Линейная производственная задача

     2*x1+4*x2+3*x3+1*x4<=148                   2*y1+0*y2+3*y3>=31

     x1,x2,x3,x4>=0                                         5*y1+3*y2+1*y3>=10

                                                                          y1,y2,y3>=0

  Симплексная таблица N 3

	Сб	Xб	Н	24	20	31	10	0	0	0	α
1	24	Х1	38	1	-8/5	0	13/5	3/5	0		-2/5
2	0	Х6	20	0	54/5	0	-24/5	-9/5	1		6/5
3	31	Х3	24	0	12/5	1	-7/5	-2/5	0		3/5
4	–	–	1656	0	16	0	-9	-2	0		-9

 

Исходная задача: x1= 38;x2= 0;x3=24;x4=0;x5=0;x6=20;x7= 0;

Двойственная задача: y1=2; y2=0; y3=9 Заметим, что данное решение содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Экстремумы целевых функций исходной и двойственной задач равны 1656.Решение одной из пары двойственных задач можно найти, зная только ответ к другой задаче и пользуясь 2-й теоремой двойственности: если i-е ограничение одной из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть строгое неравенство, то оптимальное значение i-й переменной другой задачи равно 0, или, что то же самое - если оптимальное значение j-й  переменной одной задачи строго положительно, то  j-е ограничение другой из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть равенство.

 

Экономический смысл полученных результатов.

Смысл двойственных оценок ресурсов у1=2, у2=0, у3=9 показывает, что добавление одной единицы 1-го (2-го;3-го) ресурса обеспечит прирост прибыли на 2 (0, 9) денежных единиц.

“РАСШИВКА УЗКИХ МЕСТ“  ПРОИЗВОДСТВА. ФОРМУЛИРОВКА И СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.

При выполнении оптимальной  производственной программ первый и третий ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”. Будем заказывать их дополнительно. T=(t1, 0,t3) – вектор дополнительных объёмов ресурсов.

Итак, необходимо составить  план “расшивки узких мест“ производства, то есть указать, сколько единиц каждого из дефицитных видов ресурсов должно быть приобретено, чтобы суммарный прирост прибыли был максимальным при условии, что для расчетов используются найденные двойственные оценки ресурсов.

Так как мы используем найденные оценки ресурсов, то должно выполняться условие:

Q  (B + T) ³ 0 Û  Q  B + Q  T ³ 0  Û  H + Q  T ³0 

Итак задача состоит  в том, чтобы найти вектор  T=(t1, t2, t3) такой, что 

w = у1t1 + y2t2 + y3t3 ® max ,

где w – суммарный прирост прибыли, при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и следовательно структуры производственной программы)

H = Q  T ³ 0.

Подставив соответствующие  значения, получим требуемую математическую модель:

w=2t1+ 9t2 ® max                      (1)

38    3/5   0     -2/5  t1  0

20    +   -9/5    1               6/5       * t2       ³ 0

24   -2/5  0       13/15 0  0

предполагая, что дополнительно  можно надеяться получить не более 1/3 первоначального объёма ресурса  каждого вида, то есть

 

t1         162

t2   £  1/3   134

0         148

причём по смыслу задачи t1  ³ 0, t3 ³ 0. Перепишем неравенства в другом виде. Получим:

w=2t1 + 9t3 ® max                                                 

      -3/5t1 +  2/5t3 £38        -3t1 +  2t3 £190

      9/5t1-6/5t3       £ 20  Þ             9t1-6t3      £ 100 

      2/5t1  – 13/15t3 £ 24          2t1  – 13/3t3 £ 129              

           t1 £ 54, t3 £ 148/3   t1 £ 54, t3 £ 148/3                

Эту задачу легко решить графически: см. рис. 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По графику на рисунке 2 видно, что решение данной задачи находится в точке А(25;0). Таким образом программа «Расшивки узких мест производства» имеет вид: t1=54, t2=0, t3=64,3 и прирост прибыли составит w= 686,7

 

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.

 

Транспортная задача формулируется следующим образом. Однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах производства (хранения) в количествах   A=(а1, а2,..., аm) единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления, которым необходимо соответственно B=(b1, b2,..., bn) единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения равна C=|сij|  и известна для всех маршрутов. Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.

 

          1  2  2  5

С =  3  1  3  2 – матрица транспортных издержек

         2  4  3  1

 

      30

B=   45    -- вектор объёма ресурсов

          54

 

 

A= (24; 20; 31; 40)  -- вектор объёма потребления

 

В нашей задаче 4 потребителя  и 3 поставщика, причём суммарный объем  поставок равный 129 превышает суммарный  объем потребления равный 115. Поэтому  для решения задачи  ведём дополнительно  ещё одного потребителя, с потреблением равным 14.

Имеем:

по\пн	24	20	31	40	Ф 14	Р
30	1         1     24 0	2         2      6 0	4         2      * 2	2         5      -3	1         0      1	P1=0
45	0         3      -3	1         1      14 0	3         3      31 0	1         2      -1	0         0      0	P2=-1
54	0         2      -2	1         4      -3	3         3     0	1         1     40 0	0         0     14 0	P3=-1
q	q1=1	q2=0	q3=2	q4=0	q5=-1

 

Ĉij   Cij      xij Dij

Cij-тарифная стоимость перевозки 1 единицы груза;

Ĉij-фактическая стоимость перевозки 1 единицы груза;

Dij-условие оптимальности;

рi-платежи за единицу груза в пункте отправления;

pj- платежи за единицу груза в пункте назначения

pi + qj = Cij

Для заполненных (базисных)клеток : Ĉij=Cij

Для пустых: Xij=0

Lопорная=24*1+6*2+14*1+31*3+40*1=183(общая сумма затрат)

Проверка на оптимальность

Т.к. не все Dij £ 0, то мы еще не нашли оптимальное решение.

Далее выбираем пустую клетку таблицы с максимальной переплатой Dij³0.

Вней будет вершина  цикла, а остальные должны быть в  занятых клетках. Строим следующую таблицу.

по\пн	24	20	31	40	Ф 14	Р
30	1         1     24 0	0         2      -2	2         2      6 2	0         5      -5	-1         0      -1	P1=0
45	0         3      -3	1         1      20 0	3         3      25 0	1         2      -1	0         0      0	P2=1
54	2         2      0	1         4      -3	3         3     0 0	1         1     40 0	0         0     14 0	P3=1
q	q1=1	q2=0	q3=2	q4=0	q5=-1

 

Итак, выполняется условие  оптимальности: Dij £ 0, и мы получили оптимальный план затрат.

Lоптим.= 24*1+6*2+20*1+25*3+40*1=171

LD=183-171=12

МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ.

Решение задачи планирования с учётом пропорций оказалось  не целочисленным, следовательно следует решить задачу методом ветвей и границ, для нахождения целочисленных решений.

 P(x) = x₁ + 3x₂®max

   14x₁ + 9x₂ £ 51

   -6x₁ + 3x₂  £ 1

   x₁ ³ 0, x₂³ 0

решение:

x₁ = 1.56, x₂ = 3.45, P(x)_max = 11.5

См. график на рисунке

 

         P(x) = x₁ + 3x₂®max                                P(x) = x₁ + 3x₂®max

    G₁        =   14x₁ + 9x₂ £ 51  G₂ =   14x₁ + 9x₂ £ 51

     -6x₁ + 3x₂  £ 1    -6x₁ + 3x₂  £ 1        

                x₁ £ 1                x₁ ³ 2

Решение: x₁ = 1; x₂ =7/3                               Решение: x₁ = 2; x₂ =23/9

P1(x)_max = 8                                                   P2(x)_max = 9,6

Т.к. P1(x)_max >P2(x)_max

То эта задача не подходит

 

 

         P(x) = x₁ + 3x₂®max                                P(x) = x₁ + 3x₂®max

    G₃        =   14x₁ + 9x₂ £ 51  G₄ =   14x₁ + 9x₂ £ 51

    -6x₁ + 3x₂  £ 1    -6x₁ + 3x₂  £ 1        

                x₁ ³ 2; x₂ £ 2               x₁ ³ 2; x₂ ³ 3

                                                               Решение не принадлежит ОДЗ

 

         P(x) = x₁ + 3x₂®max                                P(x) = x₁ + 3x₂®max

    G₅        =   14x₁ + 9x₂ £ 51  G₆ =   14x₁ + 9x₂ £ 51

    -6x₁ + 3x₂  £ 1    -6x₁ + 3x₂  £ 1        

                x₁ =3; x₂ =1               x₁ =2; x₂ =2

P5(x)_max =6                                                   P6(x)_max = 8

Ответ: P(x)_max = 8; x₁ =2;x₂ =2

РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧИ  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ  КАПВЛОЖЕНИЙ  МЕТОДОМ  ДИНАМИЧЕСКОГО  ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

 

Динамическое программирование - это вычислительный метод для  решения задач управления определённой структуры. Данная задача с n переменными представляется как много шаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.