Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

                                       Содержание

1. Классическая  задача управления запасами…………………………….3

2. Задача 3……………………………………………………………….......9

4. Задача 3………………………………………………………………….15

 

Список  литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             1. Классическая задача управления запасами.

Задачей управления запасами называется оптимизационная задача, в которой предполагаются известными данные о поставках товара на склад, спросе на товар, издержках и условиях хранения товарных запасов.

Требуется оптимизировать работу склада по заданному критерию оптимизации.

Рассмотрим эту  задачу в так называемой классической постановке. Выберем за единичный интервал времени один день. Пусть к концу дня t – 1 на складе находится запас в объеме x_t-1 ≥ 0. Склад делает заказ на пополнение запаса товара в объеме h_t. Это пополнение поступает к началу следующего дня t, так что запас товара в начале следующего дня составляет х₁ + h_t. Пусть S_t – объем товара, запрашиваемый потребителем (или потребителями) в день t (объем заявки).

Если S_t ≤ x_t-1 + h_t, то склад удовлетворяет заявку потребителя полностью, а остатки товара (х_t = x_t-1 + + h_t - S_t) переносятся на следующий день (t + 1), причем издержки хранения этого запаса пропорциональны его объему, т.е. С · x_t = С (x_t-1 + h_t  –  S_t).

Если объем  заявки S_t > x_t-1 + h_t, то склад полностью отдает свой запас, а за недопоставленный товар несет потери (например, штрафуется за дефицит), пропорциональные объему дефицита, т.е. k (S_t  - x_t-1 -  - h_t) = - k (x_t-1 + h_t – S_t).

Таким образом, полные издержки φ(x_t-1, h_t, S_t) склада можно записать в виде:

При этом остаток  товара таков:

                             

Из уравнения (25.50) следует: если х_t-1 > 0, то φ(x_t) = c · x_t; если x_t < 0, то φ(x_t) = -k · x_t; если х_t = 0, то φ(x_t) = 0.

В классической постановке задачи управления запасами предполагается, что сама величина спроса S_t неизвестна, однако она является независимой случайной величиной, имеющей заданный закон распределения. Пусть распределение вероятностей величины S_t задается непрерывной функцией распределения F(x) с плотностью распределения f(x). Тогда средние полные издержки Ф (x_t-1 + h_t) задаются следующей формулой (М – математическое ожидание):

        

Задача ставится таким образом: определить объем  заказа на пополнение h_t, минимизирующий средние полные издержки, т.е.:

                

где h_t ≥ 0.

Если обозначить у = х_t-1 + h_t, то в случае статической постановки классической задачи управления запасами уравнение для определения минимизирующего запаса у* имеет вид:

                   

Решение (25.52) задачи (25.51) определяет стратегию оптимального пополнения запасов. Величина пополнения запасов h*_t, минимизирующая средние полные издержки, задается следующим образом:

    

Конкретные числовые характеристики системы управления запасами зависят от вида функции  плотности распределения f(x) случайной величины спроса. В качестве примера рассмотрим случай симметричного «треугольного распределения» спроса, при котором функция плотности распределения получается в виде графика, представленного на рис 25.1А. Очевидно, что этот график получается параллельным при переносе вправо (т.е. заменой х на х - а) графика, изображенного на рис. 25.1Б, при этом функция принимает следующий вид:

     

     Рис. 25.1. Функция плотности распределения в графическом виде

График функции  средних полных издержек для такой  функции спроса в случае к > с представлен на рис. 25.2, где оптимальный уровень запаса можно выразить уравнением:

                                

      Рис. 25.2. Функция средних полных издержек в графическом виде

В общем виде для данной функции  плотности распределения спроса оптимальный уровень запаса задается условиями:

Значение Ф* = Ф (у*) минимума средних полных издержек имеет вид:

Из формул (25.55) и (25.56) для данной модели следует, что оптимальный уровень запаса при с ≠ k и минимум средних полных издержек при всех с и k линейно зависят от величины b, т.е. от длины интервала, в котором заключен разброс значений величины спроса на товар.

Напомним, что стратегия оптимального пополнения запасов задается формулами (25.53).

Рассмотрим пример. Пусть некоторая фирма в соответствии с договором реализует со склада по заявкам холодильники, причем ежедневный спрос является случайной величиной, функция плотности распределения которой представлена графически на рис. 25.1А, и колеблется от 20 до 80 холодильников в день. Средние издержки хранения одного холодильника в день составляют 8 руб., а штраф за дефицит (недопоставку) одного холодильника в день равен 17 руб. Требуется определить стратегию оптимального пополнения запаса холодильников и минимальные средние полные издержки.

Задаем следующие условия рассматриваемой  задачи:

             

В соответствии с формулой (25.55) оптимальный  уровень запаса (с < k) составляет следующую величину:

           

Тогда величина h*_t пополнения запаса холодильников, при которой средние полные издержки будут минимальны, задается в соответствии с формулой (25.53) следующими условиями:

                             

где x_t-1 – запас холодильников на складе фирмы на конец предыдущего дня.

Так, если на конец предыдущего  дня на складе фирмы было 60 холодильников, то пополнять запас не следует, а если на конец предыдущего дня на складе оставалось 25 холодильников, то следует реализовать заказ на пополнение запаса холодильников таким образом: 56 – 25 = 31.

Если придерживаться этой стратегии  пополнения запаса, то минимальный уровень средних полных издержек в расчете на один день в соответствии с формулой (25.56) составит:

           

 

 

 

 

 

 

 

 

                                      2. Задача 3.

Фирма выпускает  два набора удобрений для газонов: Обычный и улучшенный. В обычный  набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных  и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для  газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден.ед., а улучшенный – 4 ден.ед. Какие  и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико – математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Решение: Сформулируем прямую оптимизационную задачу.

Пусть Х₁ – количество обычных наборов удобрений;

Х₂ – количество улучшенных наборов удобрений.

Содержание в  двух данных наборах азотных удобрений: 3х₁ + 2х₂.

А для некоторого газона требуется  по крайней мере 10 кг азотных удобрений, следовательно: 3х₁ + 2х₂ ≥ 10.

Содержание в двух данных наборах  фосфорных удобрений должно быть не менее 20 кг, т. е.: 4х₁ + 6х₂ ≥ 20.

И содержание в двух данных наборах  калийных удобрений должно быть не менее 7 кг, т. е.: 1х₁+ 3х₂ ≥ 7.

Стоимость необходимых наборов  удобрений составит: 3х₁ + 4х₂.

Таким образом, получим следующую  экономико-математическую модель задачи: min (х) = 3х₁ + 4х₂.

3х₁+ 2х₂ ≥ 10

4х₁ + 6х₂ ≥ 20

х₁ + 3х₂ ≥ 7

х₁  ≥ 0, х₂  ≥ 0

Построим область решений системы  ограничений. Для этого рассмотрим равенства и построим их графики – прямые.

1) 3х₁ + 2х₂ ≥ 10

    3х₁ + 2х₂ = 10

    х₁  0    4

      х₂   5    -1

Для нахождения полуплоскости, соответствующей  данному неравенству, берем любую точку, не лежащую на граничной прямой, и подставляем ее координаты в неравенство.

Возьмем точку О(0;0): 3*0 + 2*0 ≥ 10, 0 ≥ 10.

Неравенство не выполняется, значит, исходному неравенству соответствует та полуплоскость, которая не содержит точку (0;0).

2) 4х₁ + 6х₂ ≥ 20

    4х₁ + 6х₂ = 20

    х₁   -1    5

    х₂     4    0

4*0 + 6*0 ≥ 20, 0 ≥ 20.

Неравенство не выполняется, значит, исходному неравенству соответствует полуплоскость, не содержащая точку О(0;0).

3) х₁ + 3х₂ ≥ 7

    х₁ + 3х₂ = 7

    х₁    -2   7

    х₂    3    0

1*0 + 3*0 ≥  7, 0 ≥  7

Неравенство не выполняется, значит, исходному неравенству соответствует полуплоскость, не содержащая точку О(0;0).

4) х₁ ≥ 0

Х₁ = 0 – ось ОХ2.

5) х₂ ≥ 0

Х₂ = 0 – ось ОХ1.

Следовательно, область  решений системы ограничений  находится только в первой четверти декартовой системы координат.

                                Рис.1. Графическое решение ЗЛП

Находим общую  часть всех построенных полуплоскостей. Это выпуклая заштрихованная область.

Для нахождения оптимального решения задачи изобразим графически функцию цели:

(х) = d₁х₁+d₂x₂

(х) = 3х₁ + 4х₂

Для этого строим вектор d, начало которого в точке (0;0), а конец в точке (d₁;d₂);  d = (3; 4).

И строим одну из линий уровня функции цели (это линия, на которой функция цели принимает постоянное значение).

Для определения  минимума данной функции, передвигаем линию уровня в направлении, противоположном вектору d, и видим, что она последний раз соприкасается с областью решений в точке В, где и будет достигнут min(х).

Определим координаты точки В:

3х₁ + 2х₂ = 10 *(-3)

4х₁ + 6х₂ = 20

-9х₁ – 6х₂ = -30

4х₁ + 6х₂ = 20

Складываем почленно уравнения и получаем:

-5х₁ = -10

Х₁ = 2

В(2; 2)

max (х) = 3*2 + 4*2 = 14 (ден. ед.)

Таким образом, чтобы  минимизировать стоимость удобрений, нужно купить 2 обычных набора удобрений  и 2 улучшенных набора удобрений. При  этом минимальные затраты на покупку  удобрений составят 14 денежных единиц.

Если решать данную задачу на максимум, то конечного оптимума не найдем, т. к. функция цели неограниченна, область решений системы ограничений бесконечна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                       4. Задача 3.

Объем продаж магазина составляет в год 2000 упаковок супа в  пакетах. Величина спроса равномерно распределяется в течение года. Цена одного пакета равна 2 руб. За доставку заказа владелец магазина должен заплатить 50 руб. Время доставки заказа от поставщика составляет 12 рабочих дней. По оценкам специалистов, издержки хранения в год составляют 4 руб. за один пакет. Необходимо определить: сколько пакетов должен заказывать владелец магазина для одной поставки; частоту заказов; точку заказа. Известно, что магазин работает 300 дней в году.

Решение: Примем за единицу времени год, тогда V = 2000 шт. пакетов в год, K = 50 руб., S = 4 руб. Поскольку пакеты супа заказываются со склада поставщика, а не производятся самостоятельно, то будем использовать модель Уилсона.

 

 

Поскольку число  пакетов должно быть целым, то будем  заказывать по 224 штуки. При расчете других параметров задачи будем использовать  Q=224. Годовые затраты на УЗ равны:

 

 

Подачу каждого  нового заказа должна производиться  через:

 

 

Поскольку известно, что в данном случае год равен 300 рабочим дням, то:

 

 

Заказ следует  подавать при уровне запаса, равном:

 

 

т.е. эти 80 пакетов  будут проданы в течение 12 дней, пока будет доставляться заказ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                           Список литературы

1. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико – математические методы и прикладные модели: учебное пособие для вузов, 2 – е издание, перераб. и доп. – Москва: ЮНИТИ, 2005.