Исследование структуры систем автоматического регулирования

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра Информационно-управляющих  систем

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по автоматике на тему: «Исследование структуры систем автоматического регулирования »

Вариант № 199

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка 47 гр

                      Шостак Л.Ю.

                                                                          Проверил: преподователь

                                                                                             Мувин Д. С.

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2012

Введение

Основное из динамических свойств системы управления – ее устойчивость, под которой понимают способность системы за счет своих внутренних сил возвращаться в состояние установившегося равновесия после устранения возмущения, вызвавшего нарушение равновесия.

Систему называют неустойчивой, если при сколь угодно малых отклонениях от установившегося равновесия она не можем возвратится к этому состоянию, а непрерывно удаляется от него или совершает около него недопустимо большие колебания. Подобные системы не работоспособны.

Для математического  определения условий устойчивости системы предложен ряд методов анализа линейных дифференциальных уравнений, который применительно к системам автоматического управления называются критериями.

Различают алгебраические и частотные критерии. Алгебраический критерий применяют для исследования систем, процессов которых описываются уравнениями не выше пятого- шестого порядка, а частотные критерии, которые относятся к графо-аналитическим - для исследования систем, характеризуемых уравнениями любого порядка.

 

Исследование  структуры систем автоматического регулирования

 

Задание:

 

1. По заданным дифференциальным уравнениям элементов входящих в структуру определить их передаточные функции W(p).
2. Построить структурную схему САР и определить и её общую передаточную функцию при заданном входном воздействии по каналу регулирования.
3. Определить устойчивость САР по критерию Михайлова и критерию Гурвица. При неустойчивой работе структуры произвести коррекцию, определив изменённые коэффициенты и довести систему до устойчивого состояния.

Исходные данные:

 

Заданы дифференциальные уравнения:     

1.   

2.     

3.     

4.      

5.

 

Значения коэффициентов:

 

а₁=8  b₁=7        c₁=1   d₁=6

a₂=50  b₂=490      c₂=5,5

a₃=7  b₃=14

a₄=6  b₄=1,5

a₅=75  b₅=16

 

К построению структурной  схемы:

 

Решение:

 

1) Определим передаточные функции  элементов структуры:

Заменим в дифференциальных уравнениях и подставим значения коэффициентов:

 

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

 

1. 8р²y₁(р)+7ру₁(р)+у₁(р)=6х₁(р)
2. 50ру₂(р)=490х₂(р)
3. 7у₃(р)=14х₃(р)
4. 6ру₄(р)+1,5у₄(р)=5,5х₄(р)
5. 75у₅(р)=16х₅(р)

 

 

1. (8p²+7p+1)y₁(р)= 6x₁(р)
2. 50py₂(р) = 490x₂(р)
3. 7y₃(р)= 14x₃(р)
4. (6p+1,5)y₄(р) = 5,5x₄(р)
5. 75y₅(р)= 16x₅(р)

 

так как y(p)=W(p)∙x(p), то передаточные функции W(p) равны:

1.

2.

3.

4.

5.

2) По уравнениям построим  структурную схему САР: 

 

Определим общую передаточную функцию структуры, используя правило  колец:

 

 

 
 

В итоге получим: 

 

 

 

Подставим уравнения элементов  структуры:

              

 

Отсюда:

 

Характеристическое уравнение  имеет вид:

 

A(p)=2400p⁴ +26220p³ +27285p² +11917,32p + 34014,33 = 0

 

3) Определим устойчивость по критерию Михайлова:

G(р)= 2400p⁴ +26220p³ +27285p² +11917,32p + 34014,33

 

Заменяем р на jw

 

G(jw)=2400w⁴-j26220w³-27285w²+j11917,32w+34014,33

 

Выделяем реальную и  вещественную часть 

R(w)=2400w⁴-27285w²+34014,33

V(w)=-j26220w³+j11917,32w

 

Строим годограф

w	0	1	2	3	4	10	20	50
R	34014	9129	-36726	-17151	211854	21305514	373120014	14931821514
V	0	-14302,7	-185925	-672188	-1630410,7	-26100826,8	-209521653,6	-3276904134

 

 

Как видим годограф проходит лишь через 3 координатные плоскости, следовательно  система не устойчива по критерию Михайлова, т.к. в нашем случае годограф должен проходить через четыре координатные плоскости.

 

Определим устойчивость по критерию Гурвица.

 

Условие необходимости  выполняется так как все коэффициенты положительные: а₀ =2400>0; a₁=26220>0; a₂=27285>0; a₃ =11917,32>0; a₄=34014,33>0;

Проверим выполняется  ли условие достаточности. Формируем  матрицу с (n) коэффициентами по диагонали:

 

∆ = =

 

Найдём определители:

 

1. ∆₁ = а₁ =26220>0

 

2. ∆₂= = =6,87E+08>0

 

3. =-1,52E+13<0

 

Система неустойчива  так как ∆₃<0

 

Для того чтобы систему  сделать устойчивой необходимо внести коррекцию.

Учитывая условие необходимости - коэффициенты положительные: а₀>0; a₁>0; a₂>0; a₃ >0; a₄ >0;

 

Пересчитаем с неизвестными коэффициентами А=а₀ и В=а₂ и найдем их методом подбора, построив график

∆₂= = =26220В-11917,32А

Приравняем его к 0

26220В-11917,32А=0; Þ 26220В=11917,32А; Þ В=0,455А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Строим эту зависимость

 

Подбираем коэффициенты А и В, не лежащие на самой прямой, т.к. если брать коэффициенты принадлежащие  этой прямой то определитель D₂=0

Берем из нижней полуплоскости  относительно прямой А=10000 и В=1000 и  проверяем на устойчивость исходную но с этими коэффициентами систему.

 

∆ = =

 

1. ∆₁ = а₁ =18720>
2. ∆₂= = =-92953200<0
3. =-2,45E+13<0

В данном случае система  не устойчива

 

Берем из верхней полуплоскости  относительно прямой А=100 и В=75000 и  проверяем на устойчивость исходную но с этими коэффициентами систему

 

∆ = =

 

1. ∆₁ = а₁ =262200>
2. ∆₂= = =1,97Е+09>0
3. =3,68E+10>0

 

И так мы подобрали коэффициенты при которых система будет  устойчива по критерию Гурвица.

 

Проверим устойчивость системы с новыми коэффициентами по критерию Михайлова:

 

Характеристическое уравнение  имеет вид:

 

A(p)=100p⁴ + 26220p³ + 75000p² + 11917,32p + 34014,33 = 0

 

Заменим в уравнении p = jω и оно примет вид:

А(jw)=100w⁴-j26220w³-75000w²+j11917,32w+34014,33

 

Выделяем реальную и  вещественную часть 

R(w)=100w⁴-75000w²+34014,33

V(w)=-26220³+j11917,32w

 

Строим годограф

w	0	1	2	3	4	10	20	50
R	34014	-40886	-264386	-632886	-1140386	-6465986	-13965986	437534014
V	0	-14302,7	-185925	-672188	-1630410,7	-26100826,8	-209521653,6	-3276904134

 

 

 

Как видно из графика  годограф Михайлова последовательно  проходит 4 квадранта против часовой стрелки, следовательно, система устойчива.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Библиографический список

 

 

1. И.Ф.Бородин, Н.И.Кирилин «Основы автоматики и автоматизации производственных процессов», М.1977г.
2. И.Ф.Бородин, Н.И.Кирилин «Практикум по основам автоматики и автоматизации производственных процессов», М.1974г.