Разработка и исследования экономико-математических моделей в лесном хозяйстве

Вступ

Лісова і деревообробна промисловість  — важлива складова економіки  України.

Однією із складових цієї  галузі є лісозаготівельна промисловість. Свого розвитку вона досягла на території  Закарпатської, Івано-Франківської і  Чернівецької областей. Основні лісозаготівельні підприємства в цьому регіоні  — держлісгоспи Держкомлісу України.

Вигідне географічне розташування України і промисловий потенціал, створений на підприємствах лісової  і деревообробної промисловості, наявність  якісних місцевих лісосировинних ресурсів і кваліфікованих робітників, а також  інженерно-технічних кадрів додають  підприємствам галузі інвестиційну привабливість. Підготовлені підприємствами попередні інвестиційні заявки на залучення  інвестицій підтверджують, що при незначних  фінансових вкладеннях можна одержати в короткий термін прибуток за рахунок  швидкого обороту засобів.

Але, нажаль, вклади інвесторів все  ж мають обмежений характер, тим  паче, коли мова йдеться про економіку  України. Тож, заради досягнення суттєвих результатів інвестиційні надходження  треба використовувати максимально  раціонально, застосовуючи сучасні  економіко-кібернетичні методи та приділяючи увагу найменшим дрібницям.

В своїй роботі я продемонструю  використання елементів теорії нечітких множин та теорії ігор в процесі  відбору найбільш вигідного шляху  інвестиційних вкладів (а саме придбання  нового обладнання).

 

 

 

 

 

 

 

1.    Теоретична частина

Процес лісозаготівлі ― це досить складний процес, який потребує певного  рівня кваліфікації працівників  підприємства та наявності специфічного обладнання. До такого можна віднести    лісозавантажники, призначення яких полягає у  відвантаженні та штабелюванні лісу та виконання інших вантажно-розвантажувальних робіт на лісових складах та базах лісозаготівельних підприємств. Лісозавантажник складається з базового трактора і навісного технологічного устаткування: навісної рами, стріли з приводом захоплення, щелепи і гідроциліндру захвата, двох основних циліндрів і допоміжного циліндра, гідросистеми.

На підприємстві «"Золочівське лісове господарство"» (м. Львів) особа, що приймає рішення (надалі позначається як ОПР) вирішує, що задля примноження прибутків виробництва підприємству треба придбати лісо-завантажник нового зразку. Перелік моделей лісо завантажників, які можуть задовольнити запити даного підприємства, представлений у Таблиці1.

                                                                                       Таблиця 1

Найменування моделі	№ альтернативи
Лісозавантажувальник ЛТ-188	а1
Лісозавантажувальник ЛТ-65Б	а2
Лісозавантажувальник ПЛ-1В	а3
Лісозавантажувальник ПЛК-6	а4
Лісозавантажувальник  ПЛ-32А	а5

 

У таблиці 2 приведені критерії оцінки лісозавантажників, які представлені ціною і певними технічними показниками, та їх числові показники по кожній з альтернатив.

                                                                                                                

 

 

                                                                                                                                   Таблиця 2

Критерій	№ альтернативи
	а1	а2	а3	а4	а5
Потужність двигуна (F1), кВт (л.с.)	95,7 (130)	84,6 (115)	58,8(80)	173 (235)	99 (135)
Продуктивність у повній мірі при відстані транспортування 30 м (F2), куб.м/год	61	42	33	81	56
Максимальна вантажопідйомність (F3), т	4	3,5	3,2	5	3,5
Максимальна висота підйому вантажу (F4), м	4,8	4	2,8	3,8	3,5
Ціна(F5), тис. грн.	314	253,6	190	350	278

 

Існують описові моделі на звичайній мові, які дозволяють зрозуміти якісні характеристики соціально-економічної системи. Але такі моделі не дозволяють  отримати потрібні для їх вивчення, прогнозування і керування числові характеистики. В такому випадку варто  застосувати синтез нечітких моделей,  який  базується на уявленні групи експертів про функціональну діяльність системи.

Для визначення найбільш доцільного варіанту придбання лісозавантажника на підприємстві враховуються думки 10-ти експертів, представлених в особі працівників підприємства.

В результаті проведеного опитування визначено конкретні значення функції приналежності за критеріями якості F1, ..., F5. На рис.1 показані нечіткі множини для п'яти розглянутих критеріїв.

 

 

 

 

Оптимальною вважається альтернатива з максимальним значенням функції  приналежності до множини мінімальних значень експертних оцінок по заданим критеріям.

Але при більш детальному розгляді завдання можна звернути увагу  на те, що критерії оцінювання мають  різну значимість при виборі найбільш раціонального рішення (не можна  ставити в один ряд за значимістю для підприємства такі показники  як, наприклад, ціна і найбільша висота навантаження). У зв'язку з цим  необхідно визначити вагові коефіцієнти  критеріїв. Один з можливих способів отримання значень вагових коефіцієнтів полягає у використанні методу аналізу  ієрархій (МАІ), розроблений Т. Сааті.

Метод аналізу ієрархій є  систематичною процедурою для ієрархічного представлення елементів, які визначають суть проблеми. Метод полягає в декомпозиції проблеми на більш прості складові частини і подальшій обробці послідовності суджень особи, яка приймає рішення, по парним порівнянь. В результаті може бути виражена відносна ступінь (інтенсивність) взаємодії елементів в ієрархії. Ці судження потім виражаються чисельно. МАІ включає в себе процедури синтезу множинних суджень, одержання пріоритетності критеріїв і знаходження альтернативних рішень. Такий підхід до вирішення проблеми вибору виходить з природної здатності людей думати логічно і творчо, визначати події і встановлювати відношення між ними.

У першу чергу експертами складається матриця  парних порівнянь ― матриця з розмірністю n × n (де n - кількість критеріїв). У даній матриці, як і в класичному варіанті методу парних порівнянь, проводиться порівняння досліджуваних факторів між собою. Причому в даному методі фактори порівнюються попарно по відношенню до їх впливу («ваги», або «інтенсивності») на загальну для них характеристику.

Таким чином, в запропонованому  варіанті застосування методу парних порівнянь, визначаються не величини різниць  значень факторів, а їх відношення. При цьому очевидно aij = 1/aji. Отже, матриця парних порівнянь в даному випадку є позитивно визначеною, зворотньосиметричною матрицею, що має ранг рівний 1.

Наступним кроком, після  складання матриці парних порівнянь, є обчислення вектора пріоритетів (W). Відносна сила, величина або ймовірність  кожного окремого об'єкта в ієрархії визначається оцінкою відповідного йому елемента власного вектора матриці пріоритетів, нормалізованого до одиниці.

    Метод відшукання  вектора W грунтується на одному з тверджень лінійної алгебри - шуканий вектор є власним вектором матриці парних порівнянь, відповідним максимальному власному числу - λmax. В цьому випадку розраховується λmax, а потім досить вирішити векторне рівняння виду  A*W = λmax*W.

Процедура визначення власних  векторів матриць піддається наближенню. Наприклад, наближене обчислення власного вектора (стовпця) методом середнього геометричного вимірювання відстаней  між оцінюваними об'єктами може бути здійснено в такому порядку:

• перемножуються елементи кожного рядка і отримані результати записуються в стовпчик;

• розраховується корінь n-го ступеня (n - розмірність матриці) з кожного елемента знайденого стовпця;

• складаються елементи цього стовпчика;

• кожен з цих елементів  ділиться на отриману суму.

Таким чином виходить нормалізований вектор пріоритетів.

Користуючись методом  аналізу ієрархій варто провести перевірку узгодженості експертних оцінок. Визначивши вектор пріоритетів необхідно знайти головне власне значення матриці парних порівнянь λmax. Воно використовується для оцінки узгодженості експертних оцінок. Чим ближче воно до розмірності матриці, тим більше узгоджені оцінки.

Для того щоб знайти λmax слід розв'язати рівняння:

                                         det(V −λmaxE)=0

Тут E - одинична матриця розмірності n × n (матриця, у якої всі елементи рівні 0 крім діагоналі, елементи якої рівні 1), det - детермінант (визначник) матриці, V - матриця парних порівнянь.

Після визначення оптимальної  альтернативи поведінки підприємства з урахуванням вагових коефіцієнтів критеріїв варто порівняти отримане рішення з первинним і зробити  висновки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.     Розрахунки

Якщо критерії, за якими здійснюється вибір варіантів, мають однакову важливість для ОПР, то правило вибору кращого варіанта має вигляд:

                              В = F1 Ç F2 Ç F3 Ç F4 Ç F5.

Оптимальною вважається альтернатива з максимальним значенням функції приналежності до множини В. Операція перетину нечітких множин відповідає вибору мінімального значення для j-й альтернативи:

                                                 

Для розглянутої задачі множина оптимальних альтернатив В буде сформована наступним чином:

                     В = { min { 0,7; 0,7; 0,8; 0,8; 0,2 }

                              min { 0,5; 0,5; 0,5; 0,7; 0,5 }

                               min { 0,3; 0,4; 0,4; 0,2; 0,8 }

                              min { 1,0; 0,9; 0,9; 0,4; 0,1 }

                               min {0,8; 0,6; 0,5; 0,3; 0,4 } }.

Результатуючий вектор приорітетів альтернатив має наступний вигляд:

                           

 

 

Таким чином, кращою альтернативою є а₂ (придбання ЛТ-65Б), якій відповідає значення 0,5.

На даному етапі можна знайти альтернативне рішення поставленої задачі, яке ОПР прийме, враховуючи вагові коефіцієнти критеріїв F1, ..., F5.

Вагові коеіцієнти критеріїв оцінки по своїй суті є елементами власного вектора матриці пріоритетів, нормалізованого до одиниці.

У цій роботі при обчисленні даного вектора я використала метод середнього геометричного. Матриця попарних порівнянь критеріїв і результати обчислень наведені в Таблиці 3. 

                                                                                                           Таблиця 3

Критерій		F1	F2	F3	F4	F5	W	ПР	Приорітет	Ранг
Потужність двигуна	F1	1	0,25	0,33	0,66	0,2	0,064366	0,01089	0,40495389	5
Продуктивність	F2	4	1	2	4	0,5	0,276741	16	1,74110113	2
Вантажопідйомність	F3	3	0,5	1	2	0,33	0,158627	0,99	0,99799195	3
Висота підйому вантажу	F4	1,5	0,25	0,5	1	0,25	0,086186	0,046875	0,54223589	4
Ціна	F5	5	2	3	4	1	0,414081	120	2,60517108	1
	Сума	14,5	4	6,83	11,66	2,28	1		6,29145394