Теории упругости

б. Не нулевое решение для направляющих косинусов при условии равенства  нулю определителя системы:

Замечание: Определитель 3-его порядка определяется по схеме:

Раскрывая определитель, получаем кубическое уравнение:

Эти величины называются соответственно 1-ым, 2-ым и 3-им инвариантами напряжённого состояния; их величина не зависит от ориентации осей координат (всегда постоянна).

Записанное кубическое уравнение  всегда имеет 3 действительных корня, которые  обозначаются цифровым индексом, выбираемым из условия.

Инварианты могут быть записаны через главные напряжения:

Вывод: Инварианты напряжённого состояния являются основными его характеристиками (не зависят от ориентации), а компоненты тензора напряжений – вспомогательными характеристиками (зависят от ориентации).

Определение положения главных  площадок

То есть значений направляющих косинусов  нормалей, проведённых к ним, проводится по схеме:

Определяются 3 действительных корня кубического  уравнения.

Для определения одной из трёх площадок в систему уравнений (а) после  преобразования в (а^/) подставляются значения одного из главных напряжений.

Из этой системы можно найти  отношения косинусов:

и , для чего достаточно использовать лишь 2 уравнения, а 3-е применить для проверки.

Таким образом после решения  системы двух линейных алгебраически неоднородных уравнений будут найдены: и

Преобразуем l² + m² + n² = 1 (б) в (б^/):

l² + m² + n² = 1 | : n²

и подставим найденные величины.

Можно определить величину направляющего косинуса.

(k - каппа) - два знака соответствуют двум площадкам.

Выбирая одно из значений, например можем определить значение оставшихся двух величин:

   и   

В качестве проверки используем уравнения (б) l² + m² + n² = 1 ?

Вывод: Найденные величины главных напряжений и значения направляющих косинусов к одной из площадок, соответствуют главному напряжению s_….

Для построения полученного вектора  нормали необходимо на осях координат нанести точки, соответственно величинам косинусов.

Пример:

 

 

 

 

Связь между перемещениями  и деформациями.

Геометрические уравнения  Коши.

 

При приложении к телу внешней нагрузки, оно испытывает 2 вида перемещений: как жесткое целое (изучает теоретическая механика) и за счёт изменения линейных и угловых размеров – изучает сопротивление материалов и теория упругости. Последние называются упругими деформациями.

Рассмотрим перемещение точки  А в положение А^/ в трёхмерном пространстве.

Вектор перемещения r, характеризующий перемещение точки, имеет компоненты U, V, W вычисляемые:

По оси x  

По оси y  

По оси z    

Или  

Разница в величинах перемещений  различных точек называется деформацией тела.

Относительной деформацией (линейной) в заданном направлении называется величина:

Аналогично в направлении других осей:

   и   

Угловая деформация (угол сдвига) –  характеризуется изменением прямого  угла.

 

Изменение прямого угла

Ввиду малости углов: a = tga, следовательно , , тогда:

                (3)    -  уравнения Коши

(3) – геометрические уравнения º уравнения Коши.

Пример:

Деформации = ?

              

 

Тензор деформаций и его разложение.

Матрица, составленная из компонентов  деформации, образует тензор:

По аналогии с тензором напряжений его можно разложить на шаровую  и девиаторную составляющие, учитывая, что средняя деформация вычисляется:

Шаровая составляющая тензора деформаций характеризует изменение объёма тела при деформации, а девиаторная  – изменение его формы.

 

Относительное изменение объёма (объёмная деформация).

Рассмотрим параллелепипед до и  после деформирования:

Первоначальный объём:

Объём после деформирования:

Относительное изменение объёма:

Пренебрегая величинами второго и третьего порядка малости, получаем:

     _{- относительное  изменение объёма  º объёмная деформация.}

 

 

 

Инварианты деформированного состояния.

 

По аналогии с напряжениями с напряжениями можно получить кубическое уравнение для определения главных деформаций:

, возникающих при отсутствии  угловых g_…,_… = 0. Они принимают экстремальные значения и определяются из кубического уравнения вида:

где 1, 2 и 3-ий инварианты деформаций вычисляются:

Инварианты  не зависят от ориентации осей координат (постоянные в любой системе!) и  являются главными характеристиками деформированного состояния.

Отметим, что объёмная деформация

равна первому инварианту деформированного состояния.

 

Уравнения совместности деформаций.

(Уравнения сплошности).

Геометрические уравнения Коши (3) связывают между собой 3 перемещения: U, V, W; и 9 компонентов тензора деформаций. (6 неравных) причём, 6 компонентов деформаций из геометрических уравнений могут быть определены однозначно путём дифференцирования. С другой стороны 3 компонента вектора перемещений должны быть определены из 6 уравнений путём интегрирования, то есть число уравнений избыточно и однозначного решения не получится. Это говорит о наличии связи между линейными e_…, и угловыми g_… деформациями.

  Рассмотрим соотношение:

Аналогично  можно получить два других соотношения (см. (4) – уравнения)

Рассмотрим  соотношения:

Возьмём частные производные от обеих частей по переменной «y».

Итак: получено соотношение:

Аналогично можно получить 2 других соотношения.

Полученные уравнения, выражающие связь линейных и угловых деформаций, называются уравнениями совместности деформаций º уравнения сплошности.

   (4)

(4) – уравнение совместности деформаций, или уравнение Сен-Венана.

Если  мысленно разбить тело до деформации на параллелепипеды и произвольно  каждое из них сдеформировать, то, вернув их на прежние места, в теле образуются пустоты, то есть будет нарушена сплошность тела. Это и говорит о наличии связи между линейными и угловыми деформациями:

Элементы  должны деформироваться не произвольно, а в соответствии с соотношениями (4).

 

Обобщённый закон  Гука.

В сопротивлении материалов формулировался обобщённый закон Гука в прямой форме, выражающий связь между деформациями и напряжениями через физические постоянные материала:

Е – модуль упругости 1-ого рода

G - модуль упругости 2-ого рода

n - коэффициент Пуассона.

Для стали      

-прямая форма

-обратная форма

Закон Гука, прямая форма, физические уравнения.

Просуммируем первые 3 уравнения.

Получим:

Тогда:

  _или

где   E₁ , I₁ – первые инварианты деформированного и напряжённого состояния.

Разделим обе части на 3 и, учитывая, что        _,

Получим:

_{где e0 и s0 – средние деформации и напряжения}

Вывод: Средние деформации прямопропорциональны средним напряжениям.

 

Выразим обратную зависимость, то есть напряжения через деформации:

а) для касательных:

   

m = G – параметр Ламе.

 

б) для нормальных напряжений

    Из первого уравнения: 

Тогда

То есть обратная форма закона Гука запишется в виде:

  - закон Гука, обратная форма  (физические уравнения)

Здесь m = G и   - параметры Ламе.

_{- объёмная деформация}

Замечание: Прямая форма связывает 6 деформаций и 6 напряжений посредством 6-и алгебраических уравнений, если решить систему, можно получить однозначную связь напряжений с деформациями.

Просуммируем первые 3 уравнения:

      получим   

Делим обе части на 3 и получаем:

- среднее напряжение прямопропорционально средней деформации.

 

Резюме:

Итак, напряжённо-деформированное  состояние упругого изотропного  тела описывается следующими компонентами:

1. 6-ю (всего 9, но 6 неравных) компонентами тензора напряжений
2. 6-ю (неравными) компонентами деформаций
3. 3-я компонентами вектора перемещений U, V, W.

Всего 15-ю величинами.

При этом тело находится под воздействием массовых сил с компонентами x, y, z и поверхностных сил (n - вектор нормали)

Для определения 15 неизвестных служат следующие  уравнения:

1. Статические уравнения º уравнения равновесия º уравнения Коши – 3 шт.
2. Геометрические уравнения Коши – 6 уравнений
3. Физические уравнения º закон Гука (в ПРЯМОЙ и ОБРАТНОЙ формах) – 6 уравнений

Таким образом, имеется 15 основных уравнений.

Уравнения (2) º условие на поверхности позволяют определить произвольные постоянные при интегрировании дифференциальных уравнений равновесия (вспомогательные уравнения)

При этом должны выполняться уравнения  совместности деформаций (4) º уравнения сплошности º Сен-Венана (вспомогательные уравнения).

Таким образом, для определения 15-и неизвестных  существует 15 основных уравнений и  ряд вспомогательных, то есть задача в принципе разрешима.

Однако, решение задачи ввиду сложности уравнений затруднительно и с другой стороны нахождение 6-и напряжений из трёх уравнений равновесия (1) не представляется возможным.

Поэтому некоторые из уравнений надо преобразовать, выбирая в качестве основных неизвестных  либо перемещения, либо напряжения.

Кроме того при необходимости следует  преобразовать условие на поверхности.

 

Решение задачи теории упругости в перемещениях.

Преобразуем дифференциальные уравнения  равновесия в напряжениях (1) в д.у., в котором фигурируют лишь перемещения.

Рассмотрим первое:

Из обратной формы закона Гука:

,    

,  

, тогда

здесь  l, m - параметры Ламе,

           q - относительное изменение объёма

           U – перемещение в направлении оси Х.

           Х – проекция массовой силы  на ось х.

Рассматривая  аналогично 2 других уравнения получается группа 3-ёх д.у. уравнений, в которые  входят 3 перемещения, являющихся уравнениями  равновесия:

   - уравнения Ламе º уравнения равновесия в перемещениях.

- дифференциальный оператор º Лапласса.

Функция удовлетворяющая уравнению  называется гармонической.

Аналогично  можно преобразовать условия  на поверхности (2).

где - проекции поверхностных сил на оси координат.

        l, m - параметры Ламе 

        q = - относительное изменение объёма

        l, m, n – направляющие косинусы нормали к поверхности.

        n - нормаль

(8) – условия на поверхности  через перемещения.

Итак, схема решения задачи теории упругости в перемещениях:

1. из 3-ёх  д.у. Ламе (7) с добавлением условий на поверхности (8) (для определения произвольных постоянных) определяются 3 компонента перемещений: U, V, W.
2. Из геометрических уравнений Коши (3) определяются 6 компонентов деформации .
3. Из обратной формы закона Гука (6) определяются 6 компонентов напряжений.

При этом должны выполняться уравнения  совместности (4)

Вывод: 15 неизвестных определены из 15 уравнений (основных) и ряда вспомогательных.

 

Решение задачи теории упругости в напряжениях.

Выбирая в качестве основных неизвестных  напряжения можно вывести аналогично предыдущему случаю (д.у. равновесия в перемещениях!) группу разрешающих уравнений. В частности, уравнения совместности Сен-Венана могут быть выражены через напряжения в виде:

Уравнения Бельтрами-Митчела º уравнения совместности в напряжениях.

Здесь n - коэффициент Пуассона.

- дифференциальный оператор.

Таким образом, схема решения задачи теории упругости в напряжениях (определение 15-и неизвестных из 15-и основных и ряда дополнительных уравнений):

1. Из д.у. равновесия (1) (Навье), 3 шт. с добавлением д.у. Бельтрами-Митчела (9) – 6 шт., определяются 6 компонентов тензора напряжений (всего 3 + 6 = 9 уравнений, а неизвестных 6, 3 лишних уравнения используются для получения единственности решения) при интегрировании д.у. произвольные постоянные определяются из условий на поверхности (2).
2. Из физических уравнений (закон Гука (5) прямая форма) находятся 6 компонентов тензора деформаций .
3. Интегрирование д.у. Коши (геометрических (3)) с привлечением уравнений совместности деформаций (Сен-Венана (4)) определяются 3 компонента вектора перемещений U, V, W.

Таким образом, определены все 15 неизвестных.

 

Методы решения  задач теории упругости.

Теорема единственности решения (без доказательства)

Для тела, находящегося в естественном состоянии, решение задач теории упругости существует и единственно  при условии выполнимости принципа независимости действия сил.