Арифметические основы вычислительных машин

Как и следовало ожидать мы снова получили 0.

При записи числа в дополнительном коде старший разряд является знаковым. Если его значение равно 0, то в остальных разрядах записано положительное двоичное число. Если же знаковый разряд равен 1, то в остальных разрядах записано отрицательное двоичное число, преобразованное в дополнительный код.

Посмотрим, как  представляется первые  последовательные  числа при переходе через ноль (для чисел записанных в восьмиразрядную решетку):

0	0000 0000
-1	1111 1111
-2	1111 1110
-3	1111 1101
-4	1111 1100
-5	1111 1011

Для получения значения отрицательного числа все разряды инвертируются, а к результату добавляется единица. Обратное преобразование, то есть перевод из дополнительного в прямой код, осуществляется аналогично.

Получим отрицательное число −5, записанное в дополнительном коде.

Запишем 5 в двоичном виде, дописывая недостающие нули слева:

0000 0101

Инвертируем все разряды числа, получая таким образом обратный код:

1111 1010

Добавим к результату 1, получим искомый результат (−5 в дополнительном коде)

1111 1010 + 1 = 1111 1011 

Для обратного преобразования используется тот же алгоритм. А именно:

Инвертируем все разряды числа

0000 0100

Добавим к результату 1 и получим снова положительное число 5

0000 0100 + 1 = 0000 0101

Числа с плавающей запятой (точкой)

В форме с плавающей запятой число представляется двумя компонентами:  мантиссой и порядком. Мантисса используется для записи  цифр  числа,  а порядок –  для указания положения запятой.

Разрядная сетка машины в этом случае делится на  несколько  частей:

• один разряд  – для кодирования знака числа (это всегда самый старший, левый, разряд слова);
• M разрядов  –  для записи мантиссы;
• Р разрядов   –  для записи порядка (с учетом его знака).

Местоположение запятой при этом  тоже  строго  фиксируется: считается, что мантисса всегда представляется как число, меньшее единицы, но такое, в котором первая цифра после запятой для всех абсолютно чисел отлична от нуля (единственное исключение составляет число 0).  Такая форма  представления  мантиссы  называется нормализованной. Иначе говорят, что мантисса нормализована (приведена к виду: 1 < M <= 0,1).

Итак, число в форме с плавающей запятой представляется последовательностью битов без каких либо явно указанных  разделителей,  но функционально разбитой на три группы (знак числа, мантисса числа, порядок числа).

Рассмотренная форма  кодирования  числа  приводит  к  следующим последствиям:

• Диапазон  чисел,  представимых в форме с плавающей запятой, определяется главным образом разрядностью порядка (Р).
• Разрядность  мантиссы  (М)  определяет точное количество значащих цифр в изображении числа.

 

 

…

…

 

Покажем на примерах, как записываются некоторые числа в нормализованном виде в четырехбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка.

 

Число 6.25

Преобразуем в двоичный вид

 

6.25 =     = = 11001b*2-2

 

Нормализуем, т.е. записываем в виде M * 2p , где 1 < M <= 0,1. Для нашего случая первую часть выражения (мантиссу) умножаем на  2-5 , а вторую на 25 

11001b*2-2 = 11001b * 2-5  *2-2 * 25  =   0.11001b*23 =   0.11001b*211b

Выпишем представление числа в памяти.

31	30	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

 

Число –0.125

–0.125 = –      = –1*2-3

Нормализуем

–1*2-3 = –0.1*2-2

Отрицательный порядок записываем в дополнительном коде:

–0.1*2-2 = –0.1*2111111101

 

Теперь размещаем число в нашем четырехбайтовом формате

31	30	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

 

 

 

Представление чисел в компьютере

Представление целых чисел

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 0000 0000b до 1111 1111b , а в двубайтовом формате – от 0000 0000 0000 0000b до 1111 1111 1111 1111b.

Диапазоны значений целых чисел без знака

Формат числа в байтах	Диапазон
	Запись с порядком	Обычная запись
1	0 ... 28–1	0 ... 255
2	0 ... 216–1	0 ... 65535

 Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак «плюс» кодируется нулем, а «минус» – единицей.

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Формат числа в байтах	Диапазон
	Запись с порядком	Обычная запись
1	–27 ... 27–1	–128 ... 127
2	–215 ... 215–1	–32768 ... 32767
4	–231 ... 231–1	–2147483648 ... 2147483647

 

Представление вещественных чисел

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному. При этом компьютер обычно предоставляет программисту возможность выбора из нескольких числовых форматов наиболее подходящего для конкретной задачи — с использованием четырех, шести, восьми или десяти байтов.

Приведем характеристики форматов вещественных чисел, используемых IBM-совместимыми персональными компьютерами:

Форматы вещественных чисел	Размер в байтах	Примерный диапазон абсолютных значений	Количество значащих десятичных цифр
Одинарный	4	10–45 … 1038	7 или 8
Вещественный	6	10–39 … 1038	11 или 12
Двойной	8	10–324 … 10308	15 или 16
Расширенный	10	10–4932 … 104932	19 или 20

Из этой таблицы видно, что форма представления чисел с плавающей точкой позволяет записывать числа с высокой точностью и из весьма широкого диапазона

 

 

Процессор

Архитектура компьютера и принципы его работы, сведения общего характера

Термин «архитектура» используется для описания принципа действия, конфигурации и взаимного соединения основных логических узлов ЭВМ. Архитектура – это многоуровневая иерархия аппаратно-программных средств, из которых строится ЭВМ.

Основы учения об архитектуре ЭВМ заложил выдающийся американский математик Джон фон Нейман. Первая ЭВМ «Эниак» была создана в США в 1946 г. В группу создателей входил фон Нейман, который и предложил основные принципы построения ЭВМ: переход к двоичной системе счисления для представления информации и принцип хранимой программы.

Программу вычислений предлагалось помещать в запоминающем устройстве ЭВМ, что обеспечивало бы автоматический режим выполнения команд и, как следствие, увеличение быстродействия ЭВМ. (Ранее все вычислительные машины хранили обрабатываемые числа в десятичном виде, а программы задавались путём установки перемычек на специальной коммутационной панели.) Нейман первым догадался, что программа может также храниться в виде набора нулей и единиц, причём в той же памяти, что и обрабатываемые ею числа.

Принципы фон Неймана

В основу построения подавляющего большинства компьютеров положены следующие общие принципы, сформулированные Джоном фон Нейманом еще в 1945 г.

1. Принцип программного управления. Программа состоит из набора команд, выполняющихся процессором автоматически в определенной последовательности.

Выборка программы из памяти осуществляется с помощью счетчика команд (PC). Этот регистр процессора последовательно увеличивает хранимый в нем адрес очередной команды на длину команды. А так как команды программы расположены в памяти друг за другом, то тем самым организуется выборка цепочки команд из последовательно расположенных ячеек памяти. Если же нужно после выполнения команды перейти не к следующей, а к какой-то другой, используются команды условного или безусловного перехода, которые заносят в счетчик команд номер ячейки памяти, содержащей следующую команду. Выборка команд из памяти прекращается после достижения и выполнения команды «стоп». (Необходимо уточнить – по команде стоп современный компьютер, конечно же, не останавливается: прикладная программа завершается, а управление возвращается операционной системе, которая, собственно, и запустила программу.)

Таким образом, процессор исполняет программу автоматически, без вмешательства человека.