Метод временного ряда на примере продажи акций

Аналитические методы основаны на применении метода наименьших квадратов к динамическому  ряду и представлении закономерности развития явления во времени в  виде уравнения тренда, то есть математической функции уровней динамического  ряда (y) от факторного времени (t): y=f(t).

Аналитическое сглаживание позволяет не только определить общую тенденцию изменения  явления на рассматриваемом отрезке  времени, но и выполнять расчеты  для таких периодов, в отношении  которых нет исходных данных.

Адаптивные  методы используются в условиях сильной  колеблемости уровней динамического  ряда и позволяют при изучении тенденции учитывать степень  влияния предыдущих уровней на последующие  значения динамического ряда. К адаптивным методам относятся методы скользящих и экспоненциальных средних, метод  гармонических весов, методы авторегрессионных  преобразований.

Цель  адаптивных методов заключается  в построении самонастраивающихся  моделей, способных учитывать информационную ценность различных членов временного ряда и давать достаточно точные оценки будущим членам данного ряда. ТС

Прогноз получается как экстраполяция последней  тенденции. В разных методиках прогнозирования  процесс настройки (адаптации) модели осуществляется по-разному, и можно  выделить:

1. метод скользящей средней (адаптивной фильтрации, метод Бонса-Дженкинса);
2. метод экспоненциального сглаживания (методы Хольда, Брауна, экспоненциальной средней).

Скользящие  средние представляют собой средние  уровни за определенные периоды времени  путем последовательного передвижения начала периода на единицу времени. При простой скользящей средней  все уровни временного ряда считаются  равноценными, а при исчислении взвешенной скользящей средней каждому уровню в пределах интервала сглаживания  приписывается вес, зависящий от расстояния данного уровня до середины интервала сглаживания.

Особенность метода экспоненциального сглаживания  в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используется только значения предыдущих уравнений, взятых с определенным весом. Смысл экспоненциальных средних состоит в нахождении таких средних, в которых влияние  прошлых наблюдений затухает по мере удаления от момента, для которого определяется средние.

Глава 3. Модель временного ряда на примере продажи акций

 

Рассмотрим пример на основе  данных цен продажи акций.  Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания был принят равным пяти дням. Нужно было рассчитать:

• экспоненциальную скользящую среднюю;
• момент;
• скорость изменения цен;
• индексы %R, %К и %D.

 

Расчеты проводились  для дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных, приведенных в раздаточном материале

Таблица 1

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	998	970	982
2	970	922	922
3	950	884	902
4	880	823	846
5	920	842	856
6	889	840	881
7	930	865	870
8	890	847	852
9	866	800	802
10	815	680	699

Решение.

Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА). При расчете ЕМА учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания. Однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:

,

где k=2/(n+1), n – интервал сглаживания;

C_t – цена закрытия t-го дня;

ЕМА_t – значения ЕМА текущего дня t.

Составим  таблицу рассчитанных значений ЕМА:

Таблица 2

t	Цена закрытия, Ct	EMAt
1	982	-
2	922	-
3	902	-
4	846	-
5	856
6	881
7	870
8	852	874,9926
9	802	850,6617
10	699	800,1078

Приведем  алгоритм расчета.

1. Выбрать интервал сглаживания n (в нашем случае n = 5).
2. Вычислить коэффициент k (k= 2/(n + 1) = 2/(5 + 1) = 1/3).
3. Вычислить МА для первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5 дней. Сумму разделим на 5 и запишем в графу ЕМА_t за 5-ый день.
4. Перейти на одну строку вниз по графе ЕМА_t. Умножить на k данные по конечной цене текущей строки.
5. Данные по ЕМА_t за предыдущий день взять из предыдущей строки и умножить на (1- k).
6. Сложить результаты, полученные на предыдущих двух шагах. Полученное значение ЕМА_t записать в графу текущей строки.
7. Повторить шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы.

Построим  график ЕМА_t.

 

 

 

 

Вывод: Выявление общей тенденции ряда динамики можно произвести путем сглаживания ряда динамики с помощью скользящей средней.

Скользящая  средняя - подвижная динамическая средняя, которая рассчитывается по ряду при  последовательном передвижении на один интервал, то есть сначала вычисляют  средний уровень из определенного  числа первых по порядку уровней  ряда, затем - средний уровень из такого же числа членов, начиная  со второго. Таким образом, средняя  как бы скользит по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз  отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.

Особенность метода экспоненциального сглаживания  в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используется только значения предыдущих уравнений, взятых с определенным весом. Смысл экспоненциальных средних состоит в нахождении таких средних, в которых влияние  прошлых наблюдений затухает по мере удаления от момента, для которого определяется средние.

Исходя  из расчетов можно сделать вывод, что экспоненциальная скользящая средняя  за n-ый  день,  зависит от скользящей средней в предыдущий день n-1.

 

Момент (МОМ). Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня C_t и цены n дней тому назад C_t-n.

,

где C_t – цена закрытия t-го дня;

МОМ_t – значения МОМ текущего дня t.

Составим  таблицу рассчитанных значений МОМ:

 

Таблица 3

t	Цена закрытия, Ct	МОМt
1	982	-
2	922	-
3	902	-
4	846	-
5	856	856-982 = -126
6	881	881-922 = -41
7	870	870-902 = -32
8	852	852-846 = 6
9	802	802-856 = -54
10	699	699-881 = -182

Построим  график МОМ_t.

Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные  – о снижении. Движение графика  момента вверх из зоны отрицательных  значений является слабым сигналом покупки  до пересечения с нулевой линией. График момента пересекает нулевую  линию в районе 7-8-го дня, а затем  снова снижатся.

Скорость изменения  цен. Похожий индикатор, показывающий скорость изменения цен (ROC), рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

,

где C_t – цена закрытия t-го дня;

RОC_t – значения RОC текущего дня t.

Составим  таблицу рассчитанных значений RОC:

Таблица 4

t	Цена закрытия, Ct	RОCt, %
1	982	-
2	922	-
3	902	-
4	846	-
5	856	856 / 982·100 = 87,17
6	881	881 / 922·100 = 95,55
7	870	870 / 902·100 = 96,45
8	852	852 / 846·100 = 100,71
9	802	802 / 856·100 = 93,69
10	699	699 / 881·100 = 79,34

Построим  график RОC_t.

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Графическое отображение и правила работы ничем не отличаются от момента. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Этот индикатор также показал сигнал к покупке в районе 7-8-го дня.

Стохастические линии. Если МОМ, ROC используют только цены закрытия, то стохастические линии строятся с использованием более полной информации. При их расчете используются также максимальные и минимальные цены. Как правило, применяются следующие стохастические линии: %R, %К и %D.

,

где %К_t – значение индекса текущего дня t;

C_t – цена закрытия t-го дня;

L₅ и H₅ – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий (в качестве интервала может быть выбрано и другое число дней).

Похожая формула используется для  расчета %R:

,

где %R_t – значение индекса текущего дня t;

C_t – цена закрытия t-го дня;

L₅ и H₅ – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины (C_t - L₅) и (H₅ - L₅) сглаживают, беря их трехдневную сумму.

Ввиду того что %D имеет большой статистический разброс, строят еще ее трехдневную скользящую среднюю – медленное %D.

Составим  таблицу 5 для нахождения всех стохастических линий.

1. В графах 1-4 приведены дни по порядку и соответствующие им цены (максимальная, минимальная и конечная).
2. Начиная с 5-го дня в графах 5 и 6 записываем максимальную и минимальную цены за предшествующие 5 дней, включая текущий.
3. В графе 7 записываем (C_t - L₅) – разность между данными графы 4 и графы 6.
4. Графу 8 составляют значения разности между данными графы 5 и графы 4, т.е. результат разности (H₅ - C_t).
5. Размах цен за 5 дней (H₅ - L₅) – разность между данными графы 5 и графы 6 записываем в графу 9.
6. Рассчитанные по формуле значения %K заносим в графу 10.
7. В графу 11 заносим значения %R, рассчитанные по формуле.
8. Шаги 2-7 повторяем для 6-й, 7-й строки и т.д. до конца таблицы.
9. Для расчета %D, начиная с 7-й строки, складываем значения C_t - L₅ из графы 7 за 3 предыдущих дня, включая текущий (t=5, 6 и 7), и записываем в графе 12. Аналогично значения размаха (H₅ - L₅) из графы 9 складываем за 3 предшествующих дня и заносим в графу 13.
10. По формуле, используя данные граф 12 и 13, рассчитываем %D и записываем в графу 14.
11. Шаги 9 и 10 повторяем для 8-й, 9-й и 10-й строк.
12. Медленное %D находим как скользящую среднюю от %D (данные берем из графы 14) с интервалом сглаживания, равным трем. Результат записываем в графу 15.  Составим таблицу 5: