Линейная алгебра

1. Линейная алгебра и  аналитическая геометрия

01 – 10. В пирамиде SABC треугольник ABC – основание, точка S - вершина  пирамиды. Известны координаты точек A, B, C и S. Найти:

1) угол между ребрами  SA и BC;

2) площадь основания пирамиды;

3) уравнение прямой SC;

4) уравнение плоскости  основания ABC;

5) угол наклона прямой SC к основанию пирамиды;

6) объем пирамиды;

7) длину высоты ВН пирамиды.

08. А (0, 6, 3), В (4, 5, 1), С (1, 5, 4), S (1, 2, 5).

Решение.

1) Угол φ между векторами  и находят по формуле:

Найдем координаты векторов  и :

 

Тогда

2) Площадь грани находится  по формуле  где –векторное произведение векторов.

 Тогда:

3) Канонические уравнения  прямой, проходящей через две  точки, имеют вид:

.

Подставив координаты точек S и C, получим:

или .

4) Составим уравнение  плоскости  по формуле:

, где 

- точки данной плоскости.

В нашем случае для плоскости имеем:

  

- уравнение грани .

5) Угол наклона прямой SC к основанию пирамиды  находят  по формуле:

, где  - нормальный вектор плоскости.

Из уравнения грани .

.

Тогда .

6) Объем пирамиды находят  по формуле  , где - смешанное произведение векторов .

7) Составим уравнение плоскости .

  

- уравнение грани .

Найдем длину высоты ВН пирамиды. Для этого воспользуемся формулой

, где  - уравнение данной плоскости, - координаты данной точки.

В нашем случае - уравнение плоскости и

Итак,

 

 

 

 

2. Введение в математический  анализ

31 - 40. Найти пределы, не  пользуясь правилом Лопиталя:

38. а) б) в) г)

Решение.

а) .

В этом случае имеем неопределенность вида . Т.к. в числителе и знаменателе стоят многочлены, то для раскрытия неопределенности  необходимо числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень x из слагаемых многочленов числителя и знаменателя, т.е. на , а затем перейти к пределу:

б) .

Под знаком предела есть иррациональность в числителе дроби. Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x= –8 приводит к неопределенности вида .

Чтобы раскрыть эту неопределенность, достаточно числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, домножить на выражение, сопряженное числителю дроби:

в) .

Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x= приводит к неопределенности вида . Преобразуем, используя тригонометрические формулы:

г) .

При вычислении этого предела использована обобщенная формула второго замечательного предела и теорема о пределе показательно-степенной функции: , где конечная или бесконечно удаленная точка.

 

4. Интегральное исчисление  функции одной переменной 

81 - 90. Найти интегралы:

88. а)    б)    в)    г)

Решение.

а) .

Произведем подстановку: .

После подстановки в интеграл получим:

б) .

Применим формулу интегрирования по частям .

в) .

Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей:

Коэффициенты , найдем из условия:

 

Приравняем коэффициенты с одинаковыми степенями при у:

откуда

Таким образом,

г) .

Преобразуем подынтегральную функцию и выделим полный квадрат под знаком корня.