Симплекс-метод с искусственным базисом

1	2	3	4	5	6	7	8	9
43	47	50	48	54	57	61	59	65

Требуется:

1) проверить наличие аномальных  наблюдений;

2) построить линейную модель Y(t)=a₀+a₁t, параметры которой оценить МНК (Y(t)— расчетные, смоделированные значения временного ряда);

3) оценить адекватность построенных  моделей, используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности  и соответствия нормальному закону  распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7–3,7);

4) оценить точность моделей на  основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации;

5) по построенной модели осуществить  прогноз спроса на следующие  две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%);

6) фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования  представить графически.

Вычисления провести с точностью  до одного знака после запятой. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

Решение:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений

Для выявления аномальностей  ряда наблюдения воспользуемся методом  Ирвина.

Рассчитаем значение

Где ,

Для удобства вычисления промежуточные расчеты представим в таблице 1:

Таблица 1

t
1	43	-10,78	116,21	--	--
2	47	-6,78	45,97	4	0,55
3	50	-3,78	14,29	3	0,41
4	48	-5,78	33,41	2	0,27
5	54	0,22	0,05	6	0,82
6	57	3,22	10,37	3	0,41
7	61	7,22	52,13	4	0,55
8	59	5,22	27,25	-2	-0,27
9	65	11,22	125,89	6	0,82
	484		425,57

 

Все расчетные значения меньше табличного значения критерия Ирвина (при n=9, =1,5), следовательно, можно говорить о том, что аномальных наблюдений не обнаружено.

2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

Построю линейную модель регрессии Y от t.

• Введу исходные данные, рис 2.1:

 

Рис 2.1

• Для проведения регрессионного анализа выберу команду Сервис → Анализ Данных.
• В диалоговом окне Анализ Данных выберу инструмент Регрессия, нажимаю ОК.
• В окне Регрессия в поле Входной интервал Y ввожу адрес диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х ввожу адрес диапазона независимой переменной t.
• В поле График подбора ставлю флажок.
• В поле Остатки ставлю необходимые флажки и нажимаю кнопку ОК.

Результат получаю в  виде, приведенном на рисунках 2.2 и 2.3:

 

Рис 2.2 Результат регрессионного анализа

 

Рис. 2.3 Вывод остатка

Оценка параметров модели «вручную». Привожу таблицу промежуточных расчетов параметров линейной модели  по формулам:

Таблица 2

t	yt	t - t	(t – t)	yt-y	(t-t)(yt-y)	yt=a0+a1t	Et=yt-yt
1	43	- 4	16	-10,78	43,12	43,44	-0,44
2	47	- 3	9	-6,78	20,34	46,03	0,97
3	50	- 2	4	-3,78	7,56	48,61	1,39
4	48	-1	1	-5,78	5,78	51,19	-3,19
5	54	0	0	0,22	0	53,78	0,22
6	57	1	1	3,22	3,22	56,36	0,63
7	61	2	4	7,22	14,44	58,94	2,06
8	59	3	9	5,22	15,66	61,53	-2,53
9	65	4	16	11,22	44,88	64,11	0,89
			60		155

 

Линейная модель будет  выглядеть следующим образом: 

3. Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

Оценка адекватности. Исследую свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели и фактических наблюдений. Результаты привожу в таблице 3:

Таблица 3

                                                                                              

 

 

 

 

 

Проверка независимости (отсутствие автокорреляции). Определяю с помощью dw – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:

=

=4-2,78=1,22

Так как dw` попало в интервал от d2 до 2, то поданному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости. Это означает, что в ряде динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверка случайности. Проведу ее на основе критерия поворотных точек. Количество поворотных точек р равно 4 (р=4), при n=9.

Неравенство 4 > 2 выполняется, Следовательно, выполняется свойство случайности. Модель по этому критерию адекватна.

Нормальный закон  распределения. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим с помощью RS – критерия:

где  - максимальный уровень ряда остатков, = 2,06; - минимальный уровень ряда остатков, = - 3,19

=

Расчетное значение попадает в интервал (2,7 – 3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

4. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

 Для оценки точности модели вычислю среднюю относительную ошибку аппроксимации Еотн.

 

Таблица 4

t
1	43	-0,44	0,01
2	47	0,97	0,02
3	50	1,39	0,03
4	48	-3,19	0,07
5	54	0,22	0,004
6	57	0,63	0,011
7	61	2,06	0,034
8	59	-2,53	0,04
9	65	0,89	0,014

 

%

Полученные значения средней относительной ошибки говорит о высоком уровне точности построенных моделей, т.к. ошибка менее 5% свидетельствует об удовлетворительном уровне точности.

 

5. По построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительная вероятность р = 70%)

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t = n + k

а0 + а1(n + k)

В нашей задаче:

у10 = 40,86 + 2,58*10 = 66,66

у11 = 40,860 + 2,58*11 = 69,24

Для построения интервального прогноза рассчитаю доверительный интервал. При уровне значимости α = 0,05, доверительная вероятность р = 70%, а критерий Стьюдента при ν = n – 2 = 7 равен 2,3646

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

 Где = 2,24;  t = 5;

U(1) = 2,24*2,365                     = 6,56

U(2) = 2,24*2,365                     = 6,93

Далее вычисляю верхнюю  и нижнюю границы прогноза, таблица 5:

Таблица 5

n + k	U(k)	Прогноз	Верхняя граница	Нижняя граница
10	U(1)	66,66	73,22	60,10
11	U(2)	69,24	76,17	62,31

                                                                                      

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически

Рис. 2.4. График линейной модели временного ряда

 

Рис. 2.5. График остатков временного ряда

 

Рис 2.6. График прогноза на два шага вперед

 

Задача 4. Методы и модели анализа и прогнозирования экономических процессов с использованием временных рядов

Задание 4.2. Компания по продаже мототехники оценивает ежедневный спрос в 20 единиц. Годовые издержки хранения на один мотоцикл составляют 10 тыс. руб. Магазин работает 300 дней в году. Средние издержки одного заказа составляют 40 тыс. руб. Определите совокупные издержки заказа и оптимальный размер партии. Постройте график общих годовых затрат.

 

Дано:

T = 300 р.д./год

M = 20 ед./день*300 р.д./год = 6 тыс.ед./год

h = 10 тыс.руб./год

K = 40 тыс.руб./заказ

 

Определить: Q_опт, Z₁(Q), и построить график общих годовых затрат.

 

Решение:

1. Количество мотоциклов в 1 заказе:

Q_опт=_√2KM/h=_√2*40000*6000/10000=_√48000≈219,08=219 шт.

2. Совокупные издержки на заказ и хранение:

Z₁(Q)=KM/Q_опт+hQ_опт/2=40000*6000/219+10000*219/2=2190890 руб./год

3. Частота заказов:

M/Q_опт=6000/219≈27,39=27 заказов в год.

4. Периодичность поступления (интервал между поступлением) заказов:

Q_опт/M=219/6000≈0,0365 лет, или 0,0365*300≈10,95=11 дней.

5. Построим график общих годовых затрат Z₁(Q) с помощью таблицы 6:

 

 

 

Таблица 6

Q	K*M/Q	h*Q/2	Z1(Q)
50	4800000	250000	5050000
100	2400000	500000	2900000
190	1263157,89	950000	2213158
219	1095890,41	1095000	2190890
300	800000	1500000	2300000
380	631578,947	1900000	2531579
450	533333,333	2250000	2783333

 

График общих годовых  затрат

 

Из таблицы и графика  очевидно выполнение характеристического  свойства оптимального размера партии.

 

Ответ: Совокупные издержки заказа равны 2190890 рублей в год, а оптимальный размер партии 219 штук.

Список  литературы

 

1. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel / Практикум: Учебное пособие для вузов. – М.: ЗАО, 2000. – 136с.
2. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб. пособие. – М.: Вузовский учебник, 2007. – 365 с.
3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.