Применение дифференциальных уравнений в экономике

ПЛАН

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ И СОЦИАЛЬНОЙ СФЕРЕ 4

§ 1. Основные понятия  и примеры разностных уравнений 4

§ 2. Решение разностных уравнений 12

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СФЕРЕ 23

§ 1. Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса 23

§ 2. Модель рынка с запаздыванием  сбыта 26

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ  31

 

 

ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия  математические методы всё настойчивее  проникают в гуманитарные науки и в частности, в экономику. Благодаря математике и её эффективному применению можно надеяться на экономический рост и процветание государства. Эффективное, оптимальное развитие невозможно без использования математики.

Целью данной работы является изучение применения разностных уравнений в экономической сфере общества.

Перед данной работой  ставятся следующие задачи: определение  понятия разностных уравнений; рассмотрение линейных разностных уравнений первого  и второго порядка и их применение в экономике.

При работе над курсовым проектом были использованы доступные  для изучения материалы учебных  пособий по экономике, математическому  анализу, работы ведущих экономистов  и математиков, справочные издания, научные и аналитические статьи, опубликованные в Интернет - изданиях.

 

 

ГЛАВА 1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ И СОЦИАЛЬНОЙ СФЕРЕ

§1. Основные понятия  и примеры разностных уравнений

Разностные уравнения  играют большую роль в экономической  теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений. Разберем основные понятия разностных уравнений.

Пусть время t выступает как независимая переменная, а зависимая переменная определяется для времени t, t-1, t-2 и т.д.

Обозначим через  значение в момент времени t; через - значение функции в момент, сдвинутый назад на единицу (например, в предыдущем часу, на предыдущей неделе и т.д.); через - значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы назад, и т.д.

Уравнение

(1)

где - постоянные, называется разностным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение

(2)

В котором  =0, называется разностным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами. Решить разностное уравнение n-го порядка – значит найти функцию , которая обращает это уравнение в верное тождество.

Решение, в котором отсутствует  произвольная постоянная, называется частным решением разностного уравнения; если же в решении есть произвольная постоянная, то оно называется общим решением. Можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1. Если однородное разностное уравнение (2) имеет решения и , то решением будет также функция

где и - произвольные постоянные.

Теорема 2. Если - частное решение неоднородного разностного уравнения (1) и - общее решение однородного уравнения (2), то общим решением неоднородного уравнения (1) будет функция

- произвольные постоянные. Эти теоремы  сходны с теоремами для дифференциальных уравнений. Системой линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами называется система вида

где - вектор из неизвестных функций, - вектор из известных функций.

Есть матрица размера n n.

Эта система может  быть решена сведением к разностному  уравнению n-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений.

 

Для решения систем дифференциальных уравнений высокого порядка методами конечных разностей в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями. И уже далее реализовывать численную процедуру решения.

Преобразование в систему  уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них  в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или  переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных этими переменными.

Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:

 

 

где  – соответственно i-тая производная искомого решения и ее значение в начальный момент,

 – функция, описывающая  внешнее воздействие на динамический  объект.

Обозначим первую производную  искомой функции новой переменной , первую производную – следующей переменной: , первую производную – переменной и т.д.. Таким образом из исходной системы мы сформируем дифференциальное уравнение первого порядка:

 

 

При таких заменах  производных искомой функции  ее n-ная производная оказывается равной первой производной от :

 

 

В результате, эквивалентная  система дифференциальных уравнений первого порядка примет следующий вид:

 

 

В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции  и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид

 

 

то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными осуществляется по следующим формулам:

 

 

Такое преобразование сохраняет  коэффициенты исходного уравнения  неизменными и исключает производные  в правой части от . Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.

И, наконец, приведем еще  один вариант разложения на систему  уравнений первого порядка исходного  неоднородного уравнения с производными в правой части:

 

 

Замена переменных в  отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного  уравнения:

 

 

Производные искомой  функции  можно выразить через вновь введенные переменные путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y с подстановкой после каждого дифференцирования производных :

 

 

Умножив каждое выражение для на коэффициенты и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных .

Система уравнений имеет  вид:

 

 

В векторно-матричной  форме это уравнение и его  решение записываются в следующем виде:

 

 

где  – вектор известных коэффициентов,

 – вектор искомых коэффициентов,

 – соответственно прямая  и обратная верхне-треугольные  матрицы коэффициентов. Первая из них выглядит так:

 

.

 

Обратная матрица удобна при  использовании математических пакетов  для решения векторно-матричного уравнения. Если , то коэффициенты легко вычисляются последовательной подстановкой значений , начиная с .

Начальные условия для  вычисляются по выражениям для следующим образом:

 

 

или в векторно-матричной  форме:

 

,

.

Представление системы  дифференциальных уравнений первого  порядка с начальными условиями

 

 

можно заменить системой конечно-разностных уравнений первого порядка с целочисленной независимой переменной i ( ):

 

,

 

погрешность аппроксимации  которого пропорциональна сеточному  шагу h.

Выше было уже показано, как можно уменьшить погрешность  аппроксимации, делая ее пропорциональной . В частности это можно сделать, использовав среднее арифметическое двух разностей первого порядка: “вперед” и “ назад”.

 

 

При такой замене производной  мы получаем систему разностных уравнений, состоящую из разностных уравнений второго порядка, требующих, кроме известного вектора начальных условий , еще один дополнительный вектор :

 

.

 

Дополнительный вектор начальных  условий достаточно вычислить по формуле Эйлера. Он и определит дополнительное начальное условие с ошибкой, пропорциональной второй степени h:

 

 

Подстановка таких начальных  условий в решение сохранит погрешность  результатов на уровне . В таком случае говорят, что разностная схема имеет второй порядок точности.

 

§ 2. Решение  разностных уравнений

Решение разностного  уравнения первого порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение

f(t). (3)

Соответствующее однородное уравнение есть

0. (4)

Проверим, будет ли функция 

решением уравнения (3).

Имеем

Подставляя в уравнение (4), получаем

Следовательно, есть решение уравнения (4).

Общее решение уравнения (4) есть функция

где C - произвольная постоянная.

Пусть - частное решение неоднородного уравнения (3). Тогда общее решение разностного уравнения (3) есть функция

Найдем частное решение  разностного уравнения (3), если f(t)=c, где c – некоторая переменная.

Будем искать решение  в виде постоянной m. Имеем

,

Подставив эти постоянные в уравнение

получаем

откуда

Следовательно, общее решение разностного  уравнения

Есть

.

Пример1. Найти с помощью разностного уравнения формулу прироста денежного вклада А в сбербанке, положенного под p % годовых.

Решение. Если некоторая сумма положена в банк под сложный процент p, то к концу года t её размер составит

Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решение

где C – некоторая постоянная, которую можно рассчитать по начальным условиям.

Если принять  , то C=A, откуда

Это известная формула подсчета прироста денежного вклада, положенного в сбербанк под сложный процент.

Решение разностного уравнения  второго порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение второго порядка

(5)

и соответствующее однородное уравнение

 

(6)

Если k является корнем уравнения

(7)

есть решение однородного  уравнения (6).

Действительно, подставляя в левую часть уравнения (6) и учитывая (7), получаем

Таким образом, если k – корень уравнения (7), то - решение уравнения (6). Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Если дискриминант характеристическое уравнение (7) больше нуля, то уравнение (7) имеет два разных действительных корня и , а общее решение однородного уравнения (6) имеет следующий вид:

Общее решение неоднородного уравнения (5) таково:

где - частное решение неоднородного уравнения (5), а и - произвольные постоянные, которые можно вычислить по начальным условиям, например y(0)= , y(1)= .

Пример 2. Найти решение разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

7,

удовлетворяющего начальным условиям

Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного разностного уравнения таково:

Корни уравнения  , действительны и различны. Следовательно, общее решение однородного разностного уравнения есть функция

Предположим далее, что  c есть частное решение неоднородного уравнения, тогда