Минимизация логических функций

Для двух оставшихся получаем в ⋅ с и а ⋅ с ; т.е. ту переменную, которая

повторяется дважды – один раз «0», другой «1» - исключаем, а ту, которая не

меняется, оставляем. Сокращенная ДНФ функции у ==а⋅в∨а⋅с∨в⋅с.

   Заметим, что если для функции п переменных, заданных своей таблицей

истинности, все возможные наборы переменных можно представить как

вершины п-мерного куба со стороной равной 1 (всего вершин будет 2п) в

«уравнения» этих прямых или гиперплоскостей, проведенные через те

вершины, на которых значение функции равно 1. Карты Карно позволяют эти

геометрические идеи использовать при п = 3, 4, 5, для функций, заданных

своей таблицей истинности. При больших п карты Карно практически не

используются. Надо учесть, что в карте Карно можно объединить клетки в крайних строках (таблица 8), рассматривая карту как цилиндр, и даже в углах, рассматривая карту как шар (таблица 9).

 

 

 

 

 

 

 

    Таблица 8

 

Таблица 9

 

 

Реализация функций алгебры логики схемами

Рассмотрим построение электрических схем на логических элементах, реализующих простейшие логические функции (рис. 2).

Словесное определение функциям можно дать следующее:

        1) Элемент И – на выходе появится «1», если на входе а И выходе в будет

«1», в остальных случаях на входе «0», т.е. функция равна 0.

2) Элемент ИЛИ – на выходе появится «1», если ИЛИ на входе а, ИЛИ

на входе в будет «1».

3) Элемент НЕ – состояние выхода всегда будет противоположно

(инверсно) состоянию входа, т.е. на входе НЕ то, что на входе.

Рис. 2. Изображения логических элементов и таблицы истинности:

а – конъюнкция (элемент И), б – дизъюнкция (элемент ИЛИ), в – отрицание (элемент НЕ) С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у схем бывает от двух до восьми входов и один или два выхода. Чтобы представить два логических состояния «1» и «0» в схемах, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения, например, +5 вольт и 0 вольт. Высокий уровень обычно соответствует значению «истина» («1»), а низкий - значению «ложь» («0»).

Пример 3. Составить электрическую схему, реализующую функцию

мажоритарной системы подсчета голосов, т.е. системы, дающей сигнал «1» на выходе, если более половины сигналов на входе «1» (пример 2).

Схема, соответствующая СДНФ у = а ⋅ в ⋅ с ∨ а ⋅ в ⋅ с ∨ а ⋅ в ⋅ с ∨ а ⋅ в ⋅ с , представлена на рисунке 3, а.

После минимизации функции схема, соответствующая сокращенной ДНФ, представлена на рисунке 3, б.

    Таким образом, если исходное выражение требовало для реализации 8

элементов (четыре элемента «И», три элемента «НЕ» и один элемент «ИЛИ») при общем числе входов 19, то упрощенное выражение требует три элемента «И» и один элемент «ИЛИ» при общем числе входов 9. Сложность устройства уменьшена вдвое, если судить по числу входов 15

 

Рис.3. Электрические схемы, соответствующие исходной СДНФ (а) и

сокращенной ДНФ (б) заданной логической функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы, можно сделать вывод, что достаточно простые логические функции в автоматике решают с помощью специальных устройств – логических элементов. Таким образом логические элементы в булевой алгебре могут принимать только два значения: «истинно» или «ложно». В цифровой электронике им присвоены значения «1», т.е. полный сигнал на выходе и «0», т.е. полное отсутствие сигнала на выходе. Следовательно, мы приходим к выводу, что с помощью простой арифметики и логики можно добиться необходимого результаты. Упрощения функций можно добиться с помощью математики или же чаще всего используется карта Карно. Подводя итоги анализа, следует отметить, что с упрощенной функцией можно облегчить схему устройства. Из всего сказанного следует вывод, что в современной электронике используются логические элементы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Новиков Ю.В., Основы цифровой схемотехники. Базовые элементы и схемы. Методы проектирования. – М.: Мир, 2001. – 379с., ил.
2. Угрюмов Е.П. Цифровая схемотехника. - СПб: BHV - Санкт-Петербург, 2000 г
3. Малышев А.А. Основы цифровой техники.- М.: Радио и связь.- 1984
4. Новожилов О.П. Основы цифровой техники. М., РадиоСофт, 2004.
5. Новиков Ю.В. Основы цифровой схемотехники. Базовые элементы и схемы. Методы проектирования. М., Мир, 2001.