Исследование зависимости курса евро от цены на золото

Исследование зависимости курса евро от цены на золото

 

Большинство серьезных золотых инвесторов следует элементарному принципу стабильности ценности золота. Изменения в «цене на золото» есть изменения в валюте, которую сравнивают с золотом, тогда как золото никуда не движется. Очевидно, что финансисты стремятся, чтобы деньги стабильно хранили свою ценность. Простейшим способом достижения этой цели является привязка денег к золоту.

В качестве примера рассмотрим воздействие цены на золото на курс евро. Для этого воспользуемся моделью распределенных лагов Алмон. В таких моделях объясняющая переменная воздействует на зависимые переменные с некоторым запаздыванием (лагом).

Рассмотрим цену на золото {Xt} и курс евро {Yt} с 3 января 2012 года по 30 декабря 2012 года. Графики временных рядов {Xt} и {Yt} представлены на рисунке 1 и 2.

 

Рисунок 1 Динамика цены на золото.

 

 

Рисунок 2 Динамика курса евро.

 

Рисунок 3 Автокорреляционная функция для {Xt}.

Рисунок 4 Автокорреляционная функция для {Yt}.

 

Рисунок 5 Частная автокорреляционная функция для {Xt}.

 

Рисунок 6 Частная автокорреляционная функция для {Yt}.

 

Автокорреляционные функции и частные автокорреляционные функции обоих рядов говорят об отсутствии циклических колебаний и о их стационарности.

Необходимо построить модель, позволяющую с наименьшими ошибками восстанавливать и прогнозировать значения Yt по значениям Xt,  Xt-1,…, Xt-q для t ³ q +1 (при этом предполагается что q < n). Т.е. используем модель Алмон:

 

,   (1)

 

где – гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией .

Коэффициент при переменной называется краткосрочным мультипликатором и характеризует среднее изменение курса при изменении цены на одну единицу в момент времени t без учета воздействия лаговых значений фактора X.

Модель полиномиальных лагов Алмон подразумевает, что коэффициенты определяются полиномами:

 

   (2)

 

Где — некоторые неизвестные параметры, которые определяются из условия наиболее точной подгонке модели (1).

Подставлял последовательно в (2) k= 0,1,2,..., q, получаем

 

     (2’)

 

Заменяя в (1) коэффициенты их выражениями по формулам (2’), получим:

 

(3)

 

Суммируя и остальные слагаемые правой части (3) по столбцам, получаем:

 (3’)

 

Обозначая первую скобку в правой части (3’) как вторую — как ,..., m-ю — как , где «новое» время t' «привязано» к моменту времени t-q (т. e. t' = t-q), получаем:

 

      (3’’)

 

В результате задача оценивания q+2 неизвестных весовых коэффициентов , свелась к статистическому анализу стандартной линейной модели множественной регрессии всего с m+1 неизвестными параметрами (при этом предполагается, что длина исходных временных рядов N много больше, чем q+т). Так что оценки и aj- параметров и aj (j = 1,2,…,m) получаются с помощью обычного МНК, после чего по формулам (3') вычисляются оценки (k = 0,1,..., q). Заметим, что данной схеме максимальную величину лага q считаем известной. В действительности она, как правило, определяется статистически. Обычно проводят описанные выше расчеты для нескольких предположительных значений q и окончательный выбор между ними производят на основании диагностики полученных моделей, т. е. — путем сравнения различных характеристик их точности.

С помощью ППП Statistica рассчитываются коэффициенты модели, предварительно указывается длинна лага и порядок. Результат расчетов представлены в таблице 1.

 

 

Таблица 1 Модель полиномиальных лагов Алмон.

 

Полиномиал. лаги Алмона; Коэффициенты регрессии (исходные данные.sta) Незав: Золото (за 1 г) Зав: 1 евро (EUR) Лаг: 2 Пор. полин.: 1 R= ,9995 R-квадр.= ,9991 N: 252
	Регресс.	Станд.	t( 249)	p
0	0,008341708000	0,003340913685	2,4968343355	0,013177731907
1	0,007974800296	0,000015325702	520,3546334313	0,000000000000
2	0,007607892592	0,003342160192	2,2763398983	0,023675158758
Полиномиал. лаги Алмона; Коэффициенты регрессии (исходные данные.sta) Незав: Золото (за 1 г) Зав: 1 евро (EUR) Лаг: 3 Пор. полин.: 2 R= ,9996 R-квадр.= ,9991 N: 251
	Регресс.	Станд.	t( 247)	p
0	0,010195954714	0,003957244452	2,576528904853	0,010561535392
1	0,001679166807	0,003191331520	0,526164955315	0,599245720440
2	0,001722243102	0,003200892340	0,538050930527	0,591026391982
3	0,010325183601	0,003935303599	2,623732410976	0,009238708061
Полиномиал. лаги Алмона; Коэффициенты регрессии (исходные данные.sta) Незав: Золото (за 1 г) Зав: 1 евро (EUR) Лаг: 4 Пор. полин.: 1 R= ,9996 R-квадр.= ,9991 N: 250
	Регресс.	Станд.	t( 245)	p
0	0,004410034855	0,001886119271	2,3381526947	0,020184661570
1	0,004597076910	0,000942873596	4,8756025488	0,000001951785
2	0,004784118965	0,000008955130	534,2321968798	0,000000000000
3	0,004971161020	0,000943745002	5,2674832804	0,000000302841
4	0,005158203075	0,001886990706	2,7335604037	0,006722343355
Полиномиал. лаги Алмона; Коэффициенты регрессии (исходные данные.sta) Незав: Золото (за 1 г) Зав: 1 евро (EUR) Лаг: 4 Пор. полин.: 2 R= ,9996 R-квадр.= ,9991 N: 250
	Регресс.	Станд.	t( 245)	p
0	0,009145829153	0,003405146112	2,685884497316	0,007728426054
1	0,002267615212	0,001683300122	1,347124723902	0,179184724615
2	0,000086851436	0,002816446915	0,030837235371	0,975424451793
3	0,002603537825	0,001702813127	1,528962740403	0,127563756650
4	0,009817674379	0,003367564506	2,915363420985	0,003881885763

 

Так как величина R не увеличивается, то нет смысла увеличивать число лагов. Полеченное уравнение регрессии:

 

 

Спрогнозируем согласно построенной модели курс евро на 2012 год. Фактические и прогнозные значения представлены на рисунке 7.

 Рисунок 7 Фактические и прогнозные значения.

 

Критерием точности модели является относительная ошибка:

 

 

 

Так как относительная ошибка составляет менее 13%, то точность модели признается адекватной.