Контрольная работа по курсу «Экономико-математическое моделирование»

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 19 Сентября 2014 в 00:17, контрольная работа

Описание работы

Задача №1.
Молочный завод выпускает масло двух видов: крестьянское (К) и бутербродное (Б). Объем реализации масла К составляет не менее 70 % от общего объема реализации продукции обоих видов. Для производства продукции К и Б используется молоко, суточный запас которого равен 120 кг. Расход молока на килограмм масла К равен 10 кг, а на килограмм масла Б – 7 кг, цены на масло К и Б – 60 и 45 рублей соответственно.
Построить математическую модель задачи, на основании которой возможно оптимальное распределение имеющегося в наличии молока для изготовления такого количества масла К и Б, при продаже которых будет получен максимальный доход.
Задача №2.
Решить задачу линейного программирования графическим методом.
Z(х)=х1+х2+30 min

Содержание работы

Задача №1. 3
Задача №2. 4
Задача №3. 7
Задача №4. 11
Задача №5. 19
Список используемой литературы 30

Файлы: 1 файл

Kontrolnaya_rabota_EMM_1_variant.doc

— 1.19 Мб (Скачать файл)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НЕФТЕКАМСКИЙ ФИЛИАЛ

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

Экономико-математический факультет

 

Кафедра государственного управления и финансов

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по курсу «Экономико-математическое моделирование»

 

 

 

 

 

                                                           

 

 

 

 

 

 

 

Научный руководитель:

      

 

 

 

 

Нефтекамск 2013

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

с

Задача №1.

3

Задача №2.

4

Задача №3.

7

Задача №4.

11

Задача №5.

19

Список используемой литературы

30


 

 

Задача №1.

Вариант  1

Молочный завод выпускает масло  двух  видов:  крестьянское (К) и бутербродное (Б).  Объем реализации масла К составляет  не  менее  70 % от общего  объема  реализации  продукции  обоих  видов.  Для производства  продукции К  и Б  используется молоко,  суточный  запас  которого  равен  120  кг.  Расход молока  на  килограмм масла К  равен  10  кг,  а  на килограмм масла Б – 7  кг,  цены  на масло К и Б – 60  и  45  рублей  соответственно.

Построить  математическую модель  задачи,  на  основании  которой  возможно  оптимальное  распределение  имеющегося  в  наличии  молока  для  изготовления  такого  количества  масла К и Б,  при  продаже  которых  будет  получен  максимальный  доход.

 

Решение:

Искомой величиной в задаче является максимальный доход. Молочный завод выпускает два вида масла: крестьянское (К) и бутербродное (Б). Обьем продажи масла (К) не менее 70% от общего обьёма. Данные к задаче приведены в таблице.

x 1 – количество произведенного масла (К) , [кг.];

x2 – количество произведённого масла (Б), [кг.];

данные задачи в таблице:

 

 

Масло (К)

Масло (Б)

Суточный запас, кг

Расход молока на 1 кг масла

10

7

120

Обьем реализации, %

70

30

100

Цена на 1 кг масла

60

45

 

 

Целевая функция:

Целью решения задачи является оптимальное распределение имеющегося в наличии молока для изготовления такого количества масла К и Б, при продаже которых будет получен максимальный доход.

Таким образом, целевая функция имеет вид:

,

Ограничения:

Возможные объемы реализации продукций ограничиваются следующими условиями:

· расход молока на 1 кг масла (К) равен 10 кг, а масла (Б) -7 кг;

·  объём реализации масла (К) не менее 70%  объёма реализации обоих видов.

 

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид:

    ,


 

 

Задача №2.

Вариант – 1

Решить  задачу  линейного  программирования  графическим  методом.

Z(х)=х1+х2+30 min

Решение:

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = х1+х2+30 =>

min, при системе ограничений:

2x1+5x2≥12 (1)

2x1+x2≤6 (2)

x1+2x2≤0 (3)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

 

Рисунок 1 – Область допустимых значений

 

Обозначим границы области многоугольника решений.

 

Рисунок 2 – Границы области многоугольника решений

 

Рассмотрим целевую функцию задачи F=X1X2+30 => min.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = X1X2+30 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рисунок 3 – Движение прямой

Нанесем равный масштаб.

 

Рисунок 4 – Равный масштаб

 

Область допустимых значений неограниченна.

 

Задача №3.

Вариант – 21

Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.

 

Решение:

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы. 
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = - x1 - 4x2 - x3-7 при следующих условиях ограничений. 
При вычислениях значение Fc = -7 временно не учитываем. 
2x1 + 3x2 + 3x3=18 
x1 - 2x2 + x3 >= 2 
- x1 + 2x2 + x3 <= 4 
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). 
2x1 + 3x2 + 3x3 + 0x4 + 0x5 = 18 
1x1-2x2 + 1x3-1x4 + 0x5 = 2 
-1x1 + 2x2 + 1x3 + 0x4 + 1x5 = 4 
Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x6; во 2-м равенстве вводим переменную x7;  
2x1 + 3x2 + 3x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 18 
1x1-2x2 + 1x3-1x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 2 
-1x1 + 2x2 + 1x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 4 
Для постановки задачи на минимум целевую функцию запишем так: 
F(X) = -1x1-4x2-1x3+Mx4+Mx5+Mx6+Mx7 → min 
Из уравнений выражаем искусственные переменные: 
x6 = 18-2x1-3x2-3x3 
x7 = 2-x1+2x2-x3+x4 
которые подставим в целевую функцию: 
F(X) = (-1-3M)x1+(-4-M)x2+(-1-4M)x3+(M)x4+(20M) → min 
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

2

3

3

0

0

1

0

1

-2

1

-1

0

0

1

-1

2

1

0

1

0

0


 
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: 
x6, x7, x5, 
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: 
X1 = (0,0,0,0,4,18,2)

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x6

18

2

3

3

0

0

1

0

x7

2

1

-2

1

-1

0

0

1

x5

4

-1

2

1

0

1

0

0

F(X0)

20M

1+3M

4+M

1+4M

-M

0

0

0


 
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. 
Итерация №0. 
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты. 
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так 2-ая строка является ведущей. 
Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

min

x6

18

2

3

3

0

0

1

0

6

x7

2

1

-2

1

-1

0

0

1

2

x5

4

-1

2

1

0

1

0

0

4

F(X1)

20M

1+3M

4+M

1+4M

-M

0

0

0

0


Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x6

12

-1

9

0

3

0

1

-3

x3

2

1

-2

1

-1

0

0

1

x5

2

-2

4

0

1

1

0

-1

F(X1)

-2+12M

-M

6+9M

0

1+3M

0

0

-1-4M


 
Итерация №1. 
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты. 
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент, 3-ая строка является ведущей. 
Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

 

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

min

x6

12

-1

9

0

3

0

1

-3

11/3

x3

2

1

-2

1

-1

0

0

1

-

x5

2

-2

4

0

1

1

0

-1

 

F(X2)

-2+12M

-M

6+9M

0

1+3M

0

0

-1-4M

0


 
Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x6

71/2

31/2

0

0

3/4

-21/4

1

-3/4

x3

3

0

0

1

-1/2

1/2

0

1/2

x2

1/2

-1/2

1

0

1/4

1/4

0

-1/4

F(X2)

-5+71/2M

3+31/2M

0

0

-1/2+3/4M

-11/2-21/4M

0

1/2-13/4M


Итерация №2. 
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты. 
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент, 1-ая строка является ведущей. 
Разрешающий элемент равен (31/2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

min

x6

71/2

 

0

0

3/4

-21/4

1

-3/4

 

x3

3

0

0

1

-1/2

1/2

0

1/2

-

x2

1/2

-1/2

1

0

1/4

1/4

0

-1/4

-

F(X3)

-5+71/2M

3+31/2M

0

0

-1/2+3/4M

-11/2-21/4M

0

1/2-13/4M

0

Информация о работе Контрольная работа по курсу «Экономико-математическое моделирование»