Дифференциальные уравнения в экономических моделях

Министерство образования  и науки РФ

 САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

 

 

 

 

Кафедра математической экономики

 

 

 

 

Дифференциальные  уравнения в экономических моделях

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

студента 2 курса механико-математического факультета

 

Семеновой Екатерины Вячеславовны

 

 

 

 

Научный руководитель

     Старший преподаватель                            _______________  С.Н. Купцов

                                                                                                                                           

 

Зав. кафедрой

       Профессор,     д.ф.-м.н                                ________________   С. И. Дудов

                                                                                                                                      

 

 

 

 

 

 

 

 

Саратов

2012 год

 

Содержание

 

 Введение……………………………………………………………………………….3

 

1.    Экономические модели и методы их решения.

1.1. Модель Эванса....................……………………………………………………....5

1.2. Модель Солоу ….…………………………………………………...…………....7

          1.2.1. Параметры модели Солоу………………………………………………7

          1.2.2. Стационарные траектории в модели Солоу…………………………..9

2.    Некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях.

2.1.  Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений.....12

2.2. Теорема существования и единственности решения………………………...13

2.3. Понятие об устойчивости решений дифференциального уравнения………14

2.4. Понятие о дифференциальных  уравнениях высших порядков и системах дифференциальных уравнений……………………………………………………..15

 

Заключение.......................................................………………...................................18

Список использованной литературы...............…...................…………..................19

Приложения.......................................................................................…......................20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

   В последние столетия математические методы всё настойчивее проникают в гуманитарные науки и в частности, в экономику. Недооценка применения математических методов в гуманитарных науках была характерной, по-видимому, для большей части XX в. Так, например, выдающийся английский экономист А. Маршалл не видел особых преимуществ в использовании математики в экономических исследованиях. Рассуждая о значении математики для экономической науки, он в своём фундаментальном труде, написанном около ста лет тому назад, отмечал, что «подготовка в области математики полезна тем, что она позволяет овладеть максимально сжатым и точным языком для ясного выражения некоторых общих отношений и некоторых коротких процессов экономических рассуждений, которые действительно могут быть выражены обычным языком, но без равноценной чёткости схемы». Несмотря на эти слова, А. Маршалл в своих работах широко использовал аппарат дифференциального исчисления, в то время как К. Маркс ограничивался в своих работах преимущественно арифметическими примерами.

   Экономика и управление – это прикладные науки, и их важная практическая задача заключается в использовании методов обоснования и выбора тех или иных решений. В общем случае для научного познания любого явления или процесса можно пользоваться в качестве инструментариев такими четырьмя методами: теоретическим анализом; наблюдением; научным экспериментом; моделированием. Если первые три подхода успешно используются, например, в технических науках, то на долю экономики и управления выпадает последнее (за исключением наблюдения, используемого в статистике).

   Объяснить это можно тем, что экономические процессы достаточно длительны. Для сбора необходимого для теоретического анализа статистического материала часто необходимы годы и десятилетия, из-за этого усложняется проявление действующих закономерностей и влияние многочисленных отдельных факторов. То же имеет отношение и к научному

эксперименту, чтобы результаты были достоверны и надёжны, экономический эксперимент должен быть длительным и многомасштабным. Таким образом, в распоряжении экономистов и менеджеров остаётся только одно – математическое моделирование экономических явлений и процессов.

  Таким образом,  тема, рассматриваемая в данной работе,  актуальна и является фундаментом для построения научных трудов и функционально используется в производстве, что не маловажно для современной экономики. Многие результаты анализа социально-экономических процессов не могут быть получены без использования математических моделей, несмотря на то, что после осмысления эти результаты выражаются и интерпретируются на обычном языке и зачастую становятся «очевидными» и «само собой разумеющимися».

  Применение метода математического моделирования в экономике – объективный этап её развития, связанный с существованием устойчивых количественных закономерностей и возможностью формализованного описания многих, хотя и далеко не всех, экономических процессов. Согласно современным представлениям, развитие всех наук происходит фактически по единой схеме, которая включает несколько периодов. А.А. Дородницын выделял следующие четыре: описательный период; период упорядочения и систематизации накопленной информации; период выявления и установления связей и соотношений; «точный» период, в котором широко используется метод математического моделирования для анализа различных объектов этой науки.

     Целью курсовой работы является рассмотрение экономических моделей, для решения которых используются дифференциальные уравнения, а так же методов их решения. Для реализации поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

-рассматриваются экономические модели;

-приводятся решения экономических моделей с помощью дифференциальных уравнений;

-приводятся общие  сведения о дифференциальных  уравнениях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Экономические модели и методы их решения

 

   Дифференциальные уравнения широко используются в моделях экономической динамики, в которых исследуются не только зависимость переменных от времени, а и от их взаимосвязи во времени. Такими моделями являются: модель Эванса – установления уравновешенной цены на рынке одного товара; а также динамическая модель экономического роста, известная под названием «базовая модель Солоу».

 

 

1. Модель Эванса

  В модели Эванса рассматривается рынок одного товара, время считается непрерывным. Пусть  d(t), s(t), p(t) — соответственно спрос, предложение и цена этого товара в момент t. И спрос, и предложение считаются линейными функциями цены, т.е. d(p) = а - bр,  a, b > 0 — спрос с ростом цены падает, a s(p) = α+ βp, α, β> 0 — предложение с ростом цены растет. Естественно считать, что а > α , т.е. при нулевой цене спрос превышает предложение (по-другому говоря, товар желателен).

   Основное предположение состоит в том, что цена изменяется зависимости от соотношений между спросом и предложением: Δp= γ(d-s) Δt где γ> 0.

  Согласно этому предположению взаимодействие потребителей и производителей происходит таким образом, что отражающая это взаимодействие цена непрерывно приспосабливается к ситуации на рынке: в случае превышения спроса над предложением – возрастает, в противоположном случае – убывает. Таким образом, увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превышения. Итак, получаем дифференциальное уравнение:

 

dp/dt= γ(d-s)

 

   Подставляя в это уравнение линейные зависимости спроса и предложения от цены, получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение с начальным условием:

dp/dt= -γ(b + β)p – a + α), p(0) = p₀                                                            (1)

    Это уравнение имеет стационарную точку     p* = (a– α)/(b+ β) >0

Получаем равновесную  цену – абсциссу точки пересечения прямых спроса и предложения, т.е. при такой цене спрос равен предложению.

   Видно, что dp/dt > 0 при р *>р и dp/dt < 0 при р *< р.

Отсюда следует, что   lim p(t)= p^*.

^t→∞

  При р₀ < р* цена стремится к р* возрастая, а при р₀ > р* — убывая. Сама цена р* есть равновесная цена — при ней равны спрос и предложение:

 

d(p) = s(p) => a-bp = α+ βp => р* = (a – α)/ (b+β)

 

  Равновесная цена может быть найдена также графически — как точка пересечения прямых спроса d(p) =  а - bр и предложения s(p) = α+ βp (рисунок 1).

_{Рисунок 1}

 

 

Решением данного дифференциального  уравнения является

 p(t) = p₀ e^{-γ (b+ β )t} + (a -α ) / (b+β) [1 – e^{- γ (b + β )t} ]                                  (2)

или

p(t) = p₀ e^{-γ( b+ β )t} + p*[1 – e^{- γ( b+ β )t} ]

 

   Рассмотрим дискретный аналог модели Эванса. В дискретной модели рынок функционирует следующим образом; утром на рынке обнаруживается некоторое предложение s и спрос d, В зависимости от их значений цена начинает равномерно расти или убывать: если утром спрос был больше предложения, то возрастать; если предложение было больше спроса, то убывать. Предположим, что начальная цена была р₀ , при этом s(p₀) < d(p₀), Следовательно, цена начнет

возрастать. За день она  возрастет до некоторого значения p_1. На следующее утро предложение и спрос будут соответствовать этой цене p₁ при этом опять будет s(p₁) < d(p₁ ) и цена будет возрастать и так далее.

 

 

 

2. Модель Солоу

1.2.1. Параметры  модели Солоу

   Модель Солоу рассматривает экономику как единое целое (без структурных подразделений), в ней производится единственный универсальный продукт, который может потребляться как в непроизводственной сфере, так и в производственной; потребление его в производственной сфере может рассматриваться как инвестирование. Эта модель достаточно адекватно отображает самые важные макроэкономические аспекты процесса производства. В модели Солоу используется производственная функция Кобба—Дугласа¹, где труд и капитал являются субститутами. Необходимым условием равновесного состояния экономической системы выступает равенство совокупного спроса и совокупного предложения.

   Состояние экономики в модели Солоу задается пятью переменными состояния: Y — конечный продукт, L — наличные трудовые ресурсы, К — производственные фонды, I — инвестиции, С – размер непроизводственного потребления. Все переменные взаимосвязано изменяются во времени, т.е. являются функциями времени t. Далее аргумент t будет опускаться (но будет подразумеваться по умолчанию).

   Время предполагается непрерывным. Для мгновенных показателей К, L можно считать, что K, L — соответственно фонды и трудовые ресурсы в момент t или, чтобы избежать сезонных изменений числа занятых и всплеска фондов при вводе новых мощностей, К и L можно считать средними значениями этих величин за год, серединой которого служит t. Значения величин Y , C, I в момент t можно себе представить, как их объемы, накопленные год, серединой которого служит момент t (но и в этом случае они остаются функциями времени и их лучше воспринимать как мощность производства и мгновенные скорости потребления и инвестирования).

  Считается, что ресурсы (производственные и трудовые) используются полностью. Годовой конечный продукт в каждый момент времени является функцией среднегодовых фондов и труда: Y = F(K,L). Таким образом, F(K, L) — производственная функция всего народного хозяйства. Конечный продукт используется на непроизводственное потребление и инвестиции: Y = С + I. 

     Назовем нормой накопления р долю конечного продукта, используемого на инвестиции, тогда

I = рУ ,  С = (1 - р)Y.

  В дальнейшем норма накопления будет считаться постоянной: р = const,

0 < р <1.

  Инвестиции используются на восстановление выбывших фондов и на их прирост (считается, что эти инвестиции расходуются только на эти цели). Если принять, что выбытие происходит с постоянным коэффициентом выбытия μ,

0< μ<1 (в расчете на год), то K = K(t+ Δt) – K(t) = ρYΔt – μKΔt, поэтому 

 

dK/dt = ρY – μK.

 

  Если считать, что прирост трудовых ресурсов пропорционален наличным трудовым ресурсам, т.е. ΔL = vL • Δt, то получаем дифференциальное уравнение dL/dt = vL, и, решая его, получаем L =L₀e^vt , где L(0) — трудовые ресурсы в начале наблюдения, при t = 0.

Таким образом, модель Солоу задается системой уравнений:

С = (1 - р)Y

Y = F(K,L)                                              (3)

L =L₀e^vt

dK/dt = ρY – μK,  K(0)=K_o

 

Функция F(K, L) удовлетворяет требованиям к производственным функциям ² и считается линейно-однородной, т.е. F(λK, λ L). Пользуясь ее однородностью и обозначив среднюю производительность труда у = Y/L и  среднюю фондовооруженность k = K/L, получаем