Типовые задачи оптимизации и их экономико-математические модели

Корма   Питат. вещества	Количество питательных веществ  в 1 кг корма
	1	2
А В	2 2	1 4
Цена 1 кг корма, т.руб.	0,2	0,3

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

 Решение: 

Экономико-математическая модель задачи

Переменные: х₁ - 1 вид корма; х₂ – 2 вид корма.

Целевая функция:

F(Х) = 0,2х₁+0,3х₂→min

Ограничения:

 

Графический метод.

Первое  ограничение (по питательному веществу А) имеет вид 2х₁₊х₂≥6. Найдем пересечение с осями координат. Прямая 2х₁+х₂=6 проходит через точки (3;0) и (0;6).  Второе ограничение (по питательному веществу В) имеет вид 2х₁+4х₂≥12. Прямая 2х₁+4х₂=12 проходит через точки (6;0) и (0;3).

Для определения  направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции: (0,2;0,3) [2].

Для нахождения координат точки максимума решаем систему.

 

3х₂=6 → х₂=2

Подставляем в систему и получаем, что х₁=2.

Ответ: (2;2).

F(min)=0,2*2+0,3*2=0,4+0,6=1

Проверка правильности решения с помощью средств  MS Excel.

1. Введение исходных данных (рис.1).

Рис.1. данные введены.

2. Введем зависимость для целевой функции (рис.2).

Рис.2. введена  зависимость для целевой функции.

3. Введем зависимости для ограничений (рис.3).

 
Рис.3. Введены зависимости для  ограничений.

4. Запустим команду поиск решения (рис.4).

Рис.4. Введены  все условия задачи.

5. Найдем решение. После нажатия кнопки Выполнить запускается процесс решения задачи (рис.5).

Рис.5. Решение  получино.

Ответ: Чтобы  затраты были минимальными необходимо расходовать 2 единицы первого корма  и 2 единицы второго корма. Если задачу решать на максимум то задача не имеет  решения, так как целевая функция  не ограничена сверху.

Задание 3. Рассчитать параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий.

Цветочный магазин использует 600 глиняных цветочных горшков в месяц. Годовая стоимость хранения одного горшка составляет 1 руб. 50 коп., стоимость одного заказа 150 руб. Магазин работает 365 дней в году. Доставка заказа занимает 1 день. Определите экономичный объем заказа, годовые расходы на хранение запасов, период поставок, точку заказа.

 

Решение:

Оптимальный размер заказа (Н=Th – удельные издержки хранения за период, h – в единицу времени)

.

Число заказов  в течение года

Поскольку средне суточный спрос равен 7200/365=20, точка восстановления запаса (уровень запасов, при котором делается новый заказ) составит 20*1=20 [1].

Минимальные издержки заказа и хранения

 

Задание 4.  Использовать методы теории массового обслуживания для исследования предлагаемой хозяйственной ситуации. При моделировании предполагается, что поток требований на обслуживание является простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному (показательному) закону. Задачу следует решить с помощью средств MS Excel.

В бухгалтерии организации в  определенные дни непосредственно  с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.), когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно l; среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, равно Т_ср мин. (значения l и Т_ср по вариантам даны ниже в таблице).

Оценить основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать непроизводительных потерь рабочего времени!). Сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%?

№ варианта, задачи	Параметр l	Параметр Тср=1/μ
4.2	4	10

 

 

Решение:

1. Рассчитаем вероятность отказа в обслуживании по формуле:

Р_отк=Р_n=Р₀ ,

P₀=;

  - нагрузка на систему[1].

• Расчет нагрузки на систему (рис.6);

Рис.6. Расчет нагрузки на систему.

• Расчет вероятности Р₀  ячейке С5 без степени -1, для 1 числа канала (рис.7);

Рис.7. Расчет вероятности.

Рассчитаем  вероятность Р₀ для остальных каналов меняя в формуле 1 на ячейку С5, и скопируем для ячеек С6-С14 (рис.8)

• Рассчитаем вероятность Р₀ в ячейке D5 ставя ячейку С5 в степень -1, и скопируем формулу в ячейки D6-D14 (рис.9);
• Рассчитаем вероятность Р_отк в ячейке Е5, и скопируем формулу в ячейки Е6-Е14 (рис.10).

 

Рис.8. Расчет вероятности Р₀.

Рис.9. Расчет вероятности Р_0.

Рис.10. Расчет вероятности отказа в обслуживании.

 

2. Относительная пропускная способность В, т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена (рис.11),

 

Рис.11. Расчет вероятности обслуживания заявки.

3. Абсолютная пропускная способность А получим, умножая интенсивность потока заявок * на В (рис.12):

.

Рис.12. Расчет абсолютной пропускной способности.

4. Среднее число занятых каналов (рис.13);

.

Рис.13. Расчет среднего числа занятых каналов.

Рис.14. График вероятности отказа в обслуживании.

 

Рис.15.Расчет характеристик системы массового  обслуживания.

Из графика  на рис. 14 видно, что минимальное  число каналов обслуживания, при  котором вероятность обслуживания работника будет выше 85%, равно  n=3.

Задание 5. Организуйте датчики псевдослучайных чисел для целей статистического моделирования (для использования метода Монте-Карло).

Статистический анализ показал, что  случайная величина Х длительности обслуживания клиента в парикмахерской следует показательному закону распределения с параметром μ, а число поступающих в единицу времени клиентов (с.в. У) - закону Пуассона с параметром l . Значения параметров l и μ повариантно даны ниже в таблице.

Получите средствами MS Excel 15 реализаций с.в. Х и 15 реализаций с.в. У.

 

№ варианта, задачи	Параметр l	Параметр μ
5.2	1,7	0,4

  

Решение:

Для получение  случайных чисел с показательным  законом распределения использовано соотношение 

1.Получим случайные числа от 0 до 1 в ячейках $С$3:$Q$Q. При использовании функции =СЛЧИС() (рис.16).

Рис.15. Случайные  данные.

2.Расчитаем  время между очередными поступлениями  в ячейках $C$4:$Q$4. Для их получения используем следующие функцию (рис.16).

Рис.16. Расчет времени между поступлениями.

3.Расчитаем  время обслуживания округленное  (в строках 7 и 9) с помощью  формулы (рис.17 и рис.18).

Рис.17. Расчет времени обслуживании по работнику 1.

Рис.18. Расчет времени обслуживания по работнику 2.

4.Расчитаем  время окончания обслуживания  работника 1 строчку 6 складываем  со строкой 7 (рис.19) и работника  2 строку 6 складываем со строкой  9 (рис.20).

Рис.19. Расчет окончания обслуживания первого  работника.

Рис.20. Расчет окончания обслуживания второго  работника.

5.Далее  последовательно сравниваются время  окончания обслуживания каналами (строки 8 и 10) и время поступления  требований (строка 6); соответственно, в счетчике отказов (строка 11) фиксируется 0 (требование принято  к обслуживанию) или 1 (требование  отказано в обслуживании) (рис.21)[1].  

Рис.21. Табличное  представление имитации.

В соответствии со счетчиком отказов (в ячейках  $C$11:$Q$11) зафиксировано 8 отказов, т.е. статистическая оценка вероятности отказав данной системы массового обслуживания при N=15 равна (8/15)=0,53.

 

 

 

 

 

 

 

Список  использованной литературы.

1. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: учебное пособие - 2012

2. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование Учебное пособие. - М.: ВЗФЭИ, Вузовский учебник, 2012

3.Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. – 2-е изд., испр. и доп. - М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012