Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

4. Оценим адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7). Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю, и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения. Результаты исследования (оценка) адекватности вышеприведенной модели отражены в таблице 8.

Таблица 8.

	Отклонения	Точки поворота
1	-2,33	-	5,44	-	-	-
2	-0,33	1	0,11	2,00	4,00	0,78
3	-2,33	1	5,44	-2,00	4,00	0,78
4	3,67	1	13,44	6,00	36,00	-8,56
5	2,67	1	7,11	-1,00	1,00	9,78
6	3,67	1	13,44	1,00	1,00	9,78
7	-1,33	0	1,78	-5,00	25,00	-4,89
8	-2,33	1	5,44	-1,00	1,00	3,11
9	-1,33	-	1,78	1,00	1,00	3,11
Сумма	0,00	6	54,00	1,00	73,00	13,89

 

4. 1. Проверка - равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю, осуществляется с использованием t - критерия Стьюдента.

.

где:  - среднее значение уровней остаточного ряда,

 –  среднее квадратическое отклонение уровней остаточного ряда.

Значение  берётся по модулю, без учета знака:

,  

В нашем случае имеем:

.

Следовательно:             

.

Гипотеза  отклоняется, если и с заданным уровнем доверительной вероятности . Если , то гипотеза принимается

При и доверительной вероятности - .  

В рассматриваемом примере  , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется, гипотеза принимается.

 

4. 2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. В соответствии с ним каждый уровень ряда сравнивается с двумя рядом стоящими. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. Далее подсчитывается сумма поворотных точек . В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

.

Квадратные  скобки здесь означают, что от результата вычислений берется целая часть  числа.

При в правой части неравенства имеем:

.

В таблице 8 в третьей графе для первого и последнего наблюдения проставим прочерк, ноль – если точка неповоротная, и единицу, если она поворотная. В нашем примере количество поворотных точек равно , неравенство выполняется, следовательно, свойство случайности уровней остаточного ряда  выполняется.

 

4. 3. При проверке независимости (отсутствия автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью критерия Дарбина –Уотсона, в соответствии с которым вычисляется коэффициент

.

    Вычисленная величина этого критерия, сравнивается с двумя табличными уровнями (нижним и верхним ). Если или находится в интервале от нуля до , то уровни ряда остатков сильно автокоррелированы, а модель неадекватна. Если его значение попадает в интервал от до 2, то уровни ряда являются независимыми. Если превышает 2, то это свидетельствует об отрицательной корреляции и перед входом в таблицу его величину надо преобразовать:

.

В нашем примере:

.

Для линейной модели при 9 наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины и . Следовательно, расчетное значение попало в интервал до 2, поэтому критерий даёт ответа на вопрос о том, что уровни ряда остатков являются независимыми.

Найдём  первый коэффициент  автокорреляции  - , который, вычисляется по формуле:

.

Если (для , ), то присутствие в остаточном ряду существенной автокорреляции подтверждается. В противном случае, если  - уровни ряда остатков являются независимыми. 

Для рассматриваемого примера

,

то  есть, 

.

Следовательно, выполняется свойство независимости  уровней остаточной компоненты.

4. 4. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи – критерия:

.

где - максимальный уровень ряда остатков, - минимальный уровень ряда остатков,

  - среднее квадратическое отклонение.

Если  значение этого критерия попадает между  табулированными границами с  заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. Для и 5 %  уровня значимости этот интервал равен (2,7—3,7).

В нашем примере: и , а размах 7,60. Среднее квадратическое отклонение уровней остаточного ряда нашли выше:

Тогда, имеем

.

Расчетное значение попадает в заданный интервал. Следовательно, свойство нормальности распределения выполняется, что позволяет строить доверительный интервал прогноза.

 

4. 5. Для характеристики точности воспользуемся средней относительной ошибкой:

 

.

Величина  менее 5 % свидетельствует о хорошем  уровне точности модели (ошибка до 15 % считается  приемлемой). В нашем случае относительная ошибка свидетельствует о хорошем уровне точности модели.

В целом модель адекватна.

 

5. Построим прогноз на два шага вперед.

При прогнозировании на два шага имеем:

.

,

.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие  границы.

Верхняя граница прогноза  есть: .            

Нижняя  граница прогноза есть: .           

Величина U(k) для линейной модели имеет вид:

,

где - среднее квадратическое отклонение от линии тренда.

Если  в качестве линии тренда используется уравнение прямой, то:

.

Для нашего примера:                               

.

Коэффициент является табличным значением - статистики Стьюдента.

Если исследователь задает уровень  вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала равный 70 %, то , и, следовательно:

,

.

В таблице 11 сведены результаты расчетов прогнозных оценок по линейной модели.

 

Таблица 14

Время	Шаг	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
10	1	67,33	67,33 – 3,61 = 63,72	67,33 + 3,61 = 70,94
11	2	72,33	72,33 – 3,82 = 68,51	72,33 + 3,82 = 76,15

 

 

Рисунок 3.

Легенда: Ряд 1 – «зелёная линия с голубыми точками» – Линейная модель, прогноз и доверительный интервал.

Ряд 2 – «коричневые треугольники и красная линия» – исходные данные.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.

1. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П.  Исследование операций в экономике:  модели, задачи, решения: Учеб. пособие.  — М.: ИНФРА-М, 2006. — 444 с. — (Серия  «Высшее образование»).

2. Бережная Е. В., Бережной В. И.  Математические методы моделирования  экономических систем: Учеб. пособие.  — 2-е изд., перераб. и доп.  — М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с: ил.

3. Булдаев А. С. Двойственные  методы решения задачи линейного  программирования. - Иркутск, 2007. - 28 с.

4. Кремер Н. Ш. Исследование операций  в экономике: Учеб. пособие для  вузов /Н. Ш. Кремер, Б А. Путко,  И.М. Тришин, М. Н. Фридман; Под  ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2005. - 407 с.

5. Лунгу К. Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 128 с.

6. Солодовников А. С., Бабайцев В.  А., Браилов А. В. Математика  в экономике.Учебник. том 1 - М.: Финансы и статистика, 2006, 224 c.

7. Таха, Хемди А. Введение в исследование  операций, 7-е издание: Пер. с  англ. — М.: Издательский дом "Вильямс", 2007. — 912 с: ил.

 

¹ Под редакцией В.М. Симчеры. «Практикум по статистике». Москва, ВЗФЭИ,  ЗАО Финстатинформ 1999.