Контрольная работа по "Эконометрике"

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

БАРНАУЛЬСКИЙ  ФИЛИАЛ

 

Факультет финансово-кредитный

Кафедра

 

 

 

Специальность «Финансы и кредит»

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Вариант № 9

По дисциплине «Эконометрика»

 

 

 

 

Студент _______________________          Емшина Любовь Евгеньевна

                                             ^{(подпись)}

 

Группа 3Фкг-1       Номер личного дела: 10ФФБ00249

 

Преподаватель: 

 

 

 

 

Барнаул 2013

Условие задачи

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая  зависимость объема выпуска продукции ( , млн. руб.) от объема капиталовложений ( , млн. руб.)

	12	4	18	27	26	29	1	13	26	5
	21	10	26	33	34	37	9	21	32	14

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;
• показательной.

Привести графики построенных  уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

Решение задачи

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Построим линейную модель Y_T = a + b*X.

Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю таблицу  исходных данных по возрастанию факторной  переменной Х.

Рис. 1 Сортировка данных

Используем программу  РЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели.

Коэффициенты модели содержатся в столбце Коэффициенты.

Рис. 2 Коэффициенты модели

Таким образом, модель построена, и ее уравнение имеет вид:

Y_T = 8,1202 + 0,9677*X

Коэффициент регрессии b=0,9677, следовательно, при увеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн. руб., объем выпуска продукции (У) увеличивается в среднем на 0,9677 млн. руб.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Остатки модели Е_i = y_i – y_Ti содержатся в столбце Остатки итогов  программы РЕГРЕССИЯ (таблица 4).

Рис. 3 Остатки (РЕГРЕССИЯ)

Но также остатки можно  посчитать:

Рис. 4.1 Расчет остатков

Рис. 4.2 Расчет остатков (формулы)

Программой РЕГРЕССИЯ  таблица 3 найдены также остаточная сумма квадратов SS_ост = 11,347 (или использовать функцию СУММКВ Мастера функций Excel: =СУММКВ(D105:D114)) и дисперсия остатков MS_ост = 1,418.

Рис. 5 Дисперсионный анализ

Рис. 1. График остатков

3. Проверить выполнение  предпосылок МНК

Проверить выполнение предпосылок  МНК, т.е. оценить адекватность построенной  модели, можно на основе исследования свойств остатков.

1. Проведем проверку случайности остаточной компоненты по критерию поворотных точек.

Количество поворотных точек  определим по графику остатков:

Поворотные точки можно  найти и по формуле:

Рис. 6.1 Определение поворотных точек (формулы)

Рис. 6.2 Определение поворотных точек

Схема критерия:

Рис. 7.1 Определение критического значения поворотных точек

Рис. 7.2 Определение критического значения поворотных точек (формулы)

 

 

 

Сравним р = 5 > р_кр = 2, следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

2. Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по методу наименьших квадратов, выполняется автоматически.

С помощью функции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: Е_ср=0,00.

Рис. 8.1 Среднее по остаткам

Рис. 8.2 Среднее по остаткам (формулы)

3. Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарбина-Уотсона.

Формула Дарбина-Уотсона:

Рис. 9.1 Расчеты для формулы Дарбина-Уотсона

Рис. 9.2 Расчеты для формулы  Дарбина-Уотсона

Схема критерия:

 

Полученное значение d=1,83, при этом критические значения: d₁=0,88; d₂=1,32.

d=1,83 лежит в интервале от d₂=1,32 до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняется.

4. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S – критерия.

Подготовим таблицу для  расчетов.

Рис. 10.1 Расчеты

Рис. 10.2 Формулы

Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения R/S и при n=10 составляет (2.67; 3.69).

Схема критерия:

2,74 ϵ (2,67; 3,69), значит, для  построенной модели свойство  нормального распределения остаточной  компоненты выполняется.

Все четыре пункта проверки дают положительный результат, делается вывод о том, что выбранная трендовая модель является адекватной реальному ряду наблюдений. В этом случае её можно использовать для построения прогнозных оценок.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

t – статистика для коэффициентов уравнения регрессии приведена в таблице РЕГРЕССИИ.

Рис. 11 t – статистика

Для свободного коэффициента а = 8,12 определена статистика t(a) = 11,4.

Для коэффициента регрессии  b = 0,97 определена статистика  t(b) = 25,81.

Рис. 12.1 t – критическое

Рис. 12.2 t – критическое (формула)

 

Схема критерия:

Сравнение показывает :

|t(a)| = 11,413 > t_кр = 2,306, следовательно, свободный коэффициент a является значимым, его не нужно исключать из модели.

|t(b)| = 25,809 > t_кр = 2,306, значит, коэффициент регрессии b является значимым, его и фактор времени разговора с продавцом нужно сохранить в модели.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R-квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ.

Рис. 13 Таблица РЕГРЕССИИ

R² = 0,99 = 99%.

Таким образом, вариация (изменение) объема выпуска продукции Y на 99% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений Х.

Проверим  значимость полученного уравнения  с помощью F – критерия Фишера.

F – статистика определена  программой РЕГРЕССИЯ и составляет         F = 666,104.

Рис. 14 Таблица РЕГРЕССИИ

Критическое значение Fкр= 4,84 найдено для уровня значимости α = 5% и чисел степеней свободы k1=1, k2=8 (функция FРАСПОБР).

Рис. 15 Нахождение F – критическое (формулы)

Рис. 15 Нахождение F – критическое

 

Схема критерия:

Сравнение показывает: F = 666,104 > Fкр = 5,317; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная У достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

Для вычисления средней относительной  ошибки аппроксимации составим новую таблицу относительных погрешностей, которые вычислим по формуле:

Рис. 16.1 Вычисление средней относительной ошибки

Рис. 16.2 Вычисление средней относительной ошибки

По столбцу  относительных погрешностей найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ). Е_ср.отн. = 4,967%.

Схема проверки:

Сравним: 4,967 < 15% следовательно, точность модели удовлетворительная.

Вывод: на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать адекватной, ее точность является удовлетворительной. Использовать такую модель для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Максимальное значение факторной  переменной Х составит х* = 23,2.

Рассчитаем по уравнению  модели прогнозное значение показателя У.