Контрольная работа по «Экономическо-математическому моделированию»

Рассмотрим первую систему.

Разделим почленно первую систему на v1 (цену игры).

Т.к. цена игры положительная, то знаки в неравенствах системы  не изменятся.

Введем новые обозначения:

 

Рассмотрим сумму:

Т.к игрок A старается увеличить свой выигрыш, т.е. цену игры v1, то выражение 1/v1 будет стремиться к минимуму.

Мы получили задачу линейного  программирования.

Требуется найти минимум  линейной функции  при следующей системе ограничений:

• Рассмотрим вторую систему.

Разделим почленно вторую систему на v1 (цену игры).

Т.к. цена игры положительная, то знаки в неравенствах системы  не изменятся.

Введем новые обозначения:

 

Рассмотрим сумму:

 
               Т.к игрок B старается уменьшить  свой проигрыш, т.е. цену игры v1, то выражение 1/v1 будет стремиться  к максимуму.

Мы получили задачу линейного  программирования.

Требуется найти максимум линейной функции  при следующей системе ограничений :

Полученные задачи являются парой симметричных взаимно двойственных задач.

Решив одну из них, мы автоматически  получим решение второй.

Удобнее решить вторую задачу. Решим ее симплекс методом.

Система ограничений должна быть приведена к каноническому  виду.

К левой части неравенства 1 системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x₄ , тем самым мы преобразуем неравенство 1 в равенство.

К левой части неравенства 2 системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x₅ , тем самым мы преобразуем неравенство 2 в равенство.

К левой части неравенства 3 системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x₆ , тем самым мы преобразуем неравенство 3 в равенство.

 

Система ограничений приведена  к каноническому виду, т.е.. все  условия системы представляют собой  уравнения.

Определимся с начальным опорным решением.

 Наличие единичного  базиса в системе ограничений  позволяет легко найти начальное  опорное решение. Рассмотрим подробнее:

Переменная x₄ входит в уравнение 1 с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы с коэффициентом ноль, т.е. x₄ - базисная переменная.

Переменная x₅ входит в уравнение 2 с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы с коэффициентом ноль, т.е. x₅ - базисная переменная.

Переменная x₆ входит в уравнение 3 с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы с коэффициентом ноль, т.е. x₆ - базисная переменная.

Переменные, которые не являются базисными, называются свободными переменными. Приравняв свободные переменные нулю, в получившийся системе ограничений, мы получим начальное опорное  решение. . Значение функции для начального решения:

Обратите  внимание:

 При составлении исходной  симплекс таблицы, коэффициенты  при переменных функции L записываются  с противоположными знаками, а  свободный член со своим знаком.

Шаг 1

За ведущий выберем  столбец 1 , так как -1 наименьший элемент  в L строке. Элемент L строки, принадлежащий  столбцу свободных членов не рассматриваем.

За ведущую выберем  строку 2, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 2 строки является наименьшим. Обратите внимание, что отношение мы вычисляем только для положительных элементов столбца 1.

Базисные переменные	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Свободные члены	Отношение
Х4	3	1	7	1	0	0	1	1/3
Х5	[5]	4	3	0	1	0	1	1/5
Х6	2	6	0	0	0	1	1	½
L	-1	-1	-1	0	0	0	0

Разделим элементы строки 2 на 5.

Базисные переменные	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Свободные члены	Отношение
Х4	3	1	7	1	0	0	1	1/3
Х5	[1]	4/5	3/5	0	1/5	0	1/5	1/5
Х6	2	6	0	0	0	1	1	½
L	-1	-1	-1	0	0	0	0

От элементов строки 1 отнимает соответствующие элементы строки 2 умноженные на3.

От элементов строки 3 отнимает соответствующие элементы строки 2 умноженные на2.

От элементов строки L отнимает соответствующие элементы строки 2 умноженные на -1.

Базисные переменные	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Свободные члены	Отношение
Х4	0	-7/5	26/5	1	-3/5	0	2/5	-3
Х1	1	4/5	3/5	0	1/5	0	1/5	-
Х6	0	22/5	-6/5	0	-2/5	1	3/5	-
L	0	-1/5	-2/5	0	1/5	0	1/5	-

. Значение функции L для данного решения:

Шаг 2

За ведущий выберем  столбец 3 , так как -2/5 наименьший элемент в L строке. Элемент L строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматриваем.

За ведущую выберем  строку 1, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 1 строки является наименьшим. Обратите внимание, что  отношение мы вычисляем только для  положительных элементов столбца 3.

 

 

 

Базисные переменные	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Свободные члены	Отношение
Х4	0	-7/5	[26/5]	1	-3/5	0	2/5	1/13
Х1	1	4/5	3/5	0	1/5	0	1/5	1/3
Х6	0	22/5	-6/5	0	-2/5	1	3/5	-
L	0	-1/5	-2/5	0	1/5	0	1/5	-

 

Разделим элементы строки 1 на 26/5

Базисные переменные	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Свободные члены	Отношение
Х4	0	-7/26	[1]	5/26	-3/26	0	1/13	1/13
Х1	1	4/5	3/5	0	1/5	0	1/5	1/3
Х6	0	22/5	-6/5	0	-2/5	1	3/5	-
L	0	-1/5	-2/5	0	1/5	0	1/5	-

 

От элементов строки 2 отнимает соответствующие элементы строки 1 умноженные на 3/5.

От элементов строки 3 отнимает соответствующие элементы строки 1 умноженные на -6/5.

От элементов строки L отнимает соответствующие элементы строки 1 умноженные на -2/5.

Базисные переменные	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Свободные члены	Отношение
Х3	0	-7/26	1	5/26	-3/26	0	1/13	-
Х1	1	25/26	0	-3/26	7/26	0	2/13	-
Х6	0	53/13	0	3/13	-7/13	1	9/13	-
L	0	-4/13	0	1/13	2/13	0	3/13	-

 

. Значение функции L для данного решения:

Шаг 3

За ведущий выберем  столбец 2 , так как -4/13 наименьший элемент в L строке. Элемент L строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматриваем.

За ведущую выберем  строку 2, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 2 строки является наименьшим. Обратите внимание, что отношение мы вычисляем только для положительных элементов столбца 2.

Базисные переменные	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Свободные члены	Отношение
Х3	0	-7/26	1	5/26	-3/26	0	1/13	-
Х1	1	[25/26]	0	-3/26	7/26	0	2/13	4/25
Х6	0	53/13	0	3/13	-7/13	1	9/13	9/53
L	0	-4/13	0	1/13	2/13	0	3/13	-