Контрольная работа по "Эконометрике "

Ленинградский государственный

университет им. А.С.Пушкина

 

Контрольная работа по эконометрике

 

Задача

 

Для 10 предприятийизвестны  валовая продукция х и прибыль у, приходящаяся на одного работника, в тыс. руб. в год. Варианты исходных данных определяются в таблицах 1-3 по последней и предпоследней цифрам номера зачетной книжки.

 

Требуется:

1. Методом наименьших  квадратов оценить уравнение парной линейной регрессии у по х: . Датьэкономическую интерпретацию параметров регрессии.

2. Оценить статистическую значимость параметров регрессии а иb с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала для каждого из параметров (на уровне значимости a = 0,05).

3. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции

5. Оценить качество уравнения при помощи коэффициента детерминации .

6. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

7. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

8. Рассчитать прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора увеличится на % от его среднего уровня.

Определить доверительные интервалы прогноза для уровня значимости a= 0,05.

9. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

 

Таблица 1

Значения х

 

№ предпр.	Предпоследняя цифра номера зачетной книжки
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	400	440	380	440	390	400	440	390	440	380
2	380	350	400	370	410	380	410	320	375	410
3	350	400	320	340	350	400	375	350	340	400
4	440	300	410	405	450	390	395	450	395	400
5	410	340	350	400	360	425	400	315	400	300
6	390	410	380	325	380	360	405	345	360	380
7	320	370	405	410	395	315	380	405	425	320
8	400	400	375	425	400	345	360	405	350	410
9	380	450	325	390	315	325	405	400	390	400
10	450	390	400	300	390	410	410	345	380	370

 

Таблица 2

Значения у

 

№ предпр.	Последняя цифра номера зачетной книжки
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	21	19	13	26	27	14	25	27	27	25
2	19	23	17	24	19	15	27	20	22	18
3	13	17	19	19	19	20	21	18	16	20
4	17	13	21	12	21	21	23	20	24	24
5	25	25	23	11	23	16	18	24	23	20
6	27	27	25	14	25	26	27	19	13	21
7	20	22	27	15	18	24	19	23	17	19
8	18	16	21	20	20	19	19	17	19	13
9	20	24	23	21	24	12	21	13	21	17
10	24	23	18	16	20	11	23	25	23	25

 

Таблица 3

Значенияk

 

Предпоследняя цифра номера зачетной книжки	Последняя цифра номера зачетной книжки
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
3	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
4	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
5	7	8	9	10	11	12	13	14	15	2
6	8	9	10	11	12	13	14	15	2	3
7	9	10	11	12	13	14	15	2	3	4
8	10	11	12	13	14	15	2	3	4	5
9	11	12	13	14	15	2	3	4	5	6

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ  ЗАДАЧ

Парная  регрессия - уравнение связи двух переменных у и х:

где у — зависимая переменная (результативный признак);

х — независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная  регрессия:

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

• полиномы разных степеней

• равносторонняя гипербола 

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

• степенная

• показательная 

• экспоненциальная  

Построение  уравнения регрессии сводится к  оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических минимальна, т.е.

Для линейных и  нелинейных уравнений, приводимых к  линейным, решается следующая система  относительно а и b:

Можно воспользоваться  готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

Тесноту связи  изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляцииr_xy, для линейной регрессии :

и индекс корреляции для нелинейной регрессии :

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя  ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

     Допустимый  предел значений - не более 8 - 10%.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат уот своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения:

.

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

где - общая сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

- остаточная сумма квадратов  отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей  дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R²:

.

Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента или индекса  корреляции.

F-mecm - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н₀о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера.F_факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

где  п - число единиц совокупности;

т - число параметров при переменных х.

F_табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости . Уровень значимости - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно принимается равной 0,05 или 0,01.

Если F_табл<F_факт, то Н₀ - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F_табл>F_факт, то гипотеза Н₀ не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н₀ о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

= = .

Сравнивая фактическое  и критическое (табличное) значения t-статистики - t_табл и t_факт - принимаем или отвергаем гипотезу Н₀.

Связь между F-критерием  Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством

Если t_табл<t_факт, то Н₀ отклоняется, т.е. a, b и r_xу не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t_табл>t_факт, то гипотеза Н₀ не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b или r_xу.

Для расчета  доверительного интервала определяем предельную ошибкуD для каждого показателя:

,      .