Линейные регрессионные уравнения

Предположим, что нами оценена модель (2.10)

   (2.20)

Значимость регрессионной  модели (2.20) в целом определяется согласно критерию

(m, n-m-1),

где - критическое значение, вычисленное по таблицам Приложения В при уровне значимости и числах степеней свободы m и n-m-1. Статистика F связана с коэффициентом детерминации соотношением

.        (2.21)

Пусть корреляционный и  регрессионный анализы модели (2.20), а также сокращенных версий, получающихся после последовательного удаления из исходной модели на наш взгляд несущественных переменных привели нас к модели

   (2.22)

Значимость суммарного вклада исключенных переменных можно проверить с помощью F-статистики

       (2.23)

которую в данном случае можно переписать в эквивалентной  форме

       (2.24)

Если выполняется неравенство

        (2.25)

где – критическое значение, равное соответствующему квантилю распределения Фишера при уровне значимости α и числах степеней свободы m-l и n-m-1, то мы делаем вывод о значимости совместного вклада исключенных переменных в “длинную” регрессию (2.20). В этом случае “короткая” регрессия (2.22) должна быть скорректирована, спецификация переменных должна быть пересмотрена заново.

2.5 Корреляционный анализ заданного  процесса

Проведем корреляционный анализ системы «показатель-факторы» для заданного варианта задания.

Сначала вычислим полную корреляционную матрицу, составленной из выборочных парных коэффициентов  корреляции (2.2). Для этого необходимо провести некоторые предварительные расчеты.

Матрица из (2.1) примет вид:

A	-168,19	-66,0522	-81,8	-58,3511
	-125,42	-44,5422	-66,8	-46,8811
	-80,8	-29,1822	-38,62	-29,6311
	-53,24	-20,2922	-27,5	-17,7411
	5,44	-3,69222	-3,83	1,338889
	18,36	7,847778	26,73	17,97889
	67,82	31,93778	48,54	31,25889
	143,78	54,91778	62,75	37,97889
	192,25	69,05778	80,53	64,04889
	200,61	75,87778	97,72	70,47889

 

Зная  можно рассчитать матрицу :

T=A'A	156224,5	58818,39	74590,2	53402,76
	58818,39	22247,9	28259,81	20158,18
	74590,2	28259,81	36458,37	25958
	53402,76	20158,18	25958	18609,52

Используя которую, с  помощью формулы (2.3), можно рассчитать полную корреляционную матрицу  :

K	1	0,997686	0,988345	0,990425
	0,997686	1	0,992261	0,990693
	0,988345	0,992261	1	0,996563
	0,990425	0,990693	0,996563	1

Анализ матрицы  свидетельствует о сильной значимости всех выборочных парных коэффициентов корреляции, ввиду высоких значений парных коэффициентов корреляции, являющихся элементами этой матрицы.

Систему «показатель-факторы» будем характеризовать выборочными  частными коэффициентами корреляции (2.5). Для их вычисления рассчитаем значения матрицы из (2.4):

Z	375,4808	-390,494	210,561	-194,863
	-390,494	473,1185	-267,546	184,666
	210,561	-267,546	299,0196	-241,481
	-194,863	184,666	-241,481	251,701

Зная ее, согласно формуле (2.5), рассчитаем искомые частные  коэффициенты корреляции. Вычисления дают

Для того, чтобы определить, какие факторы значимо влияют на изучаемый показатель найдем . При уровне значимости и числе степеней свободы находим . Тогда из критерия (2.6) видим, что фонд заработной платы и материальные затраты на выпуск продукции незначимо влияют на стоимость выпущенной продукции Y.

Проанализируем теперь систему «факторы».

Матрица из (2.7) будет иметь вид:

 

R	1	0,992261	0,990693
	0,992261	1	0,996563
	0,990693	0,996563	1

Тогда, рассчитав матрицу

,

через элементы которой  выражаются выборочные частные коэффициенты корреляции системы «факторы», получим:

F	67,01061	-48,5654	-17,9884
	-48,5654	180,9418	-132,207
	-17,9884	-132,207	150,5732

и по формуле (2.8) найдем матрицу

R*	1	-0,44105	-0,17908
	-0,44105	1	-0,80096
	-0,17908	-0,80096	1

 

 

 

элементы которой указывают  на наличие в линейной модели проблемы мультиколлинеарности, поскольку значения =0,8009 превосходят n-m=7).

Но так как факторы  х2,х3 незначимы,их можно исключить из линейной модели, что ,возможно, позволит избежать проблемы мультиколинеарности и присутствия в модели незначимых факторов.

Тогда вместо модели  
(1.22) следует употребить двухфакторную функцию регрессии (1.21). В этом случае система показатель-факторы будет иметь вид :

{Y,x1,x2}

Проводя расчеты получим :

а)частные коэффициенты корреляции равны

При уровне значимости и числе степеней свободы находим . Видим что х2 незначимо влияет на стоимость выпущенной продукции Y.

Проанализируем теперь систему «факторы».

Матрица  будет иметь вид:

R*	1	-0,99226
	-0,99226	1

Элементы указывают на наличие в линейной модели проблемы мультиколлинеарности, поскольку значения =0,99226 превосходят n-m=8).

Таким образом исключение из модели фактора х3 не решает проблему мультиколиниарности в системе .

 

 

Убедимся теперь, что  регрессионный анализ линейной модели приведет к аналогичным результатам. Модель (1.22) имеет вид:

Y = 34.258 + 2.756x₁ - 1.161x₂ + 1.504x₃ + U, 

Рассчитав отклонение функции регрессии от заданных значений показателя Y, с помощью формулы (2.16) найдем

.

Воспользовавшись результатами предыдущих расчетов из главы один, найдем

∑ = D(a)	2131,794	-28,9963	-27,8553	67,92509
	-28,9963	1,25286	-0,70926	-0,36785
	-27,8553	-0,70926	2,064563	-2,11187
	67,92509	-0,36785	-2,11187	3,367777

 

откуда, согласно (2.17)

.

Тогда уравнение регрессии  перепишется в виде

, R² = 0.9972.

Проверим значимость коэффициентов уравнения регрессии с помощью критерия (2.19), для чего при и находим . Тогда, проверяя критерий (2.19) находим, что коэффициенты при х2, х3 незначимы, что говорит о незначимости вклада этих факторов в уравнение регрессии. Заметим, что этот результат совпадает с результатами корреляционного анализа, и свидетельствует о правильности проведения расчетов.

Проверим значимость регрессионной модели в целом, которая  определяется согласно критерию (2.21). Получим:

что намного превосходит  , найденное при степенях свободы и , и значит уравнение регрессии в целом значимо.

 

3. Многофакторные производственные функции

3.1 Производственная функция Кобба - Дугласа

Функция

,         (3.1)

называется производственной функцией Кобба-Дугласа. Для нее  эластичность замещения ресурсов E=1, т.е. при увеличении капиталовооруженности производства на 1% предельная норма их замещения также увеличивается на 1% независимо от объемов используемых ресурсов.

Для функции Кобба-Дугласа  предельные производитель-ности ресурсов

   (3.2)

Коэффициенты эластичности выпуска по затратам ресурсов

.      (3.3)

Как и следовало ожидать, сумма коэффициентов эластичности

Из (3.21) следует, что предельные производительности обоих ресурсов положительны, т.е. увеличение затрат K и L приводит к росту выпуска. Предельные производительности обоих ресурсов прямо пропорциональны их средним производительностям, причем, коэффициентом пропорциональности в каждом случае служит показатель степени соответствующего ресурса.

В процессе производства, описываемом функцией Кобба-Дугласа, ресурсы взаимозаменяемы, причем с ростом затрат одного ресурса высвобождается все большее количество другого. Линии уровня функции (3.1) имеют вид, представленный на рис. 3.4.

Формула Кобба-Дугласа (3.1) является частным случаем более общей формулы:

F (K, L) =a₀K^aL^b,        (3.4)

где показатели эластичности выпуска по затратам капитала и труда 

,        (3.5)

не связаны между  собой. Можно предположить, что обе  величины a и b находятся между 0 и 1 (3.17). Показатели a и b больше нуля, так как увеличение затрат ресурсов K и L должно вызвать рост выпуска Y. С другой стороны, a и b меньше единицы, так как разумно предположить, что увеличение затрат K и L приводит к более медленному росту выпуска продукции (затраты других ресурсов предполагаются постоянными).

Производственная функция Кобба–Дугласа (3.5) является однородной (3.12), причем

F (lK, lL) = a₀(lK)^a (lL)^b = l^a+bF (K, L).    (3.6)

Если по отдельности  показатели эластичности a и b указывают на процентное увеличение (или уменьшение) выпуска Y при однопроцентных колебаниях величин капитала K и труда L, то сумма a + b, согласно (3.6), отразит уже общую реакцию производства на указанные изменения затрат. Степень однородности n = a + b характеризует эффект от масштаба производства.

Пусть,  например, затраты K и L возросли в пропорции l=1.1, т.е. расход и капитала, и труда увеличился на 10%. Тогда новый уровень выпуска  Y₁ = (1.1)^a+bY.

При a+b=1 имеем постоянный эффект от масштаба производства (Y увеличивается в той же пропорции, что и K, и L), наблюдается постоянная отдача факторов. Если a+b>1, то рост производства превышает 10% отметку. В подобных случаях (при возрастании K и L в некоторой пропорции выпуск Y растет в большей пропорции) говорят о возрастающем эффекте от масштаба производства или положительном эффекте масштаба. Его экономический смысл заключается в повышении эффективности производства под воздействием концентрации ресурсов, кооперации труда. Если же a+b <1, то рост выпуска не достигает 10% отметки. Налицо убывающий эффект от масштаба производства (Y растет в меньшей пропорции, чем K и L) или отрицательный эффект масштаба: наращивание затрат ресурсов оборачивается снижением их продуктивности. Подобное бывает, например, при переконцентрации производства, когда его размеры выходят за оптимальные границы.