Контрольная работа по "Экономико-математическому регулированию"

Условия задачи:

1.2. Симплекс-метод  с искусственным базисом (М-задача).

2.2. Совхоз  для кормления животных использует  два вида корма.

В дневном  рационе животного должно содержаться  не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Исходные данные приведены ниже.

 

Корма   Питат. вещества	Количество  питательных веществ в 1 кг корма
	1	2
А В	2 2	1 4
Цена 1 кг корма, т.руб.	0,2	0,3

 

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к  ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

4.2. Компания по продаже мототехники оценивает ежедневный спрос в 20 единиц. Годовые издержки хранения на один мотоцикл составляют 10 тыс. руб. Магазин работает 300 дней в году. Средние издержки одного заказа составляют 40 тыс. руб. Определите совокупные издержки заказа и оптимальный размер партии. Постройте график общих годовых затрат.

 

 

 

 

 

 

Решение задачи 1.2.

           Данный метод решения применяется  при наличии в системе ограничений  и условий-равенств, и условий-неравенств, и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных R_i со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами M, имеющими смысл "штрафов" за ввод искусственных переменных, а в задачи минимизации - с положительными M. Таким образом из исходной получается новая M-задача (поэтому метод искусственного базиса так же называют M-методом).

       Если в оптимальном решении М-задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении M-задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

        Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, используя метод искусственного базиса, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для функции цели: одна – для составляющей F, а другая – для составляющей M. При составлении симплекс таблицы полагают что исходные переменные являются небазисными, а дополнительные (x_n+m) и искусственные (R_i)- базисными.

         Исходная таблица для "Метода искусственного базиса" имеет следующий вид:

	x1	x2	...	xn-1	xn	b
F	-a0,1	-a0,2	...	-a0,n-1	-a0,n	-b0
xn+1	a1,1	a1,2	...	a1,n-1	a1,n	b1
xn+2	a2,1	a2,2	...	a2,n-1	a2,n	b2
Ri	ai,1	ai,2	...	ai,n-1	ai,n	bi
...	...	...	...	...	...	...
xn+m	am,1	am,2	...	am,n-1	am,n	bm
M	-∑ai,1	-∑ai,2	...	-∑ai,n-1	-∑ai,n	-∑bi

 

 

         Элементы дополнительной строки M рассчитываются как сумма соответствующих коэффициентов условий-равенств (условий в которые после приведения к каноническому виду введены переменные R_i) взятая с противоположным знаком.

 

 Алгоритм метода искусственного базиса.

 

 Подготовительный этап  

Приводим задачу ЛП  к каноническому виду

F=a_0,1x₁+a_0,2x₂+...a_0,nx_n +b₀ → max

a_1,1x₁+a_1,2x₂+...a_1,nx_n+x_n+1=b₁

a_2,1x₁+a_2,2x₂+...a_2,nx_n+x_n+2=b₂

.........................................

a_i,1x₁+a_i,2x₂+...a_i,nx_n+R_i=b_i

.......................................

a_m,1x₁+a_m,2x₂+...a_m,nx_n+x_n+m=b_m

         В случае если в исходной задаче необходимо найти минимум - знаки коэффициентов целевой функции F меняются на противоположные a_0,n= -a_0,n. Знаки коэффициентов ограничивающих условий со знаком "≥" так же меняются на противоположные. В случае если условие содержит знак "≤" или "=" - коэффициенты запишутся без изменений. К каждому условию-неравенству, при переходе к каноническому виду добавляем дополнительную переменную, x_n+m , к каждому i-му условию-равенству добавляем искусственную переменную R_i.

Шаг 0. Составляем симплексную таблицу, соответствующую исходной задаче

	x1	x2	...	xn-1	xn	b
F	-a0,1	-a0,2	...	-a0,n-1	-a0,n	-b0
xn+1	a1,1	a1,2	...	a1,n-1	a1,n	b1
xn+2	a2,1	a2,2	...	a2,n-1	a2,n	b2
Ri	ai,1	ai,2	...	ai,n-1	ai,n	bi
...	...	...	...	...	...	...
xn+m	am,1	am,2	...	am,n-1	am,n	bm
M	-∑ai,1	-∑ai,2	...	-∑ai,n-1	-∑ai,n	-∑bi

 

  

Шаг 1. Проверка на допустимость.   

         Проверяем на положительность элементы столбца b (свободные члены), если среди них нет отрицательных то найдено допустимое решение (решение соответствующее одной из вершин многогранника условий) и мы переходим к шагу 2. Если в столбце свободных членов имеются отрицательные элементы, то выбираем среди них максимальный по модулю - он задает ведущую строку k. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент a_k,l - он задает ведущий столбец - l и является ведущим элементом. Переменная, соответствующая ведущей строке исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис. Пересчитываем симплекс-таблицу согласно правилам.

         Если же среди свободных членов есть отрицательные элементы - а в соответствующей строке - нет то условия задачи несовместны и решений у нее нет.

         Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицательные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то ко второму. 

Шаг 2. Проверка на оптимальность. 

     На предыдущем этапе найдено допустимое решение. Проверим его на оптимальность. Если среди элементов симплексной таблицы, находящихся в строках M и F(не беря в расчет элемент b₀ - текущее значение целевой функции и элемент -∑b_i) нет отрицательных, то найдено оптимальное решение.

2.1 Положительность строки M

          Если в строке M есть отрицательные элементы то решение требует улучшения. Выбираем среди отрицательных элементов строки M максимальный по модулю (исключая -∑b_i)

           l - столбец в котором он находиться будет ведущим. Для того, чтобы найти ведущую строку, находим отношение соответствующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они неотрицательны.

b_k/a_k,l =min {b_i/a_i,l } при a_i,l>0, b_i>0

k - cтрока, для  которой это отношение минимально - ведущая. Элемент a_k,l - ведущий (разрешающий). Переменная, соответствующая ведущей строке (x_k) исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу (x_l) включается в базис.

          Пересчитываем симплекс-таблицу по формулам. Если в новой таблице после перерасчета в строке M остались отрицательные элементы переходим к шагу 2

          Если невозможно найти ведущую строку, так как нет положительных элементов в ведущем столбце, то функция в области допустимых решений задачи не ограничена - алгоритм завершает работу.

          Если в строке M и в столбце свободных членов все элементы положительные, то переходим к шагу 2.2.

2.2 Положительность строки F

          Проверяем на положительность элементы строки F. Если имеются отрицательные элементы (не считая b₀), выбираем среди отрицательных элементов строки F максимальный по модулю.

-a_0,l=min{-a_0,i }

           l - столбец в котором он находится будет ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответствующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они неотрицательны.

b_k/a_k,l =min {b_i/a_i,l } при a_i,l>0, b_i>0

k - cтрока, для  которой это отношение минимально - ведущая. Элемент a_k,l - ведущий (разрешающий). Переменная, соответствующая ведущей строке (x_k) исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу (x_l) включается в базис.

          Пересчитываем симплекс-таблицу по формулам. Если в новой таблице после перерасчета в строке F остались отрицательные элементы переходим к шагу 2.2

          Если невозможно найти ведущую строку, так как нет положительных элементов в ведущем столбце, то функция в области допустимых решений задачи не ограничена - алгоритм завершает работу.

          Если в строке F и в столбце свободных членов все элементы положительные, то найдено оптимальное решение. 

 

Правила преобразований симплексной таблицы

         При составлении новой симплекс-таблицы в ней происходят следующие изменения: 

• Вместо базисной переменной x_k записываем x_l; вместо небазисной переменной x_l записываем x_k.  
• ведущий элемент заменяется на обратную величину a_k,l'= 1/a_k,l
• все элементы ведущего столбца (кроме a_k,l) умножаются на -1/a_k,l
• все элементы ведущей строки (кроме a_k,l) умножаются на 1/a_k,l
• оставшиеся элементы симплекс-таблицы преобразуются по формуле a_i,j'= a_i,j- a_i,l×a_k,j/ a_k,l

Метод искусственного базиса (Симплекс-метод) - Пример 1

Целевая функция: 
1X₁+5X₂+4X₃-3X₄→max

Условия: 
 
2X₁+7X₂+1X₃+0X₄≤5 
1X₁+4X₂+2X₃+8X₄=6 
-1X₁+0X₂+2X₃+5X₄=9