоятельство. В практических ситуациях “стартовое” значение X0 = x0 , на основе которого в соответствии с соотношением Xt = a Xt–1 + εt строятся последующие значения ряда Xt , может относиться к концу предыдущего периода, на котором просто в силу других экономических условий эволюция соответствующего экономического показателя следует иной модели, например, модели Xt = a Xt–1 + εt с другими значениями

Более того, статистические данные о поведении ряда до момента t = 0 могут

отсутствовать вовсе, так что значение x0 является просто некоторой наблюдаемой числовой величиной. В обоих случаях ряд Xt уже не будет стационарным даже при a .

 

 

 

  Процесс скользящего среднего

 

 

Еще одной простой моделью порождения временного ряда является процесс скользящего среднего порядка q (MA(q)). Согласно этой модели,

 

При этом для  обеспечения стационарности необходимо и достаточно, чтобы параметры по обсолютной величине был меньше еденицы (или, что то же, чтобы корень характеристического уравнения  1- =0 лежал вне единичного круга)

Смешанный процесс  авторегрессии – скользящего  среднего (процесс

авторегрессии с остатками в виде скользящего  среднего)

Процесс Xt с нулевым математическим ожиданием, принадлежащий такому классу процессов, характеризуется порядками p и q его AR и МA составляющих и обозначается как процесс ARMA(p, q) (autoregressive moving average, mixed autoregressive moving average). Более точно, процесс Xt с нулевым математическим ожиданием принадлежит классу ARMA(p, q), если

 

 

где a(L) и b(L) имеют тот же вид, что и в определенных ранее моделях AR(p) и MA(q). Если процесс имеет постоянное математическое ожидание ì , то он является процессом типа ARMA(p, q), если

Отметим следующие свойства процесса .

 Процесс стационарен, если все корни уравнения a(z) = 0 лежат вне единичного

круга z ≤ 1.

- Если процесс стационарен, то существует эквивалентный ему процесс

. Если все корни уравнения b(z) = 0 лежат вне единичного круга z ≤ 1

(условие обратимости), то существует эквивалентное представление

процесса Xt в виде процесса авторегрессии бесконечного порядка AR(∞)

Отсюда вытекает, что стационарный процесс ARMA(p, q) всегда можно

аппроксимировать процессом скользящего среднего достаточно высокого порядка, а

при выполнении условия обратимости его можно также аппроксимировать процессом авторегрессии достаточно высокого порядка.

В экономике многие временные ряды являются агрегированными. Из указанного выше факта вытекает, что если каждая из компонент отвечает простой модели AR, то при независимости этих компонент их сумма будет ARMA процессом.

Нестационарные  временные ряды

 

В экономической  практике принято рассматривать  два основных типа нестационарных временных  рядов:

Случайное блуждание ( со сдвигом)

Такие ряды так же принято  называть временными рядами со стохастическим трендом.

 

Вторым основным типом является ряд вида:

 

Хt =   + βt + t

 

Такие ряды называются также временными рядами с детерминистическим трендом.

 

 

 

 

Рассмотрим  временной ряд со стохастическим трендом.

 

 

Yt = + Yt –1  + t

Данное уравнение  является частным случаем более  общей модели

 

Yt = + Yt-1 + t

 

В зависимости  от значения  можно выделить два случая:

|а| < 1 — процесс  является стационарным;

|а|  1 — процесс является нестационарным.

При  |а| >1 процесс становится «взрывным», т. е. шок, произошедший в системе в  момент времени  t, будет иметь  более сильное влияние на нее в момент времени t+1, еще более сильное – в момент t+2  и т.д.

На рисунке  изображены процессы нестационарных временных  рядов с коэффициентом  >1.  Рисунок A

Показывает  первые  250, а 

Рисунок  Б.                – первые 450 неблюдений одного и того же процесса. . Видно, как с увеличением числа наблюдений усиливается

взрывной» характер процесса.

 

Рисунок  Б.

180

160

140

120

100

80

60

40

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                       О  50 100 150 200 250 300 350 400 450

 

 

Аналогичные тенденции прослеживаются для процессов с коэффициентом  < -1.

Такого рода процессы ( а также процесс с  коэффициентом  = -1 редко соотвествуют экономическим данным, поэтому, как правило, основной упор делается на рассмотрении процессов, имеющих единичный корень, - т.е. случая, когда =1.

 

Тренд и его анализ.

 

 

 

     Тренд или тенденция временного  ряда – это несколько условное 

понятие. Под  трендом понимают закономерную, неслучайную 

составляющую временного ряда (обычно монотонную), которая может

быть вычислена  по вполне определенному однозначному правилу. Тренд 

временного  ряда часто связан с действием  физических законов или 

каких-либо других объективных закономерностей. Однако, вообще

говоря, нельзя однозначно разделить случайный  процесс или 

временной ряд  на регулярную часть (тренд) и  колебательную  часть

(остаток). Поэтому  обычно предполагают, что тренд  - это некоторая  

функция простого вида (линейная, квадратичная и т.п.), описывающая

“поведение  в целом” ряда или процесса. Если выделение такого

тренда упрощает исследование, то предположение о  выбранной форме 

тренда считается  допустимым. 

     Для временного ряда уравнение  линейного тренда имеет вид 

     При r>0 говорят о положительном тренде (с течением времени

значения временного ряда имеет тенденцию возрастать), при r<0 об

отрицательном (тенденция убывания). При r, близких  к нулю, иногда

говорят о боковом  тренде. Как было сказано выше, для  случая, когда 

t=1,2,3,...n, имеем: 

однако на практике не стоит отдельно вычислять r  и  уX и только

потом подставлять  их в уравнение тренда. Лучше прямо  в формуле 

тренда произвести сокращения, после которых она  примет вид:

      

     После выделения линейного тренда  нужно выяснить, насколько он

значим. Это  делается с помощью анализа коэффициент  корреляции.

Дело в том, что отличие коэффициента корреляции от нуля и тем 

самым наличие  реального тренда (положительного или  отрицательного)

может оказаться  случайным, связанным со спецификой

рассматриваемого  отрезка временного ряда. Другими  словами, при 

анализе другого  набора экспериментальных данных (для  того же

временного  ряда) может оказаться, что полученная при этом оценка

намного ближе  к нулю, чем исходная (и, возможно, даже имеет другой

знак), и говорить о реальном тренде тут уже становится трудно. 

    

Автокорреляция  уровней временного ряда

 

 

При наличии  во временном ряде тенденции и  циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят  от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного  коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для  расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

        (4.1)

где

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .

Аналогично  можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго  порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

        (4.2)

где

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

Он строится по аналогии с линейным коэффициентом  корреляции и таким образом характеризует  тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

По знаку  коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей  тенденции в уровнях ряда. Большинство  временных рядов экономических  данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.