Решение задач с помощью линейного программирования

Рассмотрим порядок работы с симплекс таблицей.

Первая симплекс-таблица  подвергается преобразованию, суть которого заключается в переходе к новому опорному решению.

Алгоритм перехода к следующей  таблице такой:

• просматривается последняя строка (индексная) таблицы и среди коэффициентов этой строки (исключая столбец свободных членов Y0) выбирается наименьшее отрицательное число при отыскании max, либо наибольшее положительное при задачи на min. Если такового нет, то исходное базисное решение является оптимальным и данная таблица является последней;
• просматривается столбец таблицы, отвечающий выбранному отрицательному (положительному) коэффициенту в последней строке- ключевой столбец, и в этом столбце выбираются положительные коэффициенты. Если таковых нет, то целевая функция неограниченна на области допустимых значений переменных и задача решений не имеет;
• среди выбранных коэффициентов столбца выбирается тот, для которого абсолютная величина отношения соответствующего свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому элементу минимальна. Этот коэффициент называется разрешающим, а строка, в которой он находится ключевой;
• в дальнейшем базисная переменная, отвечающая строке разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу разрешающего элемента, вводится в число базисных. Строится новая таблица, содержащая новые названия базисных переменных;
• разделим каждый элемент ключевой строки (исключая столбец свободных членов) на разрешающий элемент и полученные значения запишем в строку с измененной базисной переменной новой симплекс таблицы;
• строка разрешающего элемента делится на этот элемент и полученная строка записывается в новую таблицу на то же место;
• в новой таблице все элементы ключевого столбца = 0, кроме разрезающего, он всегда равен 1;
• столбец, у которого в ключевой строке имеется 0,в новой таблице будет таким же;
• строка, у которой в ключевом столбце имеется 0,в новой таблице будет такой же;
• в остальные клетки новой таблицы записывается результат преобразования элементов старой таблицы [6].

В результате получают новую симплекс-таблицу, отвечающую новому базисному решению.

Следует просмотреть строку целевой функции (индексную), если в ней нет отрицательных значений (в задачи на нахождение максимального значения), либо положительных (в задачи на нахождение минимального значения) кроме стоящего на месте Y₀ (свободного столбца), то значит, что оптимальное решение получено. В противном случае, переходим к новой симплекс таблице по выше описанному алгоритму [6].

1.4 Характеристика метода решения задач с помощью теории двойственности

 

Имеется т видов сырья в количестве b₁, b₂,..., b_т, которые используются для изготовления п видов продукции. Известно: а_ij — расход i-го вида сырья на единицу j-ой продукции; с_j. — прибыль при реализации единицы j-го вида продукции. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

Математическая  модель данной задачи имеет вид:

 

F(X) = с₁ х₁ + с₂ х₂ + ... + с_п х_п→max,         (11)         

       

     (12)

 

где х _j, j = 1,2, ..., п — объем производства j-го вида продукции.

Предположим, что  второй производитель хочет перекупить сырье. Составим двойственную задачу, решение которой позволит определить условия продажи сырья. Введем вектор оценок (цен) видов сырья Y=(у₁, у₂,… …,у_т). Затраты на приобретение i -го вида сырья в количестве b_i равны b_iу_i . Второму производителю выгодно минимизировать суммарные затраты на приобретение всех видов сырья, поэтому целевая функция имеет вид

 

Z(Y) =b₁у₁ +b₂у₂ +…+b_ту_т→ min      (13)

 

Первому производителю невыгодно продавать сырье, если суммарная стоимость всех видов сырья, расходуемых на каждое изделие j-й продукции, т.е. а_1j у₁ + а_2j у₂ +…+ а_mj у_т, меньше прибыли сj  получаемой при реализации этого изделия. Система ограничений задачи имеет вид

 

      (14)

 

Оценки видов  сырья должны удовлетворять условиям неотрицательности   у_i ≥0,  i = 1, 2, …, т.

Таким образом, связь исходной и двойственной задач  состоит в том, что коэффициенты c_j целевой функции исходной задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи, cвoбодные члены b_i системы ограничений исходной задачи служат коэффициентами целевой функции двойственной задачи, а матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений исходной задачи.

1.5 Основные этапы, особенности и методы решения транспортной задачи

 

Под названием «транспортная задача» объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение [8].

Предположим что  на три базы , , поступил однородный груз в количествах: соответственно. Груз требуется развезти в пять пунктов: в пункт в пункт в пункт в пункт в пункт

 

 

 

 

Таблица 1.5.1

Пункт направления	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы, ai
A1	c11	c12	c13	c14	c15	A1
A2	c21	c22	c23	c24	c25	A2
A3	c31	c32	c33	c34	c35	A3
Потребности, bj	b1	b2	b3	b4	b5

 

Составим математическую модель данной задачи:

Целевая функция:

 

     (15)

+

 

Ограничения:

 

где х_ij – количество груза, отправляемого с базы A_i в пункт B_j.

 

Одним из способов решения  транспортных задач является метод  северо-западного угла. На каждом этапе  метода максимально возможным числом заполняют левую верхнюю клетку оставшейся части таблицы. Заполнение происходит таким образом, что полностью выносится груз из или полностью удовлетворяется потребность [9].

Так как транспортная задача является задачей линейного  программирования, то её можно решать симплекс-методом, но в силу своей особенности её можно решить гораздо проще.

Условия задачи удобно располагать в таблице, вписывая в ячейки количество перевозимого груза из А_i в B_j груза X_ij ≥ 0, а в маленькие клетки – соответствующие тарифы C_ij [9].

Таблица 1.5.2

Затем решение  задачи разбивается на два этапа:

• Определение опорного плана (Это решение можно найти, используя метод «северо-западного угла» или метод «минимального элемента».)
• Нахождение оптимального решения путем последовательных операций.

1) Метод северо-западного угла

Сущность метода заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя (северо-западная) клетка оставшейся части  таблицы, причем максимально возможным  числом: либо полностью выносится  груз из Аi, либо полностью удовлетворяется потребность Вj. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы аi и не удовлетворятся все потребности bj. В заключении проверяют, удовлетворяют ли найденные компоненты плана Х_ij горизонтальным и вертикальным уравнениям.

2) Метод наименьшего элемента

Сущность метода в том, что на каждом шаге заполняется  та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф; в случае наличия нескольких таких  равных тарифов заполняется любая  из них.

В остальном  действуют аналогично предыдущему способу.

3) Метод потенциалов

Соотношения определяют систему из m+n-1 линейных уравнений  с m+n известными, имеющую бесчисленное множество решений; для её определённости одному неизвестному присваивают произвольное значение (обычно альфа равное 0), тогда все остальные неизвестные определяются однозначно.

Если известны потенциалы решения Х0 транспортной задачи и для всех незаполненных  ячеек выполняются условия α_i+β_j ≤ C_ij, то Х0 является оптимальным планом транспортной задачи.

Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице) так, чтобы транспортные расходы не увеличивались.

Цикл перерасчёта  таблицы – это последовательность ячеек, удовлетворяющая условиям:

– Одна ячейка пустая, все остальные занятые.

– Любые две соседние ячейки находятся в одной строке или в одном столбце.

– Никакие три соседние ячейки не могут быть в одной строке или в одном столбце.

– Пустой ячейке присваивают знак "+", остальным – знаки "–" и "+".

Для перераспределения  плана перевозок с помощью цикла перерасчёта сначала находят незаполненную ячейку (r, s), в которой αr+βs > Crs, и строят соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число X = min(X_ij). Далее составляют новую таблицу по следующему правилу:

– В плюсовых клетках добавляем Х.

– Из минусовых клеток вычитаем Х.

– Все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.

Получим новую  таблицу, дающую новое решение Х, такое, что 

F (X₁) ≤ F (X₀); оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов, обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда существует [10].

 

2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

2.1 Решение задачи планирования производства геометрическим способом

 

Трудность построения математической модели заключается в идентификации переменных и последующем представлении цели и ограничений в виде математических функций этих переменных. Если модель содержит только две переменные, то задачу линейного программирования можно решить графически. В случае трёх переменных графическое решение становится менее наглядным, а при большем значении переменных – даже невозможным. Однако графическое решение позволяет сделать выводы, которые служат основой для разработки общего метода решения задачи линейного программирования.

Запишем условия задачи. Предприятие предполагает выпускать два вида продукции А₁ и А₂, для производства которых используется сырьё трех видов. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количествах: 600, 357, 600 кг. На изготовление единицы изделия А₁ требуется затратить сырья каждого вида 3, 3, 1 кг, соответственно, а для единицы изделия А₂ - 4, 1, 5 кг. Прибыль от реализации единицы изделия А₁ составляет 42 ден.ед., для единицы изделия А₂ - 26 ден.ед.

Требуется составить план производства изделий А₁ и А₂ обеспечивающий максимальную прибыль предприятия от реализации готовой продукции.

Занесём необходимые  нам данные во вспомогательную таблицу:

Таблица 2.1.1

Вид сырья	Продукция		Ограничения по сырью
	А1	А2
1-й	3	4	600
2-й	3	1	357
3-й	1	5	600
прибыль	42	26