Модели массового обслуживания

Из условий примера λ=90 (1/час), μ=1/ T об=30 (1/час), ρ=λ⁄μ=3. Проведем расчет основных параметров СМО при n=1, 2, 3,..., до тех пор, пока величина Q не станет больше или равна 0,9, т.е. найдем минимальное n, при котором Q≥0,9.

Для вычисления используем формулы:

 

 

 

 

Последовательно при известном ρ=3 для n=1, 2, 3, 4,… найдем Q1=0,2, Q2=0,47, Q3=0,65, Q4=0,79, Q5=0,9, Q6=0,95. Таким образом, для обеспечения 90% принятия заявок требуется пять телефонных номеров.

Пример 2. (СМО с отказами). На строительном участке в инструментальной мастерской работают два мастера. Если рабочий заходит в мастерскую, когда оба мастера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Статистика показала, что среднее число рабочих, обращающихся в мастерскую в течение часа, равно l = 18; среднее время, которое затрачивает мастер на заточку или ремонт инструмента, равно Тср = 10 мин.

Оценить основные характеристики работы мастерской как СМО с отказами. Сколько мастеров должно работать в мастерской, чтобы вероятность обслуживания рабочих была выше 85%?

Решение

1. Оценим основные характеристики работы мастерской как СМО с отказами (рис.2).

Рис. 2. Вычисления по формулам Эрланга

1. Вводим значения параметров l = 18 и в ячейки C2 и C3.
2. Вычисляем значение нагрузки на систему по формуле в ячейке C4.
3. Вводим в ячейки B7:B16 возможные значения числа каналов n от 1 до 10.
4. Вычисления в Excel по формулам Эрланга организуем следующим образом.
5. В ячейку C7 вводим формулу: =1+C4.
6. В ячейку C8 вводим формулу: =C7+СТЕПЕНЬ($C$4;B8)/(ФАКТР(B8)).
7. Копируем эту формулу в ячейки C9:C16. Функции СТЕПЕНЬ (число; степень) и ФАКТР (число) можно ввести с клавиатуры или вызвать с помощью Мастера функций, вызвав категорию Математические.
8. Для каждого значения n от 1 до 10 вычисляем вероятность P0 по формуле:

.

9. В ячейку D7 вводим формулу: =1/C7.
10. Копируем эту формулу в ячейки D9:D16.
11. Для каждого значения n от 1 до 10 вычисляем вероятность Ротк по формуле:

.

12. В ячейку E7 вводим формулу: =D7*СТЕПЕНЬ($C$4;B7)/(ФАКТР(B7)).
13. Копируем эту формулу в ячейки E9:E16.
14. Вычислим также некоторые основные характеристики данной мастерской как СМО с отказами при n = 2 (рис.3).
15. Относительная пропускная способность B, т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена, вычисляется по формуле:

   (в ячейку B20 вводим   =1-B19).

16. Абсолютную пропускную способность A получим, умножая интенсивность потока заявок l на B:

   (в ячейку B22 вводим   =C2*B20).

17. Среднее число занятых каналов M вычисляется по формуле:

   (в ячейку B24 вводим   =B22/C3).

Рис. 3. Вычисление некоторых характеристик СМО с отказами

2. Определим, сколько мастеров должно работать в мастерской, чтобы вероятность обслуживания рабочих была выше 85%.

Анализируя полученные значения вероятностей Ротк в ячейках E7:E16, получаем вывод: если в мастерской будут работать 5 мастеров, то вероятность обслуживания рабочих будет выше 85%, так как вероятность отказа в обслуживании в этом случае Ротк » 11%.

Ответ. 1. Основные характеристики работы мастерской как СМО с отказами:

вероятность отказа в обслуживании рабочего в мастерской: Ротк » 53%;

относительная пропускная способность мастерской: B » 47%;

абсолютная пропускная способность: A » 8,5 рабочих в час (в среднем);

среднее число занятых мастеров: M » 1,4.

2. Если в мастерской начнет работать пять мастеров, то вероятность обслуживания рабочих будет выше 85%.

 

Пример 3. (СМО с ожиданием)

Мастерская имеет n = 2 рабочих места для обслуживания клиентов. Поток заявок (клиентов) является простейшим потоком с плотностью λ =3 [заявки  в  час].  Среднее время обслуживания одного клиента Тоб=0,6 [час]. Клиент, заставший все рабочие места, занятыми, становится в очередь и может ждать неограниченное время, пока его не обслужат.

 

Решение:

 

В    системе  будет  существовать установившийся   режим   если   р   <  n,  что выполняется. 1,8<2.

Для определения Р оч и Lоч найдем величину Рo - вероятность того, что все каналы свободны, по формуле

 

 

Для нашего случая:

 

 

Величины Роч и Lоч вычисляются по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим вероятность наличие очереди:

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения.

 

1. Система обслуживания представляет собой автоматическую телефонную станцию, которая может обеспечить не более трех переговоров одновременно. Заявка-вызов, поступившая в тот момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает систему. В среднем на станцию поступает 0,8 вызовов в минуту, а средняя продолжительность одних переговоров равна 1,5 минуты. Для стационарного режима функционирования системы необходимо определить: а) вероятности состояний системы; б) абсолютную и относительную пропускные способности; в) вероятность отказа; г) среднее число занятых каналов. (Решение данной задачи и последующих, производится аналогично решению задачи: Пример 2)
2. Автозаправочная станция имеет одну бензоколонку с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более трех автомашин одновременно. Если в очереди на заправку уже находятся три автомашины, то очередная автомашина, прибывшая на станцию, проезжает мимо. В среднем на заправку прибывает одна автомашина в минуту, а сам процесс заправки в среднем длится 1,25 минуты. Для стационарного режима функционирования автозаправочной станции необходимо определить: а) вероятность отказа; б) относительную и абсолютную пропускные способности; в) среднее число автомашин в очереди на заправку; г) среднее число автомашин, находящихся на автозаправочной станции; д) среднее время ожидания в очереди; е) среднее время пребывания автомобиля на автозаправочной станции.
3. Найдите решение задачи 2, если в ее условия внесены следующие изменения: автозаправочная станция располагает двумя бензоколонками; в среднем на автозаправочную станцию прибывает две автомашины в минуту; в среднем время обслуживания — две автомашины в минуту.
4. Рабочий обслуживает три однотипных станка. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час, а процедура наладки занимает в среднем 10 минут. В стационарном режиме функционирования системы нужно определить: а) вероятность занятости рабочего; б) абсолютную пропускную способность рабочего; в) среднее количество неисправных станков; г) среднюю относительную потерю производительности обслуживаемых станков за счет неисправностей.

 

 

 

 

Заключение

Выше были рассмотрены примеры простейших систем массового обслуживания (СМО). Понятие «простейшие» не означает «элементарные». Математические модели этих систем применимы и успешно используются в практических расчетах.

Возможность применения теории принятия решений в системах массового обслуживания определяется следующими факторами:

1. Количество заявок в системе (которая рассматривается как  СМО) должно быть достаточно велико (массово).

2. Все заявки, поступающие на  вход СМО, должны быть однотипными.

3. Для расчетов по формулам  необходимо знать законы, определяющие  поступление заявок и интенсивность  их обработки. Более того, потоки  заявок должны быть Пуассоновскими.

4. Структура СМО, т.е. набор поступающих  требований и последовательность  обработки заявки, должна быть  жестко зафиксирована.

5. Необходимо исключить из системы  субъектов или описывать их  как требования с постоянной  интенсивностью обработки.

К перечисленным выше ограничениям можно добавить еще одно, оказывающее сильное влияние на размерность и сложность математической модели.

6. Количество используемых приоритетов  должно быть минимальным. Приоритеты  заявок должны быть постоянными, т.е. они не могут меняться в  процессе обработки внутри СМО.

В ходе выполнения работы была достигнута основная цель – изучен основной материал «СМО с ограниченным временем ожидания» и «Замкнутые СМО», которая была поставлена преподавателем учебной дисциплины. Также мы ознакомились применением полученных знаний на практике, т.е. закрепили пройденный материал.

В работе приведена задача, которая решается с помощью теории массового обслуживания. Требовалось оценить основные характеристики инструментальной работы мастерской как СМО с отказами  и определить сколько мастеров должно работать в мастерской, чтобы вероятность обслуживания рабочих была выше 85%. Для этого было необходимо рассчитать: вероятность отказа в обслуживании рабочего в мастерской, относительную пропускную способность мастерской, абсолютную пропускную способность, среднее число занятых мастеров. Для решения задачи использовалась среда MS Excell. На основе полученных показателей было выявлено ,что если в мастерской начнет работать пять мастеров, то вероятность обслуживания рабочих будет выше 85%.

 

 

 

 

 

Список использованных источников

 

1 Новикова  Н.В., Экономико-математические методы и модели, Конспект лекций.: Минск 2010; http://www.bibliofond.ru/view.aspx?id=602410

2 Ким Е.Р., Математические модели систем массового обслуживания.: Алматы 2008;  http://irbis.ppi.kz/cgi-bin/irbis64r_91/cgiirbis_64.exe?C21COM=2&I21DBN=CIFK&Image_file_name=Z:\RUS\Kim_matem_modeli.pdf&IMAGE_FILE_OPEN=1&P21DBN=CIFK&Z21ID=

3 Гнеденко  Г.В., Коваленко И.Н. Введение в  теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987,  http://mexalib.com/view/31577

ПО: Microsoft Excel