Методы математического анализа

Метод дифференциального исчисления

При проведении факторного анализа  находит применение также метод  дифференциального исчисления. Последний  предполагает, что общее изменение  функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из которых исчисляется  как произведение определенной частной  производной на приращение переменной, по которой определена эта производная. Определим влияние отдельных  факторов на обобщающий показатель, используя  в качестве примера функцию от двух переменных.

Задана функция Z = f(x,y). Если эта функция является дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:

Поясним отдельные элементы этой формулы:

ΔZ = (Z₁ - Z₀) - величина изменения функции;

Δx = (x₁ - x₀) — величина изменения одного фактора;

Δy = (y₁ - y₀) -величина изменения другого фактора;

- бесконечно малая величина более  высокого порядка, чем

В данном примере влияние  отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:

ΔZ_x = δZ / δx · Δx; ΔZ_y = δZ / δy · Δy.

Сумма влияния обоих этих факторов — это главная, линейная относительно приращения данного фактора  часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегральный метод экономического анализа

Одним из таких способов (методов) является интегральный. Он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.

В условиях применения интегрального  метода имеется возможность получения  более обоснованных результатов  исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки: 1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические; 2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора. При использовании же интегрального метода этот прирост делится поровну между всеми факторами.

Интегральный метод устанавливает  общий подход к решению моделей  различных видов, причем независимо от числа элементов, которые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между этими  элементами.

Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в  своей основе суммирование приращений функции, определенной как частная  производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.

В процессе применения интегрального  метода необходимо соблюдение нескольких условий. Во-первых, должно соблюдаться  условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента  берется какой-либо экономический  показатель. Во-вторых, функция между  начальной и конечной точками  элементарного периода должна изменяться по прямойГ_е . Наконец, в третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов

d_y / d_x = const

При использовании интегрального  метода исчисление определенного интеграла  по заданной подынтегральной функции  и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной  программе с применением современных  средств вычислительной техники.

Если мы осуществляем решение  мультипликативной модели, то для  расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:

Z=xy;      ΔZ(x) = y₀ *Δx + 1/2Δx *Δy      Z(y)=x₀ * Δy +1/2Δx * Δy

При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:

Z=x /y;      ΔZ(x) = Δx/Δy Ln y1/y0      ΔZ(y)=ΔZ - ΔZ(x)

Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального  метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами  таких задач могут служить  анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических  показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач  имеет место в условиях наличия  информации об изменении анализируемых  факторов в течение данного периода. К этому типу задач относятся  вычисления, связанные с изучением  временных рядов экономических  показателей.

Вариационное  исчисление

 

Вариационное  исчисление является классическим математическим аппаратом анализа динамических систем. В экономике динамические системы возникают тогда, когда  управление представляет собой не однократное  воздействие, а функцию времени. Одним из основных объектов изучения в вариационном исчислении является вариация, которая представляет собой  естественное бесконечномерное обобщение  дифференциала. Суть обобщения состоит  в том, что дифференциал берется  по отношению к функции одной  или нескольких переменных, а вариация – по отношению к функционалу, т.е. функции, областью определения  которой является множество функций.

В экономических задачах потребность  в вариационных методах возникает, в частности, тогда, когда требуется  максимизировать суммарную прибыль  за определенный промежуток времени, причем, размер прибыли зависит от управления как функции времени. В общем  случае наиболее адекватным математическим аппаратом в таких задачах  является теория оптимального управления. Но если ограничения на управление являются не очень сложными, то задача оптимального управления превращается в задачу вариационного исчисления и может исследоваться классическими, хорошо изученными методами.