Изучение тестов на обнаружение гетероскедастичности

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

«Ижевский государственный технический  университет»

Кафедра «Финансы и кредит»

 

 

 

 

 

 

 

 

Отчет по лабораторной работе №5

по дисциплине «Эконометрика»

на тему «Изучение тестов на обнаружение гетероскедастичности»

Вариант №11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:                                                                                  студент гр. 4-52-3                

                                                                                                    И. В. Бердичевский 

 

Проверил:                                                                                    к. т. н., доцент

                                                                                                     С. П. Сырыгин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ижевск 2009

Цель работы:

 

Целью работы является ознакомление и получение практических навыков  работы с тестами ранговой корреляции Спирмена, Гольдфельда-Квандта.

 

1. Задание №1.

Исходные данные:

Таблица №1

Государственные расходы  на образование (РО), валовой внутренний продукт (ВВП), численность населения (ЧН) в выборке стран, 1980 г.

Страна	РО	ВВП	ЧН
Люксембург	0,34	5,67	0,36
Уругвай	0,22	10,13	2,9
Сингапур	0,32	11,34	2,39
Ирландия	1,23	18,88	3,44
Израиль	1,81	20,94	3,87
Венгрия	1,02	22,16	10,71
Новая Зеландия	1,27	23,83	3,1
Португалия	1,07	24,67	9,93
Гонконг	0,67	27,56	5,07
Чили	1,25	27,57	11,1
Греция	0,75	40,15	9,6
Финляндия	2,8	51,62	4,78
Норвегия	4,9	57,71	4,09
Югославия	3,5	63,03	22,34
Дания	4,45	66,32	5,12
Турция	1,6	66,97	44,92
Австрия	4,26	76,88	7,51
Швейцария	5,31	101,65	6,37
Саудовская  Аравия	6,4	115,97	8,37
Бельгия	7,15	119,49	9,86
Швеция	11,22	124,15	8,31
Австралия	8,66	140,98	14,62
Аргентина	5,56	153,85	27,06
Нидерланды	13,41	169,38	14,14
Мексика	5,46	186,33	67,4
Испания	4,79	211,78	37,43
Бразилия	8,92	249,72	123,03
Канада	18,9	261,41	23,94
Италия	15,95	395,52	57,04
Великобритания	29,9	534,97	55,95
Франция	33,59	655,29	53,71
ФРГ	38,62	815	61,56
Япония	61,61	1040,45	116,78
США	181,3	2586,4	227,64

 

Проанализировав таблицу  №1, можно предположить, что величина расходов на образование прямо пропорциональна величине валового внутреннего продукта. Для оценки верности выдвинутого предположения необходимо построить регрессионную модель, отражающую зависимость расходов на образование от величины валового внутреннего продукта. Результаты построения модели выглядят следующим образом:

Таблица №2

Результаты моделирования  зависимости величины расходов на образования  от величины валового внутреннего продукта.

Регрессионная статистика		Дисперсионный анализ		Коэффициенты		P-Значение
Множественный R	0,99	Значимость F	1,44E-28	Y-пересечение	-2,32	0,008
				ВВП	0,067	7E-29
R-квадрат	0,979	F	1524,48

 

 

Рисунок 1. График зависимости  остатков  от экзогенной переменной

На первый взгляд, регрессионная  модель даёт вполне точный результат, поскольку величина коэффициента детерминации равна 97,9%. Модель адекватна при уровне значимости . Значимыми будут и коэффициенты уравнения.

Однако если учесть во внимание график зависимости остатков от экзогенной переменной, то можно заметить, что при возрастании X, возрастает и величина остатков. Следует выдвинуть предположение о невыполнении второго условия теоремы Гаусса-Маркова, касающегося постоянства дисперсии остатков (D(e)≠const), что ведет к наличию гетероскедастичности, при которой в случае применения OLS не обеспечивается гарантия эффективности получаемых оценок параметров уравнения регрессии.

Для подтверждения или  опровержения наличия гетероскедастичности в остатках исследуемого уравнения  парной регрессии, необходимо воспользоваться одним из часто применяемых тестов:

• тест ранговой корреляции Спирмена;
• тест Гольдфельда-Квандта.

 

1.1 Тест ранговой корреляции Спирмена.

Тест ранговой корреляции Спирмена используется при относительно больших выборках и предположении, что дисперсия остатков будет либо уменьшаться, либо увеличиваться по мере увеличения X. Тогда абсолютные значения остатков и (е=(у_i-ŷ_i)) и значения объясняющей переменной X будут коррелированны.

Выдвинем нулевую гипотезу (H₀) о том, что остатки гомоскедастичны (гетероскедастичность отсутствует). Также предположим о существовании альтернативной гипотезы (Н₁) о том, что остатки гетероскедастичны (гетероскедастичность присутствует).

Порядок тестирования:

• построить уравнение регрессии и получить значения остатков для каждого Х;
• упорядочить (по возрастанию или убыванию X) полученные значения модулей остатков (е_i);
• вычислить ранги модулей остатков и найти разности между рангами независимой переменной X  и рангами модулей остатков;
• вычислить коэффициент корреляции r (x,e) между рангами переменной Х и рангами модулей остатков (e_i).

Расчетная формула для  вычисления коэффициента корреляции выглядит следующим образом:

,

где D_i – разность между рангом (х) и рангом модуля (е);

n – объем выборки.

 

Следующим шагом является вычисление стандартизированной переменной и в предположении, что при больших выборках указанная переменная  имеет стандартное нормальное распределение, проверка нулевуй гипотезы H_0, для чего необходимо воспользоваться значением квантили стандартного нормального распределения. Для двустороннего критерия гипотеза об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена, если при уровне значимости .

 

1.1.1 Результаты использования теста ранговой корреляции Спирмена.

 

Таблица №3

Таблица рангов экзогенной переменной (х) и рангов модулей остатков (e_i)

Ранг экзогенной переменной (x)	Ранг модулей остатков (ei)
11	1
16	2
18	3
19	4
9	5
17	6
20	7
22	8
14	9
12	10
10	11
8	12
6	13
2	14
3	15
7	16
1	17
4	18
15	19
23	20
5	21
13	22
30	23
28	24
24	25
25	26
21	27
27	28
33	29
26	30
31	31
29	32
34	33
32	34

 

После проведения расчетов, значение коэффициента корреляции r(x,e) оказалось равным 0,5911, а значение стандартизованной переменной r(x,e)* = 3,39583. Поскольку и P-значение = 0,001, то при уровне значимости , можно сделать вывод о том, что нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отвергается и принимается альтернативная гипотеза – гетероскедастичность присутствует.

 

1.2 Тест Гольдфельда-Квандта.

Тест Гольдфельда-Квандта  используется в случае относительно небольшого количества данных в предположении, что с увеличением X значения (e_i) увеличиваются, а значит σ(е_i) = D(Ui) пропорционально значению независимой переменной х. Согласно этому тесту все данные упорядочиваются по мере увеличения х. После этого средняя часть выборки объема (с) отбрасывается. По освободившимся двум выборкам объема (n-с)/2 оцениваются отдельные регрессии. Если принятое предположение верно, то дисперсия остатков по последним (n-с)/2 значениям будет значимо больше дисперсии остатков по первым значениям. При принятии допущения о нормальном распределении остатков отношение F_ф=SSост2/SSост1 будет иметь F-распределение Фишера. При выполнении гипотезы об отсутствии гетероскедастичности значение Fф будет меньше F_крит.

Тестирование необходимо проводить следующим образом:

• упорядочить исследуемые данные по мере роста переменной (х).
• разделить исходную выборку на три части (выборки).
• исключить центральную часть объемом ориентировочно (1/4...1/3) объема первоначальной выборки, при этом необходимо, чтобы (n-с)/2>К, где К – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии.
• построить два уравнения регрессии (у₁ и у₂) по оставшимся частям (выборкам).
• найти значения сумм квадратов остатков (SS) для каждого уравнения регрессии и по ним определить F_ф=SS₂/SS₁. При этом необходимо, чтобы выполнялось условие SS₂>SS₁.
• используя F-распределение Фишера сравнить полученное значение F_ф с критическим значением, соответствующим выбранному уровню значимости. При F_ф>F_кр гипотеза об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена.

 

1.2.1 Результаты использования теста Гольдфельда-Квандта.

 

Разделим первоначальную выборку (таблица №1) на 3 части, исключив центральную:

 

Таблица №4

Совокупность исходных данных, разбитых на выборки, за исключением  центральной выборки.

Выборка №1			Выборка №3
Страна	РО	ВВП	Страна	РО	ВВП
Люксембург	0,34	5,67	Аргентина	5,56	153,85
Уругвай	0,22	10,13	Нидерланды	13,41	169,38
Сингапур	0,32	11,34	Мексика	5,46	186,33
Ирландия	1,23	18,88	Испания	4,79	211,78
Израиль	1,81	20,94	Бразилия	8,92	249,72
Венгрия	1,02	22,16	Канада	18,9	261,41
Новая Зеландия	1,27	23,83	Италия	15,95	395,52
Португалия	1,07	24,67	Великобритания	29,9	534,97
Гонконг	0,67	27,56	Франция	33,59	655,29
Чили	1,25	27,57	ФРГ	38,62	815
Греция	0,75	40,15	Япония	61,61	1040,45
-	-	-	США	181,3	2586,4

 

Таблица №5

Результаты моделирования  данных первой выборки.

Регрессионная статистика		Дисперсионный анализ		Коэффициенты		P-Значение
Множественный R	0,433	Значимость F	0,18314	Y-пересечение	0,435	0,25137
				ВВП	0,022	0,18314
		SSостат	1,9716
R-квадрат	0,188	F	2,07979