Теоретические основы электротехники

Порядок расчёта :

1. Произвольно указываем направления  токов в ветвях;

2. Отключаем исследуемую ветвь  (цепь) – режим холостого хода;

3. Определяем напряжение холостого  хода  на зажимах разомкнутой ветви (цепи);

4. Находим входное (эквивалентное) сопротивление со стороны зажимов разомкнутой ветви;

5.  Ток в исследуемой ветви  определяется согласно выражению  :

,                                     (8.6)

где – сопротивление ветви, в которой определяется ток.

При совпадении направления тока с  направлением действия ЭДС в числителе  знак «плюс», при противоположных  направлениях – «минус».

Пример.    Произведём   расчёт   тока   в   ветви   «ВС»   для   схемы рисунке 8.2.

= 20 В,  = 12 В,

= 6 В,  = 24 В,

2 Ом,

1 Ом, 10 Ом.

 

 

Рисунок 8.2 - Сложная электрическая схема

Решение :

 

 

Рисунок 8.3 – Электрическая схема после преобразования

 

Определяем напряжение холостого  хода на зажимах разомкнутой ветви «ВС». Схема для этого случая примет вид (рисунок 8.3).

Для определения искомого напряжения необходимо вычислить ток в контуре и напряжение между точками «А» и «В» ( ):

= 24 / (2+10) = 2 А.                                (8.7)

=                                                (8.8)

 = [(20·0,5 + 12·0,5) / (0,5 + 0,5)] = 16 B.

2·10 – 16 = 4 В.                           (8.9)

Для определения  найдём входное сопротивление относительно зажимов «В» и «С» при закороченных источниках ЭДС ( , , - отсутствуют) :

.         (8.10)

Определяем неизвестный ток :

0,55 А.                        (8.11)

9 Векторное  изображение электрических величин  (тока, напряжения, ЭДС). Примечание комплексных чисел для расчета электрических цепей.  Представление синусоидальных э.д.с., напряжений и токов

комплексными  числами

 

При изображении вращающихся векторов синусоидальных э.д.с, напряжения и  тока на комплексной плоскости ось  абсцисс плоскости декартовых координат  совмещают с осью действительных или вещественных величин (ось + 1) комплексной  плоскости. Тогда мгновенные значения синусоидальных величин получают на оси мнимых величин (ось+j)[11] .

Как известно, каждому вектору на комплексной плоскости соответствует  определенное комплексное число, которое  может быть записано в показательной, тригонометрической или алгебраической форме. Например, э.д.с. Emsm (cot + ц/с) изображенной на рисунке 9.1 вращающимся вектором, соответствует комплексное число.

Рисунок 9.1  - Изображение синусоидальной  э.д.с.  вращающимся вектором на комплексной плоскости

                                                              Um=Um+jUm,                                                          (9.1)

                           Em ef(ωt+ψe)= Em cos(ωt+ψe)+jEmsi n+(ωt+ψe)= е'+je                              (9.2)

Фазовый уголь a>t+ у/, определяют по проекциям вектора  на оси координат +1   

                                                             tg (ωt+ψe)= е/е'                                                          (9.3)      

Мнимая составляющая комплексного числа вектора на комплексной плоскости определяет синусоидальное изменение э.д.с. и обозначается символом Im

                                                 e=E_m sin(ωt+ψe)=Im E_m е'^(ωt+ψe).                                                (9.4)

Комплексное число   E ^{j(ωt+ψe )}   удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел

                                    E_m е'^(ωt+ψe)= E_m е' ^ψe e ^ωt = E_m е^(ωt                                                ( 9.5)                                                    

           Первое комплексное число E_m соответствующее положению вектора в начальный момент времени, называют комплексной амплитудой

                                       E_m = E_m е^tψe                                                                                              (9.6)

Второе комплексное  число E^ψ является оператором поворота вектора на

угол cat относительно начального положения вектора.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно

мнимой   части   без   знака  j   произведения   комплекса амплитуды   Ет   и

оператора  вращения

                                                 e=E_m sin(ωt+ψe)=Im E_m е^jωt.                                                      (9.7)                               

Переход   от   одной   формы   записи   синусоидальных   э.д.с,   токов   и

напряжений к другой осуществляется весьма просто с помощью  формулы

Эйлера е^jωt - cos +/sin a.

Если,  например,   комплексная  амплитуда  напряжения  задана  в  виде

комплексного числа  в алгебраической форме

                                                              U_m =U_m+ jU_m                                                          (9.8)       то, чтобы записать ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу <р „, т.е. угол, который образует вектор U_m с осью + 1.

В данном случае вектор U_m расположен в первом квадранте комплексной плоскости, и его начальная фаза (рисунок 9.2) определяется соотношением

                                                    Tg ψ_u=U_m /U_m                                              (9.9)

Мгновенные значения напряжения

                                                 u=ImU_m e ^ωt =ImU_me'^(ωt+ψe)= U_m sin(ωt+ψe),                         (9.10)

Рассмотрим другой пример, когда комплексная амплитуда  тока задана комплексным числом

                                                      I_m=-I_m+jI_m                                            (9.11)

Вектор   комплексной   амплитуды   тока   /_т   расположен   во   втором квадранте комплексной плоскости (рисунок 9.3). Начальная фаза этого тока

Ψ_t=180º-α                                                                  (9.12)

Где                                         tgψ_t=tg(180º-α)=- I_m/ I_m=tgα                       (9.13)

Если задано мгновенное значение тока в виде синусоиды / = I_msin(o)e + , то комплексную амплитуду записывают сначала показательной форме, а затем, по формуле Эйлера, переходят к алгебраической форме

I=Ie^iiψ (9.14)

                                                       (9.15)

Рисунок 9.2 - начальная  вектора комплексной амплитуды  напряжения, расположенного в первом квадранте комплексной плоскости.

Рисунок 9.3 –  первая начальная фаза вектора комплексной  амплитуды тока, расположенного во втором квадранте комплексной плоскости

 

Применение комплексных  чисел позволяет от геометрического  сложения или вычитания векторов на векторной диаграмме перейти к алгебраическому действию над комплексными числами этих векторов. Например, для определения комплексной амплитуды результирующего тока (см. рисунок 9.4) достаточно сложить два комплексных числа, соответствующих комплексным амплитудам токов ветвей

                                                 I_3m= I_m +I_2m =I_3me^fψ3                                         (9.16)

 

Для определения комплексной  амплитуды результирующей э.д.с. (см. рисунок 9.4) достаточно определить разность комплексных чисел, соответствующих комплексным амплитудам э.д.с. Е\_т и Е\_т.

Изображение синусоидальных величин с помощью  векторов

При расчете цепей переменного тока часто приходится производить операции сложения и вычитания токов и напряжений. Когда токи и напряжения заданы аналитически или временными диаграммами, эти операции оказываются весьма громоздкими. Существует метод построения векторных диаграмм, который позволяет значительно упростить действия над синусоидальными величинами. Покажем, что синусоидальная величина может быть изображена вращающимся вектором.

Пусть вектор 1_т вращается с постоянной угловой частотой со против часовой стрелки. Начальное положение вектора /_т, задано углом у/ (рисунок 9.4.). Проекция вектора 1_т на ось у определяется выражением /„, sin (cot + ц/), которое соответствует

мгновенному значению переменного  тока. Таким образом, временная диаграмма  переменного тока является разверткой по времени вертикальной проекции вектора /_т, вращающегося со скоростью со .

Изображение синусоидальных величин с помощью векторов дает возможность наглядно показать начальные фазы этих величин и сдвиг фаз между ними.

Рисунок 9.4 - Изображение синусоидального тока вращающимися векторами

На векторных диаграммах длины векторов соответствуют действующим значениям тока, напряжения и ЭДС, так как они пропорциональны амплитудам этих величин.

На рисунке 9.5  показаны векторы Ei и Е2 с начальными фазами ц/i и ц/₂ сдвигом фаз

Рисунок 9.5 - Векторная диаграмма синусоидальных Э.Д.С.

Совокупность нескольких векторов, соответствующих нулевому моменту времени, называют векторной диаграммой. Необходимо иметь в виду, что на векторной диаграмме векторы изображают токи (напряжения) одинаковой частоты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Сложение векторов

(8+j4)+(6+j4)=14+j8

M= 14²+8²=16,1e^j29,8

 

2. Вычитание векторов

(12+j6)-(6-j9)=6-j3

M= 6²+3²=6,7e^-j80

 

3. Умножение векторов

5,65е^-j90*13,01e^-j129=73,5e^-219

 

 

 

4. Деление векторов

73,5e^-j129

------------ = 7,35e^-j76

10e^-j53

 

 

 

5. Если действительная часть больше мнимой в 100 и более раз

540-j0,2

M=540e^j0

 

 

 

6. Если мнимая часть больше действительной в 100 и более раз

0,78+j300

M=300e^j89,9

     

 

 

 

Ответы на письма в редакцию

Редакция получила письмо от заведующей вузовской библиотекой. В этом письме задан вопрос о применении ГОСТ 7.1-2003, ответ на который, как нам кажется, носит общий характер и будет полезен многим.

Публикуем и письмо, и ответ на него Э.Р. Сукиасяна, главного редактора ББК, члена редколлегии сборника.

Уважаемые коллеги!

В связи с  введением в действие с 1.07.04 г. [ГОСТ 7.1-2003] “Библиографическая запись. Библиографическое  описание. Общие требования и правила  составления” возникают трудности  с толкованием его отдельных положений. В частности, в разделе I “Область применения” сказано: “Стандарт распространяется на описание документов, которое составляется библиотеками, органами научно-технической информации, центрами государственной библиографии, издателями, другими библиографирующими учреждениями. Стандарт не распространяется на библиографические ссылки”.

Просим разъяснить, обязательно  ли применение [ГОСТ 7.1-2003] при составлении  списков в диссертациях, монографиях, методических пособиях, дипломных и  курсовых работах.

На поставленный вопрос можно дать очень короткий ответ: да, применение ГОСТ 7.1-2003 при составлении списков  литературы в диссертациях, монографиях, методических пособиях, дипломных и  курсовых работах обязательно.

Посмотрим последовательно по видам указанных документов, на чем основывается наше утверждение.

Оформление диссертаций на соискание  ученой степени кандидата и доктора  наук, вне зависимости от специальности, подчиняется общим правила ВАК, с которыми любой аспирант, докторант, соискатель ученой степени может ознакомиться, обратившись к ученому секретарю диссертационного совета. В отношении списков в правилах дана ссылка на ГОСТ 7.1-2003. Как быть со ссылками, на которые ГОСТ 7.1-2003 не распространяется? Об этом скажу ниже.

Применение ГОСТ 7.1-2003 в отношении прикнижных или пристатейных списков в монографиях, методических пособиях, сборниках научных трудов и прочих изданиях, конечно, обязательно, так как в области применения указан “издатель”, иначе говоря — издательство или издающая организация (например учебное заведение).

Сложнее доказать, что стандарт распространяется на списки литературы в дипломных  и курсовых работах, не предназначенных, как известно, для издания, публикации. Прямо об этом в “области применения”  не сказано. Говорят: нельзя заставить “частное лицо” применять государственный стандарт. Тем не менее существуют, как минимум, два обстоятельства, в связи с которыми требований стандарта должны придерживаться кафедры учебных заведений.